1、第八章立体几何8.18.1空间几何体的结构及其表面积、体积空间几何体的结构及其表面积、体积内容索引基础知识基础知识 自主学习自主学习题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思想与方法系列思想与方法系列思想方法思想方法 感悟提高感悟提高练出高分练出高分基础知识基础知识自主学习自主学习1.空间几何体的结构特征(1)多面体棱柱的侧棱都，上、下底面是_的多边形.棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是 多边形.平行且相等相似知识梳理知识梳理1 1答案全等(2)旋转体圆柱可以由 绕其一边所在直线旋转得到.圆锥可以由直角三角形绕其 所在直线旋转得到
2、.圆台可以由直角梯形绕 所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球可以由半圆或圆绕 所在直线旋转得到.矩形直角边直角腰直径答案2.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 画法，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为，z轴与x轴、y轴所在平面_.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为 .斜二测45(或135)平行于不变原来的一半答案垂直3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S
3、表面积S侧2S底V锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球SVR3Sh4R2答案4.常用结论(1)与体积有关的几个结论一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论a.正方体的棱长为a，球的半径为R，判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A4
4、5.()(4)圆柱的侧面展开图是矩形.()(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.()(6)菱形的直观图仍是菱形.()思考辨析答案1.下列说法正确的是_.相等的角在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等；正方形的直观图是正方形；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.解析解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.故正确.考点自测考点自测2 2解析答案123452.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.解析解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm).2解析答案123453.(2
5、014陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是_.解析解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.2解析答案123454.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为_.解析解析O是AC的中点，连结DO，BO，ADC，ABC都是等腰直角三角形.BDa，所以BDO也是等腰直角三角形.又因为DOAC，DOBO，ACBOO，所以DO平面ABC，即DO就是三棱锥DABC的高.解析答案123455.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是_.解析解析平面图形的直观图为正方形，且
6、其边长为1，对角线长为 ，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2 .解析答案12345返回题型分类深度剖析题型分类深度剖析例例1 1(1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是_.题型一题型一空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征解析答案解析解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其
7、余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.图1图2答案答案0(2)下列结论：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球.其中正确结论的序号是_.解析答案解析解析这条边若是直角三角形的
8、斜边，则得不到圆锥，错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，错；只有球满足任意截面都是圆面，正确.答案答案(3)设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是_.解析答案思维升华解析解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义
9、知是正确的.答案答案思维升华思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是_.跟踪训练1解析答案解析解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个
10、侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形.答案答案例例2 2已知ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为a的正三角形，求ABC的面积.题型二题型二空间几何体的直观图空间几何体的直观图解析答案解解建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，边AB在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点C使OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变.已知ABACa，引申探究引申探究1.若本例
11、改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？解析答案2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，ABC45，ABAD1，DCBC，则原图形的面积为_.解析答案思维升华解析解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中，AB1，ABE45，AD1，ECAD1.解析答案思维升华由此可还原原图形如图，是一个直角梯形.在原图形中，AD1，AB2，思维升华思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的
12、相应点后，用平滑的曲线连结而画出.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_.正方形；矩形；菱形；一般的平行四边形.跟踪训练2解析答案OAOC，四边形OABC是菱形.答案答案解析解析如图，在原图形OABC中，CDCD2 cm.解析解析由题意知该六棱锥为正六棱锥，设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.h1，12题型三题型三求空间几何体的表面积求空间几何体的表面积解析答案(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析答案思维升华解解如图，过A作AD平
13、面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，又由题意知AEAB，AFAC，解析答案思维升华得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，思维升华思维升华(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积
14、之和.(1)求三棱台的斜高；跟踪训练3解析答案解解设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；解析答案(2)求三棱台的侧面积和表面积.解解设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，解析答案题型四题型四求空间几何体的体积求空间几何体的体积解析答案思维升华解析解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，思维升华思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是
15、可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_.解析解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，跟踪训练4解析答案解析解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.例例5 5已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_.题型五题型五与球有关的切、
16、接问题与球有关的切、接问题解析答案引申探究引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.解析答案2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解析答案因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.解析答案思维升华 思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球
17、心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为_.跟踪训练5解析答案解析解析由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为ABC所在圆面的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理A1B1C1的外心M是
18、B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x，解析答案1 1ABB AS矩形返回思想与方法系列思想与方法系列典例典例如图：ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.则此几何体的体积为_.思维点拨思维点拨将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.思想与方法系列14.14.巧用补形法解决立体几何问题巧用补形法解决立体几何问题温馨提醒解析答案思维点拨返回解析解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，答案答案96温馨提醒温馨提醒(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时
19、，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”.(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.返回思想方法感悟提高思想方法感悟提高求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(2)求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体
20、积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.方法与技巧等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.方法与技巧求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.失误与防范返回练出高分练出高分12345678910111213141.给出下列命题
21、：在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是_.15答案2.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为_.解析解析如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条).10123456789101112131415解析答案3.用平面截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面的距离为4，则此球的表面积
22、为_.解析解析依题意，设球半径为R，满足R2324225，S球4R2100.100123456789101112131415解析答案4.(2015课标全国改编)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_斛.123456789101112131415解析答案答案答案221234567891011121314155.如图
23、，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面AB1C1，AA11，底面ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为_.123456789101112131415解析答案解析解析因为AA1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1AB1，又知AA11，A1B12，又知在AB1C1中，B1C12，123456789101112131415解析答案1 1ABCS1 11 1 111 111233AB CA A B CAAB CVVSAA三棱锥三棱锥，1 1 13A A B CVV三棱锥1234567891011121314156.(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和
24、底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析解析设新的底面半径为r，123456789101112131415解析答案7.(2015课标全国改编)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_.解析解析如图，要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，144123456789101112131415解析答案8.如图，在正三棱柱ABCA1B
25、1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积是_.解析解析因为11 111 1111MAB CABCA B CAA B MBABCCB C MVVVVV，1MAB CV123456789101112131415解析答案9.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.123456789101112131415解析答案解解如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B120，AB
26、30，12345678910111213141510.如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.123456789101112131415解析答案C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.平面B1D1D平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.B1O1HB1DD1，解解方法一连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1 平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.12345678910111
27、2131415解析答案111113CB EDFB EDFVSO H四边形方法二连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，由题意得，11111131211().36CB EDFBC EFDC EFC EFVVVShha123456789101112131415解析解析由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2r6，36123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案解析解析如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC4 cm，ASO30，ACSASC2r4 cm，r2 cm.圆台的侧面积为S(
28、r2r)424 cm2.24123456789101112131415解析答案14.(2015课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；证明证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案解解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，123456789101112131415解析答案123456789101112131415(1)求证：DE平面ACD；证明证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，BC平面ACD.DEBC，DE平面ACD.123456789101112131415解析答案(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.123456789101112131415解析答案返回解解DC平面ABC，BE平面ABC.123456789101112131415返回
