1、（专题精选）初中数学二次函数真题汇编附解析一、选择题1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：a+b+c0；ab+c1；abc0；9a3b+c0；ca1其中所有正确结论的序号是()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出的符号，再由抛物线与轴的交点可得出的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当、时的情况进一步综合判断即可【详解】由图象可知，a0，c=1，对称轴：x=，b=2a，由图可知：当x=1时，y0，a+b+c0，正确；由图可知：当x=1时，y1，ab+c1，正确；abc=2a20，正确；由图可知：当x=3时，y0，9a3b+c0，正确；ca=1a
2、1，正确；正确故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键2二次函数（0）图象如图所示，下列结论：0；0；当1时，；0；若，且，则2其中正确的有（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a0；抛物线的对称轴为x=1，则-=1，b=-2ab0，2a+b=0 抛物线交y轴于正半轴，则c0；由图像知x=1时 y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m1 y=+c不是顶点纵坐标，不
3、是最大值 （故正确）：b0，b+2a=0；（故正确） 又由得：abc0 （故错误）由图知：当x=-1时，y0；即a-b+c0，ba+c；（故错误）若得-()=-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)= （x1-x2）a(x1+x2)+b= 0a(x1+x2)+b=0x1+x2=2 （故正确）故选D考点：二次函数图像与系数的关系.3抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1若关于x的一元二次方程x2+bx+3t0（t为实数）在2x3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A12t3B12t4C12t4D12t3【答案】C【解析】【分
4、析】根据给出的对称轴求出函数解析式为yx22x3，将一元二次方程x2bx3t0的实数根看做是yx22x3与函数yt的交点，再由2x3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：yx2bx3的对称轴为直线x1，b2，yx22x3，一元二次方程x2bx3t0的实数根可以看做是yx22x3与函数yt的交点，当x1时，y4；当x3时，y12，函数yx22x3在2x3的范围内12y4，12t4，故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键4二次函数的图象如图所示，下列结论，其中正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】抛物线与x轴由两个交点
5、，则，即，所以正确；由二次函数图象可知，所以，故错误；对称轴：直线，所以，故错误；对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，则抛物线与x轴另一个交点，当时，故正确【详解】解：抛物线与x轴由两个交点，即，所以正确；由二次函数图象可知，故错误；对称轴：直线，故错误；对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，抛物线与x轴另一个交点，当时，故正确故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键5已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列4个结论：abc0；2a+b0；4a+2b+c0；b24ac0；其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】D【解析】
6、【分析】根据二次函数yax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答【详解】由抛物线的对称轴可知：0，ab0，抛物线与y轴的交点在正半轴上，c0，abc0，故正确；1，b2a，2a+b0，故正确（0，c）关于直线x1的对称点为（2，c），而x0时，yc0，x2时，yc0，y4a+2b+c0，故正确；由图象可知：0，b24ac0，故正确；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型6如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x1，当y0时，x的取
7、值范围是（ ）A1x1B3x1Cx1D3x1【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0），当y0时，x的取值范围是3x1所以答案为：D【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.7定义a，b，c为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为2m，1-m，-1-m的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（，）B当m0时，函数图象截x轴所得的线段
8、长度大于C当m0时，函数图象经过同一个点D当m时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入2m，1-m，-1-m，求得a，b，c，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为2m，1m，1m； A、当m=3时，y=6x2+4x+2=6（x）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；B、当m0时，令y=0，有2mx2+（1m）x+（1m）=0，解得：x1=1，x2=，|x2x1
9、|=+，所以当m0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；C、当x=1时，y=2mx2+（1m）x+（1m）=2m+（1m）+（1m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确D、当m0时，y=2mx2+（1m）x+（1m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的右边y随x的增大而减小因为当m0时，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，都是正确的，是错误的故选D点
10、睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征8已知抛物线yx2+（2a+1）x+a2a，则抛物线的顶点不可能在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得【详解】抛物线yx2+（2a+1）x+a2a的顶点的横坐标为：xa，纵坐标为：y2a，抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y2x+，抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键9某二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点，且若此函数图象通过、四点，
11、则、之值何者为正？（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决【详解】二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6，该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，图形与x轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点，a0，b0，c=0，d0，故选：D【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
12、答10二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：abc0；a+b+c2；a；b1，其中正确的结论个数是（）A1个B2 个C3 个D4 个【答案】C【解析】【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决【详解】由图象可得，a0，b0，c0，abc0，故错误，当x1时，ya+b+c2，故正确，当x1时，yab+c0，由a+b+c2得，a+c2b，则ab+c（a+c）b2bb0，得b1，故正确，a0，得，故正确，故选C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答11如图，已知点A（4，0），
13、O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）ABC3D4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECMOD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2由勾股定理得：DE=设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE，即，解得：BF+CM=故选A12在平面直角坐标系内，已知
14、点A（1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）Aa2BaC1a或a2D2a【答案】C【解析】【分析】分a0，a0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围【详解】抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，令ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2故选：C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键13如图，抛物线yax2+bx+c（a0）
15、过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若AOB为等边三角形，则b的值为（）AB2C3D4【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B（），由AOB为等边三角形，得到tan60（），即可求解；【详解】解：抛物线yax2+bx+c（a0）过原点O，c0，B（），AOB为等边三角形，tan60（），b2；故选B【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键14如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列结论：abc0；4a+
16、2b+c0；a；bc其中含所有正确结论的选项是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出的正误【详解】函数开口方向向上，a0；对称轴在y轴右侧ab异号，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c0，abc0，故正确；图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，图象与x轴的另一个交点为（3，0），当x=2时，y0，4a+2b+c0，故错误；图象
17、与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，-2c-1-，b=-2a，函数图象经过（-1，0），a-b+c=0，c=-3a，-2-3a-1，a；故正确函数图象经过（-1，0），a-b+c=0，b-c=a，a0，b-c0，即bc；故正确；故选B【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系解题关键是注意掌握数形结合思想的应用15方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函
18、数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围【详解】解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，此时抛物线的图象在反比例函数上方方程的实根x0所在范围为：故选C【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势16已知抛物线y=x2+2x上三点A（5，y1），B（2.5，y
19、2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】抛物线y=x2+2x，x=-1，而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），B离对称轴最近，A次之，C最远，y2y1y3故选:C【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关
20、键17已知抛物线y=x2-2mx-4（m0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A（1，-5）B（3，-13）C（2，-8）D（4，-20）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：，点M（m，m24），点M（m，m2+4），m2+2m24=m2+4解得m=2m0，m=2，M（2，8）故选C【点睛】本题考查二次函数的性质18下列函数（1）y=x （2）y=2x1 （3）y= （4）y=23x （5）y=x21中，是一次函数的有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可【详解】解：（1）y=x
21、是一次函数，符合题意；（2）y=2x1是一次函数，符合题意；（3）y= 是反比例函数，不符合题意；（4）y=23x是一次函数，符合题意；（5）y=x21是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个故选：B【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键19在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有()ABCD【答案】B【解析】【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限同
22、理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限故答案为：B【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键20如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中2x11，0x21下列结论：4a2b+c0；2ab0；abc0；b2+8a4ac其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a0，抛物线交y轴于正半轴，则c0，而抛物线与x轴的交点
23、中，2x11、0x21说明抛物线的对称轴在10之间，即x=1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a0；抛物线的对称轴x=1，且c0； 由图可得：当x=2时，y0，即4a2b+c0，故正确； 已知x=1，且a0，所以2ab0，故正确； 抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c0，故abc0，所以不正确； 由于抛物线的对称轴大于1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2，由于a0，所以4acb28a，即b2+8a4ac，故正确； 因此正确的结论是 故选：C【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键
