1、5/8/2023同济版高等数学课件第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十一章 5/8/2023同济版高等数学课件一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)5/8/2023同济版高等数学课件其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0
2、 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在 xOy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(5/8/2023同济版高等数学课件二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量.S分析分析:若 是面积为S 的平面,则流量法向量:流速为常向量:),(),(),(zyxRzyxQzyxPv)cos,cos,(cosnvcosvS
3、nvSnv5/8/2023同济版高等数学课件对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设,则 5/8/2023同济版高等数学课件设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ
4、)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P,Q,R 叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义：定义：5/8/2023同济版高等数学课件引例中,流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面 上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面 上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPd
5、ddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS),(,),(,),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式5/8/2023同济版高等数学课件3.性质性质(1)若,1kiiki 1之间无公共内点,则i且(2)用 表示 的反向曲面,则SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA d5/8/2023同济版高等数学课件三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理:设光滑曲面yxDyxyxzz),(,),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数,则yxzyxRdd)
6、,(),(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS)(yxi)(取上侧,),(iiiz0limni 1),(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(5/8/2023同济版高等数学课件 若,),(,),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(),(zy,PzyD),(zyxzydd 若,),(,),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),(),zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧,则yxzyxRdd),(),(yxDyxR),(yxzyx
7、dd5/8/2023同济版高等数学课件例例1.计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部),(:2221aaayxz取上侧 的底部),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyO5/8/2023同济版高等数学课件解解:把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考:下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分,ddyxzyx其中 为球面2x外侧在第一和第
8、八卦限部分.zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy5/8/2023同济版高等数学课件zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr5/8/2023同济版高等数学课件上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3.设S 是球面1222zyx的外侧,计算SxxzyI2cosdd2解解:利用轮换对称性,有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cos
9、ddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1r rrr21220d14cos1rr 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx202d205/8/2023同济版高等数学课件四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画5/8/2023同济版高等
10、数学课件令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA)cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd(A 在 n 上的投影)5/8/2023同济版高等数学课件例例4.位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 :r=R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq35/8/2023同济版高等数学课件yxz111例例5.设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算.dcos2SzI解解:SzIdco
11、s2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n5/8/2023同济版高等数学课件221cosyxx例例6.计算曲面积分其中 解解:利用两类曲面积分的联系,有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式=)(x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.)(2xz2211cosyx 5/8/2023同济版高等数学课件 原式=)(x)(2xzyxzddOyxz2)(xxyxD22241)(yx 原式=)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd
12、)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz5/8/2023同济版高等数学课件内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1.两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),(5/8/2023同济版高等数学课件性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关,一个与5/8/
13、2023同济版高等数学课件2.常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化5/8/2023同济版高等数学课件当yxDyxyxzz),(,),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式.5/8
14、/2023同济版高等数学课件思考与练习思考与练习1.P227 题2提示提示:设,),(,0:yxDyxz则 取上侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02.P244 题 13.P227 题3(3)5/8/2023同济版高等数学课件,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上侧,计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P227 题题3(3).设作业作业 P227 3(1),(2),(4);4(1),(2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 5/8/2023同济版高等数学课件,ddddddzyxyxzxzyI备用题备用题 求求1:222222czbyax取外侧.解解:zyxddyxcyxDbyaxdd111,2222yxcyxDbyaxdd111,2222yxcyxDbyaxdd112,2222,sin,cosrbyraxddddrrbayxrrrabcd1d21022021ccba4注意号1:2222,byaxDyx其中5/8/2023同济版高等数学课件zyxdd21ccba4利用轮换对称性xzydd21acba4yxzdd21bcba4222111cbacbaI4
