1、7.6 7.6 证证 明明 用观察、实验、归纳、类比、猜想等方法，用观察、实验、归纳、类比、猜想等方法，可以发现很多规律，但是，有时也可能出现一可以发现很多规律，但是，有时也可能出现一些偏差些偏差.情境导入：情境导入：请请你仔细观看下图中的三个图，然后和同学你仔细观看下图中的三个图，然后和同学一起讨论下面的问题一起讨论下面的问题.1.图图1中，中，a，b两条线段哪一条长一些？两条线段哪一条长一些？2.图图2中，中，a，b两条线段之间哪一端宽一些？两条线段之间哪一端宽一些？3.图图3中，两个红色的圆哪一个大一些？中，两个红色的圆哪一个大一些？通过观察通过观察、实验、归纳、类比、猜想得出的、实验、
2、归纳、类比、猜想得出的结论还需要通过证明来确认它的正确性结论还需要通过证明来确认它的正确性.问题：问题：生活中的说理生活中的说理交流交流：同学们还记得同学们还记得“曹冲称象曹冲称象”的故事吗？的故事吗？叙述一下这个故事，并回答下面的问题：为叙述一下这个故事，并回答下面的问题：为什么石头的质量可以表示大象的质量？这里用什么石头的质量可以表示大象的质量？这里用到了一个大家公认的事实到了一个大家公认的事实等量代换等量代换.请请用扑克牌做一个推理的游戏：桌面上有三张用扑克牌做一个推理的游戏：桌面上有三张扑克牌，排成一排，已知：扑克牌，排成一排，已知：（1）K右边的两张中至少有一张是右边的两张中至少有一
3、张是A；（2）A左边的两张牌中也有一张是左边的两张牌中也有一张是A；（3）黑桃左边的两张牌中至少有一张是梅花；）黑桃左边的两张牌中至少有一张是梅花；（4）梅花右边的两张牌中也有一张是梅花）梅花右边的两张牌中也有一张是梅花.你能判断出这三张扑克牌各是什么吗？你能判断出这三张扑克牌各是什么吗？探索：探索：数学中的说理数学中的说理交流：交流：设设 、分别分别表示三种不同的物体表示三种不同的物体.现用天平称了两次，结果如图所示现用天平称了两次，结果如图所示.请根据天平请根据天平显示的情况判断这三种物体中，哪种物体最重，显示的情况判断这三种物体中，哪种物体最重，并说明理由并说明理由.例题解析：例题解析：
4、例例1 请请在括号内填写解方程的在括号内填写解方程的根据根据.3x-2=x+4.3x-x=4+2().2x=6 ().x=3 ().解：解：例题解析：例题解析：3x-2=x+4.3x-x=4+2(等式的基本性质等式的基本性质1).2x=6 (逆用乘法对加法的分配率逆用乘法对加法的分配率).x=3 (等式的基本等式的基本性质性质2).例题解析：例题解析：例例2 已知已知：如图，：如图，C，D是线段是线段AB上的两个点，上的两个点，且且AC=BD，试判断：，试判断：AD等于等于BC吗？为什么？吗？为什么？解：解：AD=BC.因为因为 AC=BD（已知），（已知），CD=CD（已知（已知），），所以
5、所以 AC+CD=BD+CD(等式的基本性质等式的基本性质1).即即 AD=BC.定义、命题、基本事实、定理定义、命题、基本事实、定理在数学中，进行运算或判断时都离不开推理在数学中，进行运算或判断时都离不开推理.推理时经常要用到定义、命题、基本事实、定推理时经常要用到定义、命题、基本事实、定理等作为推理的依据，并用规范、简明的数学理等作为推理的依据，并用规范、简明的数学语言进行表达语言进行表达.下面先学习四个有关的概念下面先学习四个有关的概念.（1）定义）定义：对一个名词或术语的意义的说：对一个名词或术语的意义的说明叫做定义明叫做定义.比如，含有未知数的等式叫做方程，就是方程比如，含有未知数的
6、等式叫做方程，就是方程的定义；的定义；又如，直线上一点和它一旁的部分叫做射线，又如，直线上一点和它一旁的部分叫做射线，就是射线的定义就是射线的定义.例如：例如：“两条直线相交，有且只有一个交两条直线相交，有且只有一个交点点”，“两个奇数的和是偶数两个奇数的和是偶数”都是命题都是命题.命题由题设和结论两部分组成命题由题设和结论两部分组成.题设是已知题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项事项，结论是由已知事项推出的事项.命题常命题常可以写成可以写成“如果如果，那么，那么”的形式，的形式，“如果如果”后面接的部分是结论后面接的部分是结论.（2）命题：）命题：判断某一事情的语句叫做判断某一事情的语
7、句叫做命题命题.例如：例如：“两条直线相交，有且只有一个交点两条直线相交，有且只有一个交点”可以写成可以写成“如果两条直线相交，那么它们有且如果两条直线相交，那么它们有且只有一个交点只有一个交点”.其中其中“两条直线相交两条直线相交”是题设，是题设，“有且只有一个交点有且只有一个交点”是结论是结论.上面所举出的两个命题都是正确的，也就是上面所举出的两个命题都是正确的，也就是说，如果题设成立，那么结论一定成立，像这说，如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称之为样的命题，称之为“真命题真命题”.还有一些命题，题设成立时，结论不一定成还有一些命题，题设成立时，结论不一定成立立.例如：例如：
8、“两个锐角的和是钝角两个锐角的和是钝角”，“有理数的有理数的绝对值是正数绝对值是正数”，它们都是，它们都是不正确的命题，称不正确的命题，称之为之为“假命题假命题”.假命题可以通过举反例加以说假命题可以通过举反例加以说明明.例如利用例如利用“0的绝对值是的绝对值是0，而不是正数，而不是正数”，来说明来说明“有理数的绝对值是正数有理数的绝对值是正数”是一个假命题是一个假命题.命题的题设和结论可以互换命题的题设和结论可以互换.例如：例如：“如果如果x=1，那么那么x=1”，交换题设和结论后为，交换题设和结论后为“如果如果x=1，那么那么x=1”.这两个命题称为互逆命题，其中一个这两个命题称为互逆命题
9、，其中一个叫做叫做“原命题原命题”，另一个叫做原命题的，另一个叫做原命题的“逆命题逆命题”.原命题成立，逆命题不一定成立原命题成立，逆命题不一定成立.人们人们在长期实践中获得的一些真命题，可以在长期实践中获得的一些真命题，可以直接作为推理依据的事实。如我们已经知道的直接作为推理依据的事实。如我们已经知道的“两点确定一条直线两点确定一条直线”，“两点之间线段最短两点之间线段最短”，“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，他们都是基本事实他们都是基本事实.（3）基本事实）基本事实.在实际中还常用到一些事实：在实际中还常用到一些事实：等量加等量，和相等等量加等量
10、，和相等.即：即：如果如果a=b，那么，那么a+c=b+c.等量减等量，差相等等量减等量，差相等.即：即：如果如果a=b，那么，那么a-c=b-c.等量的同倍量相等等量的同倍量相等.即：即：如果如果a=b，那么，那么ac=bc.等量的同分量相等等量的同分量相等.即：即：如果如果a=b，且，且c0，那么，那么.abcc 等量代换等量代换.即：即：如果如果a=b，b=c，那么，那么a=c.（4）定理：）定理：用逻辑的方法判断为正确，用逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的真命题叫做并作为推理依据的真命题叫做定理定理.例题解析：例题解析：例例3已知已知：如图，：如图，BE是是ABC的角平分线，的角平
11、分线，1=C.求证：求证：2=C.证明：证明：BE是是ABC的的角平分线角平分线（已知）（已知），1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）.1=C（已知）（已知）2=C（等量代换）（等量代换）.例题解析：例题解析：例例4 已知已知：如图：如图，1=2=90，1=3=90.试判断试判断2和和3的关系的关系.证明：证明：1=2=90（已知）（已知），2=90-1（等量减等量，差相等）（等量减等量，差相等）.1=3=90（已知）（已知）3=90-1（等量减等量，差相等等量减等量，差相等）.2=3（等量代换）（等量代换）.即即2和和3相等相等.课堂练习课堂练习1.命题命题“垂直于同一条直线的两条直线
12、平行垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是的条件是_，结论是，结论是_.2.一个人从一个人从A地出发沿北偏东地出发沿北偏东60方向走到方向走到B地，再从地，再从B地出发沿南偏西地出发沿南偏西20方向走到方向走到C地，地，那么那么ABC=_度度.拓展延伸：拓展延伸：小明在计算小明在计算 时，以为时，以为 ，发现不对，后来又学习了发现不对，后来又学习了 后，他又猜想：后，他又猜想：，小明，小明的猜想正确吗？的猜想正确吗？2)(ba222)(baba()abaabb 22223333)(bababa小结小结1.什么是定义？什么是定义？对一个名词或术语的意义的说明叫做定义对一个名词或术语的意义的说明叫做定义.2.什么是命题？什么是命题？判断某一事情的语句叫做命题判断某一事情的语句叫做命题.3.什么是真命题和假命题？什么是真命题和假命题？正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题命题.4.什么是定理？什么是定理？用用逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的真命题叫做定理真命题叫做定理.
