1、2一、引例一、引例1.1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tSS 221tgs so的平均速度：的平均速度：到到则从则从ttt00时刻的瞬时速度：时刻的瞬时速度：在在0t)(0tS)(0ttsttSttSv)()(00ttSttSvt)()(lim00032.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放4 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(0
2、0yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT5.)()(limtan000 xxxfxfkxx xxx0记记xxfxxfx)()(lim000两个问题的共性两个问题的共性瞬时速度ttSttSvt)()(lim000切线斜率xxfxxfkx)()(lim000所求量为函数增量函数增量与自变量增量自变量增量之比的极限.类似问题类似问题加速度电流强度线密度等6二、导数的定义0000(),()();yf xxxxxyyf xxf x 设在点 的某个邻域内有定义 当自变量在 处取得增量时 相应地函
3、数 取得增量如果0()f xx存在，则称在 可导，0()yf xx此极限称为在 点的导数；0000()()limlimxxyf xxf xxx 7.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 2、导数的其它形式、导数的其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx,0 xxdxdy记作：记作：,0 xxy,)(0 xxxdxfd;)(0 xf xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000即即说明：说明：点不可导；点不可导；在在不存在，则称不存在，则称、若、若00)(lim1xxfxyx)(0 xxx无穷。无穷。，不可导，也称导数为，不可导，也称导数为若若xyx0li
4、m8.)(,.)()()(lim)(,dxxdfdxdyyxfxxfxxfxfbaxx或或也可记作也可记作的导函数的导函数称为称为）（对于任一对于任一0 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.),()(,),()(内可导内可导在在就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在在、如果函数、如果函数baxfbaxfy 3.)()(004xxxfxf、9ttSttSvt)()(lim000 xxfxxfkx)()(lim000)(tSS，、导数为函数的变化率、导数为函数的变化率51如引例如引例)(0tS2引例引例)(xfy)(0 xf 10三、由
5、定义求导数三、由定义求导数例例1 1点的导数及导函数。点的导数及导函数。在在求求1532xxy解解xfxffx)1()1(lim)1(0 xxx535)1(3lim20 xxxx20)(36lim6xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxxxx535)(3lim20 x6也有也有66)()1(11xxxxff11求导的一般步骤：求导的一般步骤：);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例2 2.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0
6、lim.0.0)(C即即)(xfy 12例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44cos)(sin xxxx.22 类似可得：类似可得：xxsin)(cos即即xxcos)(sin13例例4 4.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121x.21x)(1
7、 x11)1(x.12x )1(xx)(43x4743xxx21)(21)1(xx14例例5 5.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee 15例例6 6.)1,0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1.lnax116.2)()(lim)(0000hhxfhxfxfh存存在在，求求极极限
8、限设设7例例解解:原式)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()(2100 xfxf)(0 xf 17四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy )().()(010000 xfxxxfyy18例例8 8.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出
9、在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即192.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0
10、dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.20 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000导数定义的其它形式导数定义的其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx导数的定义：导数的定义：212.2.右导数右导数:五、左右导数五、左右导数1.1.左导数左导数:000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx)(0 xf存存在在 )(0 xf =)(0 xf xyxyxyx
11、xx000limlimlim存在结结论论：如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.;)()(lim000 xxfxxfx;)()(lim000 xxfxxfx22例例9 9.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf因为hhhfhfhh00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy)0(f)0(f23六、可导与连续的关系定
12、理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x24注意注意:、连续不一定可导。、连续不一定可导。1xxf)(如xy xyo点连续，点连续，在在0)(xxf1)0(f但但1)0(f.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy反证）导。点不连续，则一定不可在、如果()(20 xxxf导数是否存在。、右点的导数问题可考察左、讨论分段函数在分段325例例1010.0,0,00,1sin)(处的连
13、续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx26六、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定
14、可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.278612P习题.20,18,17,16,15,13,11,10),7,6,4,2(9,6,4,328思考题思考题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？29思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区
15、间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值302.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置312.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置322.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置332.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置342.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置352.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置362.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置372.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置382.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置392.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置
