1、一、选择题1设，是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A过且与平行的平面有且只有一个B过且与垂直的平面有且只有一个C与所成的角的范围是D过空间一点与、均平行的平面有且只有一个2在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）ABCD3如图所示，在正三棱锥SABC中，M、N分别是SCBC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥SABC外接球的表面积是（）A12B32C36D484正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为（ ）ABCD5已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.若球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）ABCD6
2、如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ）ABCD7直三棱柱的6个顶点在球的球面上.若，.，则球的表面积为（ ）ABCD8点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）ABCD9设、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A若，m，mn，则nB若，n，则nC若m，m，则D若m，m，n，则n10如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:与是异面直线； 与平行； 与成角； 与平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )ABCD11已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两
3、平行截面间的距离是( )ABC或D或12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD13已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中所有正确的命题是（ ）ABCD14长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，且四边形为正方形，则球的直径为（ ）A4BC4或D4或5二、解答题15如图，在四棱锥中，底面梯形ABCD中，平面平面ABCD，是等边三角形，已知，.（1）求证：平面平面SAC；（2）求直线AD与平面SAC所成角的余弦值.16如图，已知三棱锥中，点在上，且为正三角形.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17如图，在
4、三棱锥V-ABC中，底面ABC，D是棱AB的中点，且.（1）证明：平面平面VCD；（2）若，且棱AB上有一点E，使得线VD与平面VCE所成角的正弦值为，试确定点E的位置，并求三棱锥C-VDE的体积.18如图所示，在四棱锥中，平面，为中点，.（1）求证：平面.（2）若四面体的体积为，求的面积.19如图甲，平面四边形中，已知，现将四边形沿折起，使得平面平面 (如图乙)，设点，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.20如图，在长方体中，点P为棱的中点. （1）证明：平面PAC；（2）求异面直线与AP所成角的大小.21是正三角形，线段和都垂直于平面.设，且F为的中点，如图.（1）求
5、证：平面；（2）求证：；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.22如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且平面（1）证明：平面平面PBD；（2）若Q为PC的中点，求三棱锥的体积23如下图所示，四边形EFGH所在平面为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形（1）求证：平面EFGH；（2）若，求四边形EFGH周长的取值范围24在如图所示的圆锥中，是圆锥的高，是底面圆的直径，点是弧的中点，是线段的中点，是线段的中点，且，（1）试在上确定一点，使得面，并说明理由；（2）求点到面的距离25如图甲，边长为2的正方形ABCD中，E是边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、
6、N两点，将及折起，使A、C重合于点，构成如图乙所示的几何体（1）求证：；（2）若平面，求三棱锥的体积26如图，已知三棱柱中，为上一点，平面（1）求证：为的中点;（2）若平面平面，求证：为直角三角形.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【分析】在A中，过m上一点作n的平行线，只能作一条l，l与m是相交关系，故确定一平面与n平行；在B中，只有当m与n垂直时才能；在C中，两异面直线所成的角的范围是；在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在【详解】在A中，过m上一点P作n的平行直线l，由公理三的推论可得m与l确定唯一的平面，l，n，故故A
7、正确在B中，设过m的平面为，若n，则nm，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面与n垂直，故B不正确在C中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是，故C不正确在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D不正确故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题2D解析：D【分析】先保证截面圆与内切，记圆的半径为，由等面积法得，解得由于三棱柱高为，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为，由此能求出结果【详解】解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切先保证截面圆与内切，
8、记圆的半径为，则由等面积法得，所以，又因为，所以，所以由于三棱柱高为，此时可以保证球在三棱柱内部，若增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为，所以故选：【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.3C解析：C【分析】根据题目条件可得ASB=BSC=ASC=90，以SA，SB，SC为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】M,N分别为棱SC,BC的中点,MNSB三棱锥SABC为正棱锥，SBAC(对棱互相垂直)MNAC又MNAM，而AMAC=A，MN平面SAC，SB平面SACASB=BSC=ASC=90以SA，SB，SC为
9、从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径.，R=3，V=36.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.4D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取的中点为，则直线与所成角就是直线与成的角【详解】取的中点为，连接，则直线与所成角就是直线与成的角，由题意得，故异面直线与所成角的大小为.故选：D【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题5C解析：C【分析】先证明平面，接着求出，再得到和，
10、从而得到，最后求出球与球的表面积之比即可.【详解】如图，取的外心，连接，则必过，且平面，可知为侧棱与底面所成的角，即.取的中点，连接，.设圆，的半径分别为，令，则，所以，即，从而，所以，则，所以球与球的表面积之比为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.6D解析：D【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球的半径为，则，则正四棱锥的体积为，解得，所以球的表面积为【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式
11、和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。7B解析：B【分析】由于直三棱柱的底面为直角三角形，我们可以把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体，则球是长方体的外接球.所以体对角线的长为球的直径.因此球的外接圆直径为，故球的表面积.故选：B.【点睛】本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.8B解析：B【分析】取，中点，得平面平面.进而得到点的轨迹为线段，又因为为等腰三角形，进而便可得出答案.【
12、详解】取，中点， 连接、 .则.又因为 .所以平面平面.又因为动点在正方形(包括边界)内运动，所以点的轨迹为线段.又因为正方体的棱长为2，所以， .所以为等腰三角形.故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为.当点为中点时，最小，最小值为 .故选：B. 【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点的位置.9D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断【详解】由、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：在A中，若，m，mn，则n与相交、平行或n，故A错误；在B中，若，n，则n与相交、平行或n，故
13、B错误；在C中，若m，m，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，m，则，若n，则n，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.10A解析：A【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示可得：与是异面直线，故正确；连接，则与平行，故正确；是异面直线与所成的角，为等边三角形，故正确；与是异面直线，故错误.故选：.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.11C解析：C【分析】求出两个平行截面圆的半径,由
14、勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为，则.球心到两个截面的距离分别为.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为.故选：.【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.12B解析：B【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥，正方体的棱长为2，为的中点，则，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档
15、题.13A解析：A【分析】若，或再由面面垂直的判定定理得到结论根据面面平行的判定定理判断若，则或，再由面面平行的判定定理判断若，由面面平行的性质定理可得，再由得到结论【详解】若，或，又，,故正确若，由面面平行的判定定理可知，若与相交才平行，故不正确若，则或，又，两平面不一定平行，故不正确若，则，又，则故正确故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题14C解析：C【分析】设，则，由余弦定理可得，求出，即可求出球的直径.【详解】根据题意，长方体内接于球内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体：设，则，由余弦定理
16、可得：，或，球的直径为；或，球的直径为.故选：C【点睛】本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题.二、解答题15（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）在中，利用勾股定理易证，再由平面平面ABCD，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明.（2）由（1）以A为原点，以AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系，分别求得的坐标和平面的一个法向量，再由求解.【详解】（1）在中，由于，, 平面平面ABCD，平面,又因为平面SAC,所以平面平面SAC；（2）如图建立空间直角坐标系， 则，则，.设平面的一个法向量，则，即.，设直线AD与平面SAC所成夹角为，则，直线
17、AD与平面SAC所成夹角的余弦值为.【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角16（1）证明见解析 ；（2）.【分析】（1）取中点，连结，推导出，从而面，由此能证明（2）过作于点，则面，即为直线与面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）取中点，连结，由为正三角形可得，又由得，面，又面，；（2）过作于点，由（1）可知，面，即为直线与面所成的角，不妨设，则，所以直线与平面所成角的正弦
18、值为.【点睛】求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.17（1）证明见解析；（2）点E位于线段AD的中点或线段BD的中点；.【分析】（1）易得，再根据底面ABC，得到 ，进而平面VCD，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D在平面ABC内作于F，平面VCE，则就是直线VD与平面VCE所成的角，在中，由，求得，然后在中，求出，然后由三棱锥C-VDE的体积为求解.【详解】（1）因为，D是AB的中点，所以.又底面ABC，平面ABC，所以，而，所以
19、平面VCD.又平面VAB，所以平面平面VCD.（2）过点D在平面ABC内作于F，则由题意知平面VCE.，连接VF，于是就是直线VD与平面VCE所成的角.在中，.又因为，所以.在中，.故知点E位于线段AD的中点或线段BD的中点，三棱锥C-VDE的体积为.【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直18（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，再用面面平行的性质可得平面；（2）根据体积求
20、出，过作于，连接，求出和后，根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）取中点，连接，则，又，平面平面，平面.（2）因为，所以由已知得：，即，可得.过作于，连接，平面，中，.【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键.19（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）在图甲中先证，在图乙中由面面垂直的性质定理先证，由条件可得，进而可判定DC平面ABC；（2）利用等体积法进行转化计算即可.【详解】（1）图甲中，且，即，图乙中，平面ABD平面BDC，且平面ABD平面，平面BDC，又平面BDC，又，且，又，平面ABC，DC平面ABC；（2）因为点，分别是棱，的中点，所以，且，所以
21、平面，由（1）知，平面BDC，又平面BDC，所以， 所以，所以.【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：换顶点，换底面；换顶点，不换底面；不换顶点，换底面.20（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）和交于点，则为的中点推导出由此能证明直线平面；（2）由，得即为异面直线与所成的角或其补角由此能求出异面直线与所成角的大小【详解】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点.连结PO，又因为P是的中点，所以.又因为平面PAC，平面PAC所以直线平面PAC.（2）解：由（1）知，所以即为异面直线与AP所成的角或其补角.因为，且，所以.又，所以故异面直线与AP所成
22、角的大小为.【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.21（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长ED交AC延长线于G，连BG，只要证明BG平面ABE即可得到ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到【详解】（1）证明：如图所示，取的中点G，连接.，又，四边形为平行四边形，
23、故.平面平面，平面.（2）证明：平面，.又是正三角形，.平面.又，.又，F为中点，.又，平面.（3）延长交延长线于，连接.由，知D为中点，.由平面，平面.为所求二面角的平面角. 在等腰直角三角形中，易求.【点睛】熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键22（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由余弦定理可得，证得，则由底面，平面，证得，得证（2）为的中点，利用等积法 ，即可求出结果.【详解】(1) 在中，由余弦定理得，.又底面，平面 . ，平面. （2）因为为的中点,所以三棱锥的体积,与三棱锥的体积相等
24、，即.所以三棱锥的体积.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，在含有长度时需要解三角形来证垂直，并且不要忘记线面垂直的性质运用，在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用23（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先证得平面，然后根据线面平行的性质定理得到，由此证得平面.（2）设，通过比例求得，由此化简四边形周长的表达式，进而求得四边形周长的取值范围.【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，平面ABD，平面ABD，平面ABD平面ABC，平面平面，平面EFGH，平面EFCH，平面EFCH（2）同（1）可证，设，又，且，四边形EFCH的周长为故四边形EFGH周长的取值范围是【点睛】本小题主要考查线面平
25、行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题.24（1）点是上靠近点的四等分点；（2）【解析】试题分析：（1）连接，设，由题意为的重心，连接，利用面，可得，进而求得点的位置；（2）由，得到，利用线面、面面垂直的判定与性质定理，可得面，再利用体积，即可求解距离.试题解：（1）连接，设，由题意为的重心，连接，面，平面，面面，又，点是上靠近点的四等分点（2），又点是弧的中点，面，面，.因为， ，点到面的距离点睛：本题主要考查了空间位置关系的判定，空间距离的求解问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定与性质，平面与平面垂直的判定与性质，三棱锥的体积的计算公式等知识点的综合运用，着重考查了学生
26、的推理与运算能力，解答中熟记位置关系的判定和性质定理是解答的关键，试题属于中档试题.25（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E，F两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH，由线面垂直的性质知，；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF，显然，三棱锥的高解决了，故有=【详解】证明：取EF的中点为H,连接DH,GH，在中，GE=GF，H是中点，,在中，DE=DF，H是中点，故,所以平面DGH，即（2）平面知，F是BC边上的中
27、点，故有，在直角三角形GEF中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF，故此时三棱锥的高为DG，值是2，=26(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接A1C交AC1于O，连接OD，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D为BC的中点；（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明ADC1D即可【详解】证明:(1) 联结交于，联结. 四边形是棱柱的侧面， 四边形是平行四边形. 为平行四边形对角线的交点， 为的中点. 平面，平面平面 ，平面， 为的中位线， 为的中点. （2），为的中点， . 平面平面,平面，平面 平面，平面. 平面， ， 为直角三角形.【点睛】本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.
