1、第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 1目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 2目录 上页 下页 返回 结束 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”D),(yxfz
2、3目录 上页 下页 返回 结束 D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k,),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk4目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz),(kkfk),(kk5目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分
3、成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I,使nkkkkfI10),(lim可积可积,),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,6目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例中曲顶柱体体积:如果 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(yxO7目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积
4、分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k 为常数)Dyxgyxfd),(),(.2Dyxfd),(.3,1),(.4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积,则),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(21d),(d),(DDyxfyxf8目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为,MyxfmDd),(则有9目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积
5、分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证:由性质6 可知,),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由连续函数介值定理,至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此10目录 上页 下页 返回 结束 例例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解解:积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线.1相切 yx,1 yx从而d)(d)(32DDyxyx而域 D 位于
6、直线的上方,故在 D 上1y2x1OD11目录 上页 下页 返回 结束 例例2.估计下列积分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解:D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200 I102200即:1.96 I 210101010D10011021xyO12目录 上页 下页 返回 结束 例例3.判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解:分积分域为,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd1232232231d dDxyxy1ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11D0)21(3猜想结果为负
7、但不好估计.yxO13目录 上页 下页 返回 结束 xyO8.设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D14目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dy
8、x2.二重积分的性质(与定积分性质相似)15目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解:321,III由它们的积分域范围可知312III11xyO1.比较下列积分值的大小关系:16目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因 0 y 1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxy
9、xyyOx1D17目录 上页 下页 返回 结束 3.计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind22000218目录 上页 下页 返回 结束 4.证明:,2d)cossin(122Dyx其中D 为.10,10yx解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1,故结论成立.yOx1D119目录 上页 下页 返回 结束 5.04.0 I即备用题备用题1.估计 的值,其中 D 为DxyyxI162d22.20,10yx解解:被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0,0(fM的最大值),(yxfD上在51431)2,1(22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yOx2D120目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx2.判断的正负.)10(dd)ln(122yxyxyx解：解：当1yx时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyOD21
