1、离散型随机变量及其分布列高考数学专题复习高考数学专题复习 要点梳理1.1.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 (1)(1)如果随机试验的结果可以用一个如果随机试验的结果可以用一个_来表示来表示,那那 么这样的变量叫做么这样的变量叫做_;_;按一定次序一一列出按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做这样的随机变量叫做_._.12.4 离散型随机变量及其分布列随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量变量变量基础知识(2)(2)设离散型随机变量设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为x x1 1,x x2 2,x xn n,取每一个值取每一个值x xi i(i i=1,2,=1,2,n
2、 n)的概率的概率P P(=(=x xi i)=)=p pi i,则称表则称表 为随机变量为随机变量 的概率分布的概率分布,具有性质具有性质:p pi i _0,_0,i i=1,=1,2,2,n n；p p1 1+p p2 2+p pi i+p pn n=_.=_.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取 这个范围内各个值的这个范围内各个值的_._.x x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n1 1概率之和概率之和2.2.如果随机变量如果随机变量X X的分布列为的分布列为 其中其中00p
3、 p1,44的概率的概率.先分析随机变量先分析随机变量X X的可能取值的可能取值:3,4,5,6,:3,4,5,6,应用古典概型求出应用古典概型求出X X取每一个值的概率取每一个值的概率,即得即得X X的分的分 布列布列,求求X X44的概率即求的概率即求P P(X X=5)=5)与与P P(X X=6)=6)的和的和.思维启迪思维启迪题型分类 深度剖析解 (1)(1)X X的可能取值为的可能取值为3,4,5,6,3,4,5,6,从而有：从而有：故故X X的分布列为的分布列为 .21CCC)6(,103CCC)5(,203CCC)4(,201CC)3(362511362411362311363
4、3XPXPXPXPX X3 34 45 56 6P P20120310321 求离散型随机变量的分布列步骤是求离散型随机变量的分布列步骤是:(1):(1)找找出随机变量出随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值x xi i(i i=1,2,);(2)=1,2,);(2)求出求出取各值取各值x xi i的概率的概率P P(X X=x xi i)；(3)(3)列表列表,求出分布列后要注求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确意应用性质检验所求的结果是否准确.探究提高探究提高.54105103)6()5()4()2(XPXPXP知能迁移知能迁移1 1 袋中有袋中有3 3个白球个白球,2,2
5、个红球和若干个黑个红球和若干个黑 球球(球的大小均相同球的大小均相同)，从中任取，从中任取2 2个球个球,设每取出一设每取出一 个黑球得个黑球得0 0分分,每取出一个白球得每取出一个白球得1 1分分,每取出一个红每取出一个红 球得球得2 2分分,已知得已知得0 0分的概率为分的概率为 (1)(1)求袋中黑球的个数及得求袋中黑球的个数及得2 2分的概率；分的概率；(2)(2)设所得分数为设所得分数为 ,求求 的分布列的分布列.61解 (1)(1)设有黑球设有黑球x x个个,则则(2)(2)可取可取0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,的分布列为的分布列为 .4,61CC252xxx解得.361
6、1CCCCC)2(2914122923P0 01 12 23 34 4P P6131361161361题型二题型二 离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质【例例2 2】设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 求：求：(1)2(1)2X X+1+1的分布列；的分布列；(2)|(2)|X X-1|-1|的分布列的分布列.先由分布列的性质先由分布列的性质,求出求出m m,由函数对应由函数对应 关系求出关系求出2 2X X+1+1和和|X X-1|-1|的值及概率的值及概率.X X0 01 12 23 34 4P P0.20.20.10.10.10.10.30.3m
7、m 思维启迪思维启迪 解 由分布列的性质知：由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+0.2+0.1+0.1+0.3+m m=1,=1,m m=0.3.=0.3.首先列表为：首先列表为：从而由上表得两个分布列为从而由上表得两个分布列为:(1)2(1)2X X+1+1的分布列：的分布列：X X0 01 12 23 34 42 2X X+1+11 13 35 57 79 9|X X-1|-1|1 10 01 12 23 32 2X X+1+11 13 35 57 79 9P P0.20.20.10.10.10.10.30.30.30.3(2)|(2)|X X-1|-1|的分布列：的分布列：
8、利用分布列的性质利用分布列的性质,可以求分布列中的参可以求分布列中的参数值数值.对于随机变量的函数对于随机变量的函数(仍是随机变量仍是随机变量)的分布列的分布列,可以按分布列的定义来求可以按分布列的定义来求.|X X-1|-1|0 01 12 23 3P P0.10.10.30.30.30.30.30.3探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 设随机变量设随机变量 的分布列的分布列 (k k=1,2,3,4,5).=1,2,3,4,5).(1)(1)求常数求常数a a的值；的值；(2)(2)求求 (3)(3)求求 解 所给分布列为所给分布列为 (1)(1)由由a a+2+2a a+3+3a a
9、+4+4a a+5+5a a=1,=1,得得akkP)5();53(P).107101(PP Pa a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a5152535455.151a334(2)()()()(1)5553454.151515532()1()551241().15155PPPPPP 或.)()()()(,)(521531521515352511071015352511071013 PPPP故故满足满足只有只有因为因为题型三题型三 利用随机变量分布列解决概率分布问题利用随机变量分布列解决概率分布问题 【例例3 3】(12(12分分)袋中装着标有数字袋中装着标有数字1,2,3,4,51
10、,2,3,4,5的小球的小球 各各2 2个个,从袋中任取从袋中任取3 3个小球个小球,按按3 3个小球上最大数字的个小球上最大数字的 9 9倍计分倍计分,每个小球被取出的可能性都相等每个小球被取出的可能性都相等,用用X X表示表示 取出的取出的3 3个小球上的最大数字个小球上的最大数字,求：求：(1)(1)取出的取出的3 3个小球上的数字互不相同的概率；个小球上的数字互不相同的概率；(2)(2)随机变量随机变量X X的分布列；的分布列；(3)(3)计分介于计分介于2020分到分到4040分之间的概率分之间的概率.(1)(1)是古典概型是古典概型;(2);(2)关键是确定关键是确定X X的所有的
11、所有 可能取值可能取值;(3);(3)计分介于计分介于2020分到分到4040分之间的概率等于分之间的概率等于 X X=3=3与与X X=4=4的概率之和的概率之和.思维启迪思维启迪解 (1)(1)方法一 “一次取出的一次取出的3 3个小球上的数字互个小球上的数字互 不相同不相同”的事件记为的事件记为A A,则则 3 3分分方法二 “一次取出的一次取出的3 3个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A A,“,“一次取出的一次取出的3 3个小球上有两个数字相个小球上有两个数字相同同”的事件记为的事件记为B B,则事件则事件A A和事件和事件B B是互斥事件是互斥事件.
12、1.1分分 3 3分分.32CCCCC)(31012121235AP.32311)(1)(,31CCCC)(310182215BPAPBP所以因为(2)(2)随机变量随机变量X X的可能取值为的可能取值为2,3,4,52,3,4,5，取相应值的概，取相应值的概 率分别为率分别为 随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为 1010分分分分分分8.158CCCCCC)5(6,103CCCCCC)4(5,152CCCCCC)3(4,301CC)2(31018223102812310162231026123101422310241231034XPXPXPXPX X2 23 34 45 5P P301
13、152103158(3)(3)由于按由于按3 3个小球上最大数字的个小球上最大数字的9 9倍计分，所以当计倍计分，所以当计 分介于分介于2020分分 4040分时分时,X X的取值为的取值为3 3或或4,4,所以所求概率为所以所求概率为 在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布列上来到分布列上来,这样所求的概率就可由分布列中相应这样所求的概率就可由分布列中相应取值的概率累加得到取值的概率累加得到.分12.3013103152)4()3(XPXPP探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 一批产品共一批产品共1010件件,其中其中7 7件正品，件正品，3 3件
14、次件次 品品,每次从这批产品中任取一件每次从这批产品中任取一件,在下述三种情况下在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数分别求直至取得正品时所需次数X X的概率分布列的概率分布列.(1)(1)每次取出的产品不再放回去；每次取出的产品不再放回去；(2)(2)每次取出的产品仍放回去；每次取出的产品仍放回去；(3)(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到 这批产品中这批产品中.解 (1)(1)由于总共有由于总共有7 7件正品件正品,3,3件次品件次品,所以，所以，X X的可的可 能取值是能取值是1,2,3,4,1,2,3,4,取这些值的概率分别
15、为取这些值的概率分别为所以所以X X的概率分布列为的概率分布列为 .1201778192103)4(,12078792103)3(,30797103)2(,107)1(XPXPXPXPX X1 12 23 34 4P P10730712071201(2)(2)由于每次取出的产品仍放回去由于每次取出的产品仍放回去,下次取时完全相下次取时完全相 同同,所以所以X X的可能取值是的可能取值是1,2,1,2,k k,相应的取值概相应的取值概率是：率是：所以所以X X的概率分布列为的概率分布列为 .107)103()(,000163107103103)3(,10021107103)2(,107)1(1k
16、kXPXPXPXPX X1 12 23 3k kP P10710021000163107)103(1k(3)(3)与情况与情况(1)(1)类似类似,X X的可能取值是的可能取值是1,2,3,41,2,3,4，而其相，而其相 应概率为应概率为所以所以X X的概率分布列为的概率分布列为 .50031010101102103)4(,50027109102103)3(,256108103)2(,107)1(XPXPXPXPX X1 12 23 34 4P P107256500275003 1.1.所谓随机变量所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对就是试验结果和实数之间的一个对 应关系应关系,这与
17、函数概念本质上是相同的这与函数概念本质上是相同的,只不过在函只不过在函 数概念中数概念中,函数函数f f(x x)的自变量是实数的自变量是实数x x,而在随机变量而在随机变量 的概念中的概念中,随机变量随机变量X X是试验结果是试验结果.方法与技巧思想方法 感悟提高2.2.对于随机变量对于随机变量X X的研究，需要了解随机变量将取哪的研究，需要了解随机变量将取哪 些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对对 于离散型随机变量于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量它的分布正是指出了随机变量X X 的取值范围以及取这些值的概率的取值范围以及取这些
18、值的概率.3.3.求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况首先要根据具体情况 确定确定 的取值情况的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识然后利用排列、组合与概率知识 求出求出 取各个值的概率取各个值的概率.掌握离散型随机变量的分布列掌握离散型随机变量的分布列,须注意须注意 (1)(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量分布列的结构为两行，第一行为随机变量X X所有所有 可能取得的值可能取得的值;第二行是对应于随机变量第二行是对应于随机变量X X的值的事的值的事 件发生的概率件发生的概率.看每一列看每一列,实际上是实际上是:上为上为“事件事件”,下为事件发生的概率
19、，只不过下为事件发生的概率，只不过“事件事件”是用一个反是用一个反 映其结果的实数表示的映其结果的实数表示的.每完成一列每完成一列,就相当于求一就相当于求一 个随机事件发生的概率个随机事件发生的概率.(2)(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列 的正误的正误.失误与防范 一、选择题一、选择题1.1.将一颗骰子均匀掷两次将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为随机变量为 ()()A.A.第一次出现的点数第一次出现的点数 B.B.第二次出现的点数第二次出现的点数 C.C.两次出现点数之和两次出现点数之和 D.D.两次出现相同点的种数两次出现相同点的种数
20、解析 A A、B B中出现的点数虽然是随机的中出现的点数虽然是随机的,但他们取值但他们取值 所反映的结果所反映的结果,都不是本题涉及试验的结果都不是本题涉及试验的结果.D.D中出现中出现 相同点数的种数就是相同点数的种数就是6 6种种,不是变量不是变量.C.C整体反映两次整体反映两次 投掷的结果投掷的结果,可以预见两次出现数字的和是可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6,7,8,9,10,11,12,共共1111种结果种结果,但每掷一次前但每掷一次前,无法无法 预见是预见是1111种中的哪一个种中的哪一个,故是随机变量故是随机变量,选选C
21、.C.C定时检测2.2.随机变量随机变量X X的概率分布规律为的概率分布规律为 (n n=1,2,3,4),=1,2,3,4),其中其中a a是常数是常数,则则 的值的值 为为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析 )()(1 nnanXP)(2521 XP32435465.)()()(,),()()(656145214521252145120126243211 XPXPXPaaaaannnanXPD3.3.若若 其中其中x x1 1 x x2 2,则则 等于等于 ()()A.B.A.B.C.D.C.D.解析 由分布列性质可有：由分布列性质可有：,1)(21xxP )(11)(1)(1
22、1)(11).()()()()()(111111221xPxPxxPB )(,)(121xPxP 4.4.从一批含有从一批含有1313只正品只正品,2,2只次品的产品中只次品的产品中,不放回地不放回地 任取任取3 3件件,则取得次品数为则取得次品数为1 1的概率是的概率是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析 设随机变量设随机变量X X表示取出次品的个数，则表示取出次品的个数，则X X服从服从 超几何分布超几何分布,其中其中N N=15,=15,MM=2,=2,n n=3,=3,它的可能的取值为它的可能的取值为 0,1,2,0,1,2,相应的概率为相应的概率为3532351235335
23、2.CCC)(3512131521312 XPB5.5.设设 是一个离散型随机变量是一个离散型随机变量,其分布列为其分布列为 则则q q的值为的值为 ()()A.1 B.C.D.A.1 B.C.D.解析 由分布列的性质由分布列的性质,有有-1-10 01 1P P1-21-2q qq q2 221221221221.CBA,.,、qqqqqqq可可排排除除或或由由解解得得2102122112121002122 D6.6.一只袋内装有一只袋内装有m m个白球，个白球，n n-m m个黑球，连续不放回个黑球，连续不放回 地从袋中取球地从袋中取球,直到取出黑球为止直到取出黑球为止,设此时取出了设此时
24、取出了 个白球个白球,下列概率等于下列概率等于 的是的是 ()()A.B.A.B.C.D.C.D.解析32nmmnAA)()3(P)2(P)3(P)2(P.AA)(ACA)2(32312nmnmnmmnPD二、填空题二、填空题7.7.如图所示如图所示,A A、B B两点两点5 5条连线并联条连线并联,它们在单位时间它们在单位时间 内能通过的最大信息量依次为内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.2,3,4,3,2.现记从中现记从中 任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量 为为 ,则则 =_.=_.)8(P解析 方法一 由已知由已知,的取值
25、为的取值为7,8,9,10,7,8,9,10,的概率分布列为的概率分布列为 ,CCC)(,CCCC)(,CCCCC)(,CCC)(101105291038517351122351112123512221122351222 PPPP7 78 89 91010P P5110352101 方法二 答案 .5410152103)10()9()8()8(PPPP.54CCC1)7(1)8(351222PP548.8.随机变量随机变量 的分布列如下：的分布列如下：若若a a、b b、c c成等差数列成等差数列,则则 =_.=_.解析 a a、b b、c c成等差数列成等差数列,2 2b b=a a+c c
26、,又又a a+b b+c c=1,=1,-1-10 01 1P Pa ab bc c)1|(|P.)|(|,32131 caPb 329.9.连续向一目标射击连续向一目标射击,直至击中为止，已知一次射击直至击中为止，已知一次射击 命中目标的概率为命中目标的概率为 则射击次数为则射击次数为3 3的概率为的概率为_._.解析 “=3”=3”表示表示“前两次未击中前两次未击中,且第三次击且第三次击 中中”这一事件这一事件,43643.643434141)3(P则三、解答题三、解答题 10.10.一个袋中有一个袋中有1 1个白球和个白球和4 4个黑球，每次从中任取一个黑球，每次从中任取一 个球个球,每
27、次取出的黑球不再放回去每次取出的黑球不再放回去,直到取得白球为直到取得白球为 止止,求取球次数的分布列求取球次数的分布列.解 设取球次数为设取球次数为 ,则则 ,51AA)2(,51A1)1(251415PP.,54321的可能取值为的可能取值为 随机变量随机变量 的分布列为：的分布列为：,51AA)5(,51AA)4(,51AA)3(554445343524PPP1 12 23 34 45 5P P515151515111.11.某校组织一次冬令营活动某校组织一次冬令营活动,有有8 8名同学参加，其中名同学参加，其中 有有5 5名男同学名男同学,3,3名女同学名女同学,为了活动的需要为了活动
28、的需要,要从这要从这8 8 名同学中随机抽取名同学中随机抽取3 3名同学去执行一项特殊任务名同学去执行一项特殊任务,记记 其中有其中有X X名男同学名男同学.(1)(1)求求X X的分布列；的分布列；(2)(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率求去执行任务的同学中有男有女的概率.解 (1)(1)X X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3.0,1,2,3.根据公式根据公式 算出其相应的概率算出其相应的概率,即即X X的分布列为的分布列为(2)(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为去执行任务的同学中有男有女的概率为nMmnMNmMmXPCCC)(X X0 01 12 23 3P P56156
29、152815285.564528155615)2()1(XPXP12.12.甲、乙等五名奥运志愿者被甲、乙等五名奥运志愿者被 随机地分到随机地分到A A、B B、C C、D D四个不同的岗位服务四个不同的岗位服务,每个每个 岗位至少有一名志愿者岗位至少有一名志愿者.(1)(1)求甲、乙两人同时参加求甲、乙两人同时参加A A岗位服务的概率；岗位服务的概率；(2)(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)(3)设随机变量设随机变量 为这五名志愿者中参加为这五名志愿者中参加A A的岗位服的岗位服 务的人数务的人数,求求 的分布列的分布列.解 (1)(1)
30、记甲、乙两人同时参加记甲、乙两人同时参加A A岗位服务为事件岗位服务为事件E EA A,那么那么 即甲、乙两人同时参加即甲、乙两人同时参加A A岗位服务的概率是岗位服务的概率是(2)(2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件E E,那么那么 所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是.401ACA)(442533AEP.401.101ACA)(442544EP.109)(1)(EPEP(3)(3)随机变量随机变量 可能取的值为可能取的值为1,2,1,2,事件事件“=2”=2”是指有两人同时参加是指有两人同时参加A A岗位服务岗位服务,则则的分布列是所以,43)2(1)1(.41ACAC)2(44253325PPP1 12 2P P4143THANKYOU
