1、24.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定与性质导入新课导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？切线的判定定理一O讲授新课讲授新课经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA O的半径 OA于A O的切线ABC 切线的判定定理应用格式O要点归纳判一判：下列各直线是不是圆的
2、切线？如果不是，请说明为什么？O.lAO.lABAOl(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳例1：如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,且AB=AC.求证：AC是O的切线.解析：直线
3、AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：AB=AC，ABC45，ACBABC45.BAC=180-ABC-ACB=90.AB是O的直径，AC是O的切线.AOCB例2 已知：直线AB经过 O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是 O的切线.分析：由于AB过 O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可.证明：连接OC(如图).OAOB,CACB,OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.ABOC.OC是 O的半径,AB是 O的切线.例3 如图,ABC 中，AB AC，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是 O 的切线BOCEA分析：根据切线的判定定
4、理，要证明AC是 O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是 O的半径就可以了，而OE是 O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：证明：连接OE，OA,过O 作OF AC.O 与AB 相切于E ，OE AB.又ABC 中，AB AC，O 是BC 的中点AO 平分BAC，FBOCEAOE OF.OE 是 O 半径，OF OE，OF AC.AC 是 O 的切线又又OE AB，OFAC.如图，已知直线AB经过 O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线AB是 O的切线.CBAO如图，OAOB=5，AB8,O的直径为6.求证：直线AB是 O的切线.CBAO对比思考作垂直连接方法归纳(1)有
5、交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳思考：如图，如果直线l是 O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO直线l是 O 的切线，A是切点，直线l OA.切线的性质定理二 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 应用格式小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OMOA,即圆心到直线CD的距离小
6、于 O的半径,因此,CD与 O相交.这与已知条件“直线与 O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法.性质定理的证明反证法的证明视频CDOA证法2：构造法.作出小 O的同心圆大 O，CD切小 O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径1.如图：在 O中，OA、OB为半径，直线MN与 O相切于点B，若ABN=30，则AOB=.2.如图AB为 O的直径，D为AB延长线上一点，DC与 O相切于点C，DAC=30，若 O的半径长1cm，则CD=cm.603练一练 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，
7、构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.方法总结例4 如图，PA为 O的切线，A为切点直线PO与 O交于B、C两点，P30，连接AO、AB、AC.(1)求证：ACBAPO；(2)若AP ，求 O的半径3解析：(1)根据已知条件我们易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，则C=30=P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得ACBAPO；OABPC(2)由已知条件可得AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.(1)求证：ACBAPO；OABPC在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO.(1)证明：PA为 O的切线，A为切
8、点，又P30，AOB60，又OAOB，AOB为等边三角形ABAO，ABO60.又BC为 O的直径，BAC90.OAP90.(2)若AP ，求 O的半径OABPC3AO1，CBOP2，OB1，即 O的半径为1.(2)解：在RtAOP中，P30，AP ，3当堂练习当堂练习 1.判断下列命题是否正确.经过半径外端的直线是圆的切线.（）垂直于半径的直线是圆的切线.（）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P
9、，则ADP的度数为（）A40 B35 C30 D452.如图所示，A是O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与O的位置关系是 .APO第2题PO第3题DABC相切C4.如图,O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 O的半径多少？OPBA解：连接OB，则OBP=90.设 O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在RtOBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3，即 O的半径为3.证明：连接OP.AB=AC,B=C.OB=OP，B=OPB，OBP=C.OPAC.PEAC，PEOP.PE为 O的切线.5.如图,ABC中，AB=AC，以AB
10、为直径的 O交边BC于P，PEAC于E.求证:PE是 O的切线.6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M.求证：CD与 O相切证明：连接OM，过点O作ONCD于点N，O与BC相切于点M，OMBC.又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，OMON，CD与 O相切MN7.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：_ ；_.（2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.BAEFCAE=BAFEOAFEOBCBC图1图2证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径.D+DAC=90,D与B同对 ,D=B,又 CAE=B,D=CAE,DAC+EAC=90,EF是O的切线.ACAFEOBC图2D
