1、开始开始 学案学案4 4 两点间的距离、点到直线两点间的距离、点到直线 的的距离及两条平行直线间的距离距离及两条平行直线间的距离学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五学点六学点六学点七学点七1.数轴上两点间的距离公式为数轴上两点间的距离公式为:|AB|=.2.若若A(x1,y1),B(x2,y2),平面上平面上A与与B两点间的距离公式为两点间的距离公式为:|AB|=.当当AB垂直于垂直于y轴时轴时,|AB|=.当当AB垂直于垂直于x轴时轴时,|AB|=.当当A是原点时是原点时,|AB|=.|xA-xB|)y-(y)x-(x221221|x1-x2|y1-y2|2222yx
2、返回返回 3.点点P(x0,y0)到直线到直线Ax+By+C=0的距离记为的距离记为d,则则d=.点点P（x0，y0）到直线）到直线y=b的距离：的距离：d=；点点P（x0，y0）到直线）到直线x=a的距离：的距离：d=；点点P（x0，y0）在直线上时：）在直线上时：d=.4.若若l1,l2的方程分别是的方程分别是Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0,则它们之间的距离则它们之间的距离d=.2200BA|CByAx|y0-b|x0-a|02221BA|C-C|返回返回 学点一学点一 求两点间的距离求两点间的距离已知点已知点A(-1,2),B(2,),在在x轴上求一点轴上求一点P,使使|PA
3、|=|PB|,并求并求|PA|的值的值.【分析分析】利用两点间的距离公式表示利用两点间的距离公式表示|PA|,|PB|,解方程可求解方程可求P.【解析解析】点点P在在x轴上轴上,可设点可设点P(x0,0).由两点间的距离公式得由两点间的距离公式得|PA|=,|PB|=.|PA|=|PB|,=.整理得整理得x0=1,点点P为为(1,0),|PA|=2 .41)(x2072)-(x20 41)(x2072)-(x20 41)(122返回返回 7【评析评析】(1)熟记两点间的距离公式是关键熟记两点间的距离公式是关键.(2)由由|PA|=|PB|知点知点P应在应在AB的垂直平分线上的垂直平分线上,因此
4、也可因此也可采用下列解法采用下列解法:设设AB中点为中点为C(x0,y0),则则x0=,y0=,又又kAB=，AB垂直平分线方程为垂直平分线方程为y-=-（x-）,即即y=-(+2)x+(+2).由题意知点由题意知点P在在AB垂直平分线上，也在垂直平分线上，也在x轴上轴上.令令y=0得得x=1，点点P（1，0）.由两点间的距离公式得由两点间的距离公式得|PA|=.21221-227 327(-1)-227227 273217722 41)(12返回返回 已知直线已知直线l1:2x+y-6=0和点和点A(1,-1),过点过点A作直线作直线l与与l1相交相交于点于点B,且且|AB|=5,求直线求直
5、线l的方程的方程.点点B在直线在直线l1:2x+y-6=0上上,可设点可设点B的坐标为的坐标为(a,6-2a),由两由两点间的距离公式得点间的距离公式得|AB|=5,整理得整理得a2-6a+5=0,解得解得a=1或或a=5.即点即点B为为(1,4)或或(5,-4),因为直线因为直线l过点过点A和点和点B,所以当点所以当点B为为(1,4)时时,l的方程为的方程为x=1,当点当点B为为(5,-4)时时,l的方程为的方程为 ,即即3x+4y+1=0.综上综上l的方程为的方程为x=1或或3x+4y+1=0.1)2a-(61)-(a22151x141y返回返回 学点二学点二 用坐标法证明平面几何问题用坐
6、标法证明平面几何问题已知已知AO是是ABC中中BC边的中线边的中线,证明证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).【分析分析】用平面几何法证明困难比较大用平面几何法证明困难比较大,但用坐标法求出但用坐标法求出各段线段长各段线段长,观察其是否相等观察其是否相等,就容易了就容易了.【证明证明】取取BC边所在直线为边所在直线为x轴轴,边边BC的中点为原点的中点为原点,建建立直角坐标系立直角坐标系,如图所示如图所示.设设B(-a,0),C(a,0),A(m,n)(其中其中a0),则则|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2),|AO|2+|
7、OC|2=m2+n2+a2,|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|CO|2).返回返回【评析评析】选择恰当坐标系的原则是选择恰当坐标系的原则是“避繁就简避繁就简”，按如下，按如下所述方法选取坐标系能达到这个目的所述方法选取坐标系能达到这个目的:(1)若题目中出现一个定点若题目中出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐标常以定点为原点建立直角坐标系系;(2)若已知两定点若已知两定点,常以两定点的中点常以两定点的中点(或其中一个点或其中一个点)为原点为原点,两定点所在的直线为两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系;(3)若已知两条互相垂直的定直线若已知两条互相垂直的定直线,则以它们
8、为坐标轴建立则以它们为坐标轴建立直角坐标系直角坐标系;(4)若已知一定点和一定直线若已知一定点和一定直线,常以定点到定直线的垂线段常以定点到定直线的垂线段的中点为原点的中点为原点,该垂线段所在直线为该垂线段所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系;(5)若已知定角若已知定角,常以定角的顶点为原点常以定角的顶点为原点,定角的角平分线为定角的角平分线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.返回返回 ABD和和BCE是在直线是在直线AC同侧的两个等边三角形同侧的两个等边三角形,用坐用坐标法证明标法证明:|AE|=|CD|.证明证明:如图如图,以点以点B为坐标原点为坐标原点,取取AC所在直线为所在直
9、线为x轴轴,建立平建立平面直角坐标系面直角坐标系,设设ABD和和BCE的边长分别为的边长分别为a,c,则则A(-a,0),D（,）,C(c,0),E（,）,|AE|2aa232cc232222222cacac43aac4c0)c23(a)2c(返回返回|CD|.|AE|=|CD|.2222222cacaa43cac4a0)a23()2a(c返回返回 学点三学点三 求点到直线的距离求点到直线的距离求点求点P(3,-2)到下列直线的距离到下列直线的距离:(1)y=x+;(2)y=6;(3)y轴轴.【分析分析】根据点到直线的距离公式求解根据点到直线的距离公式求解.【解析解析】(1)把方程把方程y=x
10、+写成写成3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 d=.(2)因为直线因为直线y=6平行于平行于x轴轴,所以所以d=|6-(-2)|=8.(3)d=|3|=3.434143415184)(3|1(-2)4-33|22返回返回【评析评析】求点到直线的距离求点到直线的距离,一般先把直线的一般先把直线的方程写成一般式方程写成一般式.对于与坐标轴平行的直线对于与坐标轴平行的直线x=a或或y=b,求点到它们的距离求点到它们的距离,即可求点到直线的即可求点到直线的距离公式距离公式,也可以直接写成也可以直接写成d=|x0-a|或或d=|y0-b|.返回返回 P点在直线点在直线3x+
11、y-5=0上上,且且P到直线到直线x-y-1=0的距离等的距离等于于 ,求求P点坐标点坐标.设设P点坐标为（点坐标为（a,b)，则有，则有3a+b-5=0,P到直线到直线x-y-1=0的距离为的距离为 ,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 =,即即|a-b-1|=2,解得解得 a=1 a=2 b=2 或或 b=-1,即即P点坐标为（点坐标为（1，2）或（）或（2，-1）.22221)(1|1-b-a|2返回返回 学点四学点四 点到直线距离公式的应用点到直线距离公式的应用已知正方形的中心为直线已知正方形的中心为直线x-y+1=0和和2x+y+2=0的交点的交点,正方形一边所在直线方程为
12、正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边方程求其他三边方程.【分析分析】在正方形中在正方形中,中心到各边的距离都相等中心到各边的距离都相等,且对边平且对边平行行.由此建立关系由此建立关系.【解析解析】由由 x-y+1=0 x=-1 2x+y+2=0 得得 y=0.设正方形相邻两边方程为设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和和3x-y+n=0.正方形中心到各边距离相等正方形中心到各边距离相等,和和 .10310|m-1|10310|n-3|返回返回【评析评析】正方形对边互相平行正方形对边互相平行,中心到各边的距离相等中心到各边的距离相等,而相邻两边又互相垂直而相邻两边又互相垂直.因
13、此设直线方程时因此设直线方程时,要充分利用要充分利用已知正方形一边的直线方程已知正方形一边的直线方程.m=4或或m=-2和和n=6或或n=0其他三边方程为其他三边方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0返回返回 当当m取何值时取何值时,直线直线l1:5x-2y+3m(3m+1)=0与与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线的交点到直线l3:4x-3y-12=0的距离最短的距离最短?这这个最短距离是多少个最短距离是多少?设设l1与与l2的交点为的交点为M,则则 5x-2y+3m(3m+1)=0 2x+6y-3m(9m+20)=0 设设M到到l3的距离为的距离为d,则则
14、当当m=-时时,min=.218m9m3m,2M.347)9527(m101341218m)(9m2312md2222953047返回返回 学点五学点五 求两条平行直线间的距离求两条平行直线间的距离已知直线已知直线l1与与l2的方程分别为的方程分别为7x+8y+9=0,7x+8y-3=0,直线直线l平行于平行于l1,直线直线l与与l1的距离为的距离为d1,与与l2的距离为的距离为d2,且且 ,求直线求直线l的方程的方程.【分析分析】既然既然l1l2l,可设出可设出l的方程的方程,用平行直线间的用平行直线间的距离公式求解距离公式求解.2121dd返回返回【解析解析】解法一解法一:因为直线因为直线
15、l平行于平行于l1,可设可设l的方程为的方程为7x+8y+C=0,在在l1上任取一点上任取一点(0,),因为平行线间距离处处因为平行线间距离处处相等相等,所以点所以点(0,)到直线到直线l1的距离为的距离为d,即即 同理同理,在在l2上取点上取点(0,),可得可得d2 .因为因为2d1=d2,所以有所以有2 .解得解得C=21或或C=5,于是直线于是直线l的方程为的方程为7x+8y+21=0或或7x+8y+5=0.8989.879-C87C)89(807d2222122873C2287 9-C22873C83返回返回 解法二解法二:由直线由直线l平行于平行于l1,可设可设l的方程为的方程为7x
16、+8y+C=0.l1l,d1=.又又l2l,d2 由已知由已知2d1=d2得得2 .解得解得C=21或或C=5,于是直线于是直线l的方程为的方程为7x+8y+21=0或或7x+8y+5=0.【评析评析】求两条平行直线间的距离时求两条平行直线间的距离时,只需把直线方程只需把直线方程化为一般式且使化为一般式且使x,y的系数分别对应相等的系数分别对应相等,两平行线间的两平行线间的距离与在其中一条直线上的点选择无关距离与在其中一条直线上的点选择无关.2287C-922873C2287 C-922873C返回返回 求与直线求与直线5x-12y+6=0平行且两直线间的距离为平行且两直线间的距离为2的直线的
17、直线l的方程的方程.解法一解法一:设所求直线的方程为设所求直线的方程为5x-12y+C=0,在直线在直线5x-12y+6=0上取一点上取一点P0(0,),点点P0到直线到直线5x-12y+C=0的距离为的距离为由题意得由题意得 .C=32或或C=-20,所求直线的方程为所求直线的方程为5x-12y+32=0或或5x-12y-20=0.21.136c12)(5c2112d22213|6-C|返回返回 解法二解法二:设所求直线的方程为设所求直线的方程为5x-12y+C=0,由两条平行直线间的距离公式由两条平行直线间的距离公式,得得2=,解之得解之得C=32或或C=-20,故所求直线的方程为故所求直
18、线的方程为5x-12y+32=0和和5x-12y-20=0.2212)(56c返回返回 学点六学点六 求与距离有关的直线方程求与距离有关的直线方程过点过点P（1，2）引直线）引直线l,使使A(2,3),B(4,-5)两点到它的两点到它的距离相等距离相等,求直线的方程求直线的方程.【分析分析】A,B两点到两点到l的距离相等的距离相等,故可设出直线故可设出直线l的方程的方程.【解析解析】解法一解法一:设直线方程为设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为不同时为0),由题意可得由题意可得 A+2B+C=0 ，解得解得A=4B,C=-6B或或B=A,C=A.直线直线l的方程为的方程为4Bx+By
19、-6B=0或或Ax+Ay A=0，即，即4x+y-6=0或或3x+2y-7=0.2222BAC5B4ABAC3B2A32373237返回返回 解法二解法二:显然符合要求的直线的斜率存在显然符合要求的直线的斜率存在,可设直线可设直线 方程为方程为y=kx+b,根据条件可得根据条件可得 2=k+b ，化简得化简得 k+b=2 k+b=2 k=-4 或或 3k+b+1=0.解得解得 k=-4 k=b=6 或或 b=.直线直线l的方程为的方程为4x+y-6=0或或3x+2y-7=0.1k|b54k|1k|b3-2k|222327返回返回【评析评析】待定系数法设出方程待定系数法设出方程,然后再由距离相等
20、求系然后再由距离相等求系数数.在用点斜式时在用点斜式时,要分斜率存在与不存在两种情形考虑要分斜率存在与不存在两种情形考虑,可用数形结合法作出判断可用数形结合法作出判断.另外，此题可用直接法另外，此题可用直接法.所求所求直线为过直线为过P点与点与AB的中点的直线和过的中点的直线和过P点与直线点与直线AB平行平行的直线的直线.返回返回 设三角形设三角形ABC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为A(5,5),B(1,4),C(4,1),求求A的平分线所在直线方程的平分线所在直线方程.设设点点P(x,y)是角平分线上任意一点是角平分线上任意一点,根据角平分线的几何根据角平分线的几何性质性质,点点P
21、到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等,由两点式得由两点式得AB的方程为的方程为 ,即即x-4y+15=0,AC的方程为的方程为 ,即即4x-y-15=0.,即即x+y-10=0或或x-y=0.结合图形分析可知结合图形分析可知A平分线所在直线方程为平分线所在直线方程为x-y=0.1-51-x4-54-y4-54-x1-51-y2222(-1)4|15-y-4x|(-4)115-4y-x返回返回 学点七学点七 综合应用综合应用如图所示如图所示,已知点已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线和直线l:4x+3y-2=0,求点求点P使使|PA|=|PB|,且点且点P到直线到直线l的距离等于的距离
22、等于2.【分析分析】为使为使|PA|=|PB|,点点P必须在线段必须在线段AB的垂直平分线的垂直平分线上上,又点又点P到直线到直线l的距离为的距离为2,所以点所以点P又在距又在距l为为2的平行于的平行于l的直线上的直线上,求这两条直线的交点可得求这两条直线的交点可得.【解析解析】设点设点P的坐标为的坐标为P(a,b).A(4,-3),B(2,-1)，AB的中点的中点M的坐标为的坐标为(3,-2).又又AB的斜率为的斜率为 ，-12-413-kAB返回返回 AB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y+2=x-3，即，即x-y-5=0.而而P(a,b)在直线在直线x-y-5=0上，上，a-b-5=
23、0.又已知点又已知点P到到l的距离为的距离为2,点点P必在与必在与l平行且距离为平行且距离为2的直线上的直线上.设直线方程为设直线方程为4x+3y+m=0.由两条平行直线间的距离公式得由两条平行直线间的距离公式得 m=8或或m=-12.点点P(a,b)在直线在直线4x+3y+8=0或或4x+3y-12=0上上.4a+3b+8=0或或4a+3b-12=0.由解得由解得a=1,b=-4或或a=,b=.点点P(1,-4)或或(,)为所求为所求.25|2m|7277872778返回返回【评析评析】在平面几何中在平面几何中,常用交轨法作图得常用交轨法作图得P点的位置点的位置,而在解析几何中而在解析几何中
24、,则是将直线用方程表示则是将直线用方程表示,用求方程的用求方程的解决方式来求得解决方式来求得P点坐标点坐标,可见解析法的重要应用即是可见解析法的重要应用即是其方便之处其方便之处.返回返回 已知直线已知直线l经过点经过点P(3,1)且被两平行直线且被两平行直线l1:x+y+1=0和和l2:x+y+6=0截得的线段长为截得的线段长为5,求直线求直线l的方程的方程.解法一解法一:设两平行直线设两平行直线x+y+1=0和和x+y+6=0的距离为的距离为d,则则 ,设直线设直线l与两平行线的夹角为与两平行线的夹角为,则则sin=,所以所以=45,因为两平行线的斜率为因为两平行线的斜率为-1，故所求直线的
25、斜率不存在或为零，故所求直线的斜率不存在或为零.由于直线过点由于直线过点P(3,1),故所求直线方程为故所求直线方程为x=3或或y=1.225216d22返回返回 解法二解法二:若直线若直线l的斜率不存在的斜率不存在,则直线则直线l的方程为的方程为x=3.此时与此时与l1,l2的交点分别为的交点分别为A(3,-4)和和B(3,-9),截得的线段长截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意符合题意.若直线若直线l的斜率存在，则设直线的斜率存在，则设直线l的方程为的方程为y=k(x-3)+1.解方程组式解方程组式 y=k(x-3)+1 x+y+1=0,得得 ,解方程组解方程组 y=k(x-3
26、)+1 x+y+6=0,得得 ,由由|AB|=5,得得 解之得解之得k=0,即所求的直线方程为即所求的直线方程为y=1.综上可知综上可知,所求直线所求直线l的方程为的方程为x=3或或y=1.)1k1-4k,-1k2-3kA()1k1-9k,-1k7-3kB(25)1k1-9k-1k1-4k(-)1k7-3k-1k2-3k(22返回返回 1.两点间的距离公式推导的指导思想是怎样的两点间的距离公式推导的指导思想是怎样的?(1)两点间距离公式是一个重要的基本公式两点间距离公式是一个重要的基本公式.公式的推导公式的推导过程中所使用的过程中所使用的“分解分解”“”“综合综合”方法，充分体现了转方法，充分
27、体现了转化思想化思想.(2)这里所说的这里所说的“分解分解”与与“综合综合”方法方法,是指把坐标平是指把坐标平面上的问题投影到两个坐标轴上面上的问题投影到两个坐标轴上,从而分解为两个坐标轴从而分解为两个坐标轴上的两个问题上的两个问题;然后再把每个坐标轴上的问题的解答综合然后再把每个坐标轴上的问题的解答综合起来起来,得到坐标平面上的问题得到坐标平面上的问题.(3)分解过程应用了数轴上两点间的距离公式分解过程应用了数轴上两点间的距离公式;综合应用综合应用勾股定理勾股定理.返回返回 2.点到直线的距离公式推导的思路是怎样的点到直线的距离公式推导的思路是怎样的?我们知道我们知道,在平面几何中在平面几何
28、中,求点求点P到直线到直线l的距离的距离,往往先往往先过点过点P作作l的垂线的垂线PH,垂足是垂足是H,再求出再求出PH的长度的长度,这就是这就是点点P到直线到直线l的距离的距离,那么在平面直角坐标系中那么在平面直角坐标系中,用坐标法用坐标法求求P(x0,y0)到直线到直线Ax+By+C=0的距离的方法的距离的方法,与平面几与平面几何中点到直线的距离求法思路相同何中点到直线的距离求法思路相同,不同之处是用坐标不同之处是用坐标算出来算出来.教材上用实例给出了这种求距离的方法教材上用实例给出了这种求距离的方法.而用而用直角三角形面积求法总结出了公式的推导过程直角三角形面积求法总结出了公式的推导过程
29、.返回返回 设坐标平面上设坐标平面上(如图所示如图所示)有点有点P(x1,y1)和直线和直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为零不全为零).3.用第一种思路如何推导出点到直线的距离用第一种思路如何推导出点到直线的距离?返回返回 作直线作直线m通过点通过点P(x1,y1),并且与直线并且与直线l垂直垂直.设垂足设垂足 为为P0(x0,y0),容易求得直线容易求得直线m的方程为的方程为:B(x-x1)-A(y-y1)=0.由此得由此得B(x0-x1)-A(y0-y1)=0.(*)因此因此P0又在直线又在直线l上上,可知可知Ax0+By0+C=0,即即C=-Ax0-By0.所以所以Ax1+By1+
30、C=Ax1+By1-Ax0-By0,即即A(x1-x0)+B(y1-y0)=Ax1+By1+C.(*)把等式把等式(*)和和(*)两边平方后相加两边平方后相加,整理可得整理可得(A2+B2)(x1-x0)2+(y-y0)2=(Ax1+By1+C)2,即即(x1-x0)2+(y-y0)2 .容易看出容易看出,等式左边即为点等式左边即为点P(x1,y1)到直线到直线l的距离的平方的距离的平方.由由此此,我们就可以得到点我们就可以得到点P(x1,y1)到直线到直线l的距离的距离d的计算公式的计算公式 .22211BAC)By(Ax2211BACByAxd返回返回 1.学习中应注意的问题学习中应注意的
31、问题(1)求点到直线的距离时求点到直线的距离时,直线方程必须化成一般式直线方程必须化成一般式.(2)求两平行线间的距离时求两平行线间的距离时,直线方程化为一般式且使直线方程化为一般式且使x,y的系的系数分别对应相等数分别对应相等.两平行线间的距离与在其中一条直线上的两平行线间的距离与在其中一条直线上的点选择无关点选择无关.返回返回(1)点点P(x0,y0)与直线与直线l:Ax+By+C=0的位置关系的位置关系:Ax0+By0+C=0 P在直线在直线l上上;Ax0+By0+C0 P在直线在直线l外外.(2)求两条直线的角平分线方程的方法求两条直线的角平分线方程的方法由角平分线定义知由角平分线定义知:角平分线上任意一点到角两边的距角平分线上任意一点到角两边的距离相等离相等,但可能会出现两解但可能会出现两解,因此应结合图形进行取舍因此应结合图形进行取舍.2.学习方法、解题技巧、思维方法学习方法、解题技巧、思维方法返回返回
