1、实数与向量的积定义运算律向量共线的充要条件平面向量基本定理 定义：，记作的积是一个向量，与向量一般地，实数aa下：它的长度与方向规定如|)1(a；的方向相同的方向与时，当aa0)2(；的方向相反的方向与时，当aa0.00a时，当；|aa3a3a方方向向是是任任意意的的a运算律：为实数，则、设；aa)()()1(；aaa)()2(.)()3(baba)(结合律)(第一分配律)(第二分配律共线向量的充要条件定理：共线的充要条件是与非零向量向量ab.ab，使得有且只有一个实数/(0)babaaR即，1122(,),(,),ax ybxy若则/ba 1221x yx y12210 x yx y可可简简
2、单单记记为为：交交叉叉积积相相等等或或交交叉叉积积之之差差为为0 0那么对于这一平，共线向量是同一平面内的两个不、如果21ee使，、有且只有一对实数，面内的任一向量21aa11e.22e注意：(1)平面向量基本定理的实质是：平面内的任意一个向量都可以用同一平面内的两个不共线向量来表示.基底有向量的一组叫做表示这一平面内所、其中不共线的向量21ee平面向量基本定理：(2)平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底,因此同一平面内可以有很多组基底;在实际应用中要根据题意选择合适的基底.1:1=+=2+8=3(-ABD2+kabAB a b BCab CDa ba bab 例例 设设两两个个非非
3、零零向向量量 与与 不不共共线线（）若若，)；求求证证：、三三点点共共线线。（）试试确确定定实实数数k k，使使k k和和共共线线。分析分析：（1）ABD、三三点点共共线线ABBD 其其证证明明过过程程如如下下：ABBD 从从而而与与共共线线，原原命命题题得得证证。5AB (28)3()abab=+BD BC CD 5()ab1+=(2+8)+3(-=5+5=5+=5 /B ABDBDBC CDaba baba bABAB BDABBD （）证证明明：)（）又又与与有有公公共共点点、三三点点共共线线1:1=+=2+8=3(-ABD2+kabAB a b BCab CDa ba bab 例例 设
4、设两两个个非非零零向向量量 与与 不不共共线线（）若若，)；求求证证：、三三点点共共线线。（）试试确确定定实实数数k k，使使k k和和共共线线。1:1=+=2+8=3(-ABD2+kabAB a b BCab CDa ba bab 例例 设设两两个个非非零零向向量量 与与 不不共共线线（）若若，)；求求证证：、三三点点共共线线。（）试试确确定定实实数数k k，使使k k和和共共线线。2（）分分析析：+ka bab k k和和共共线线+=+ka bab 存存在在实实数数，使使k k（）+=+ka bab k k-=0k-1=0 k k-=k-1ab（k k）（）解解得得k=1k=1+ka ba
5、b k k和和共共线线+=+ka bab 存存在在实实数数，使使k k（）+=+ka bab k k-=0k-1=0 k k-=k-1ab（k k）（）解解得得k=1k=1(2)(2)解解：1:1=+=2+8=3(-ABD2+kabAB a b BCab CDa ba bab 例例 设设两两个个非非零零向向量量 与与 不不共共线线（）若若，)；求求证证：、三三点点共共线线。（）试试确确定定实实数数k k，使使k k和和共共线线。ab 向向量量 与与 不不共共线线1:1=+=2+8=3(-ABD2+kabAB a b BCab CDa ba bab 例例 设设两两个个非非零零向向量量 与与 不不
6、共共线线（）若若，)；求求证证：、三三点点共共线线。（）试试确确定定实实数数k k，使使k k和和共共线线。评评注注：1;（）三三点点共共线线问问题题，可可借借助助向向量量来来处处理理 即即：若若三三点点共共线线，则则由由这这三三点点所所组组成成的的向向量量中中任任意意两两个个向向量量都都共共线线 反反之之也也成成立立。2 a/ba=b b0 （）（）变变式式练练习习：2005|OA=k 12OB=4 5OC=k 10ABCk=（全全国国）已已知知向向量量（，），（，），（-，），且且、三三点点共共线线，则则_._.分分析析：ABCAB/AC 、三三点点共共线线ABOBOA =4 5-(k 1
7、24-k-7（，），)=()=(，）ACOCOA -k 10-(k 12-2k-2=(=(，)，)=()=(，）-2(4-k)=14k 2k=-32ABCDMAB1NBDBN=BDMNC3例例：如如图图，平平行行四四边边形形中中，点点是是的的中中点点，点点在在上上，且且，求求证证：、三三点点共共线线。MN=MC 分分析析:MNC、三三点点共共线线证证明明：1BD=abBM=a2 且且BA=aBC=b 设设，则则:所所以以：1MC=BC BM ba2 -=从从而而：111111(ab)aba(ba)323632 1MC3 MN=BN BMBDBM 1 1-=3 3MN/MC 所所以以：MNMCM
8、 又又因因为为和和有有公公共共点点MNC所所以以点点、三三点点共共线线2ABCDMAB1NBDBN=BDMNC3例例：如如图图，平平行行四四边边形形中中，点点是是的的中中点点，点点在在上上，且且，求求证证：、三三点点共共线线。1（）此此例例主主要要研研究究的的是是基基底底建建模模问问题题。基基底底建建模模是是向向量量法法解解决决几几何何图图形形有有关关证证明明和和求求解解的的一一种种重重要要方方法法。关关键键在在于于选选取取的的基基底底是是否否合合适适。要要选选择择合合适适的的基基底底，就就要要注注意意与与已已知知条条件件的的联联系系。评评注注：2（）基基底底建建模模从从数数学学思思想想来来说
9、说，体体现现了了化化归归与与转转化化的的思思想想;从从数数学学方方法法来来看看就就是是换换元元法法的的应应用用。3:OA OBPABOP=OA+OB 例例若若、为为不不共共线线的的向向量量，则则、三三点点共共线线的的充充要要条条件件是是且且+=1+=1分分析析：充充分分性性：PABOP=OA+OB 、三三点点共共线线且且+=1+=1必必要要性性：OP=OA+OBPAB 且且+=1+=1、三三点点共共线线证证明明：充充分分性性：OP=OA+OB +=1+=1OP=OA+1-OB （）OP-OB=OA-OB （）OP-OB=OA-OB PAB点点、三三点点共共线线BPBAB 与与有有公公共共点点B
10、P/BA 必必要要性性：OP-OB=(OAOB)PAB、三三点点共共线线BP=BA OP=OA(1)OB 1-=OP=OA+OB 令令，则则有有且且+=1+=1综综上上所所述述：原原命命题题得得证证。BP=BA 3:OA OBPABOP=OA+OB 例例若若、为为不不共共线线的的向向量量，则则、三三点点共共线线的的充充要要条条件件是是且且+=1+=1PAB1+=1OP=OA+OB 、三三点点共共线线（）评评注注：+=1PABOP=OA+OB 、三三点点共共线线或或112=OP=OA+OBP22ABAB.（）当当时时，（），此此时时点点为为线线段段的的中中点点，此此式式叫叫中中点点的的向向量量表
11、表达达式式 可可从从左左图图来来理理解解。3（）在在空空间间内内也也有有与与此此相相类类似似的的结结论论用用来来判判断断空空间间内内的的四四点点共共面面OABP3:OA OBPABOP=OA+OB 例例若若、为为不不共共线线的的向向量量，则则、三三点点共共线线的的充充要要条条件件是是且且+=1+=1变变式式练练习习：分分析析:AD=2DB 1CD=CA+CB3 1+=13 2=3 A所所以以选选择择答答案案2007ABCDAB1AD=2DBCD=CA+CB=32112A.B.C.D.3333 （全全国国卷卷）在在中中，已已知知 是是边边上上一一点点，若若，则则（）ABD点点、三三点点共共线线课
12、课 堂堂 小小 结结2.基基底底建建模模是是用用向向量量法法解解决决几几何何问问题题的的一一种种重重要要方方法法，关关键键是是要要结结合合已已知知条条件件找找出出合合适适的的基基底底。PAB3+=1OP=OA+OB 、三三点点共共线线（）或或+=1PABOP=OA+OB 、三三点点共共线线（1）1）b/ab=b/ab=a(a a(a 0，0，R)R)11221122（2）2）若若a=(x,y),b=(x,y),a=(x,y),b=(x,y),则b/ab/a12211221x y=x yx y=x y 12211221x y-x y=0 x y-x y=01.共共线线向向量量和和点点共共线线问问
13、题题的的三三种种处处理理方方法法：1.2006ABCDAB=a AD=b AN=3NCMBCMN=_.a b2.2005abAB=a+2b BC=-5a+6bCD=7a-2b A ABD (B)ABC (C)BCD （安安徽徽）在在中中，为为的的中中点点，则则（用用、表表示示）（山山东东）已已知知向向量量 和和，且且，则则一一定定共共线线的的三三点点是是（）.()()、(D)ACD3.2002xoyOA(3,1),B(-1,3),COC=OA+OBR+=1C_.、（天天津津）平平面面直直角角坐坐标标系系中中，为为坐坐标标原原点点，已已知知两两点点若若点点 满满足足，其其中中、，且且，则则点点
14、的的轨轨迹迹方方程程为为巩巩 固固 作作 业业11-a+b44Ax+2y-5=04.2007ABCOBCOABACMNAB=mAM AC=nANm+n （江江西西）如如图图，在在中中，点点是是的的中中点点，过过点点 的的直直线线分分别别交交直直线线、于于不不同同的的两两点点、，若若，则则的的值值为为_._.oo5.2007OA OB OCOAOB120 OAOC30|OA|=|OB|=1|OC|=2 3OC=OA+OBR)+_.（陕陕西西）如如图图，平平面面内内有有三三个个向向量量、，其其中中与与的的夹夹角角为为，与与的的夹夹角角为为且且，。若若（、，则则的的值值为为OABCABNCMO26例
15、例4：（：（2003年新课程）年新课程）O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点是平面上不共线的三点，动点P满足满足 则点则点P的轨迹一定过的轨迹一定过ABC的（的（）A.外心外心 B.内心内心 C.重心重心 D.垂心垂心(),0,),|ABACOPOAABAC 分析分析:(1）根据向量的减法我们可知：）根据向量的减法我们可知：从而可得：从而可得：=OPOA AP ()|ABACAPABAC (2)分别表示：分别表示：|ABACABAC 、ABAC 与与和和共线的单位向量。共线的单位向量。则可作出简图：则可作出简图：ABBCCD,|ABACABACABACABACADABACABAC 其其中中(3)由（由（2）可知：四边形）可知：四边形ACDB是菱形则线段是菱形则线段AD是菱形的对角线，从而是菱形的对角线，从而射线射线AD是是BAC的平分线的平分线，且，且 ，则则 。又。又 所以所以A、B、P三点共线，且点三点共线，且点P的轨迹为射线的轨迹为射线AD，它要过，它要过ABC的内心。的内心。因此选答案因此选答案BAPAD /APAD 0,)
