1、 绝密绝密 启用前启用前 2020 年高考临考前 10 天最新信息密卷 理理 科科 数数 学学 注意事项：注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2 回答第卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷（选择题）（选择题） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每
2、小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集|15UxxZ，1,2,3A，1,2 UB ，则AB （ ） A1,2 B1,3 C 3 D1,2,3 【答案】C 【解析】全集 |151,2,3,4,5UxxZ，1,2,3A， 由1,2 UB ，可得3,4,5B ，所以 3AB ，故选 C 2如果复数 2i 12i b (其中i为虚数单位，bR)的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ） A 2 3 B 2 3 C 2 D2 【答案】A 【解析】 2i 1 2i224i4i2i22 12i12i 1 2i555 bbbbbb ， 因为
3、该复数的实部和虚部互为相反数，因此2 24bb ，因此 2 3 b ，故选 A 3如图，正方形ABCD内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色 部分关于正方形对边中点连线成轴对称， 在正方形内随机一点， 则此点取自黑色部分的概率是 （ ） A 1 4 B 4 C 8 D 1 2 【答案】C 【解析】设正方形ABCD的边长为2，则正方形的面积 1 4S ， 则圆的半径为1r ，阴影部分的面积为 2 2 11 22 Sr， 根据几何概型及其概率的计算公式可得 2 1 1 2 48 S P S ，故选 C 4已知 3 (,) 22 ，且tan 2 ，那么sin（ ） A 3
4、3 B 6 3 C 6 3 D 3 3 【答案】B 【解析】因为 3 (,) 22 ， sin tan20 cos ， 故 3 (,) 2 ，即sin2cos， 又 22 sincos1，解得sin 6 3 ，故选 B 5在数列 n a中，若 1 1a ， 1 23 nn aan N ，则 101 a（ ） A 100 23 B 101 23 C 102 21 D 102 23 【答案】D 【解析】 1 23 nn aa ， 1 323 nn aa ， 1 3 2 3 n n a a ，且 1 34a ， 所以，数列3 n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 11 34 22 nn n
5、a ， 1 23 n n a ， 因此， 102 101 23a，故选 D 6在ABC中，“coscosAB ”是“sinsinAB”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】余弦函数 cosyx 在区间0,上单调递减，且0A，0B， 由coscosAB，可得AB，ab ，由正弦定理可得sinsinAB， 因此，“coscosA B”是“sinsinAB”的充分必要条件， 故选 C 7 历史上有不少数学家都对圆周率作过研究， 第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德， 他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创
6、了圆周率计算的几何方法，而中国数 学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、 无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加华理斯在 1655 年求出一个公式： 2 2 4 4 6 6 21 3 3 5 5 7 ，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值 的程序框图， 如下图所示， 执行该程序框图， 已知输出的2.8T ， 若判断框内填入的条件为?km， 则正整数m的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】初始：1k ，2T ，第一次循环： 228 22.8 133 T ，2k ，继续循环； 第二次循环： 844
7、128 2.8 33545 T ，3k ，此时2.8T ，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ，所以正整数m的最小值是 3，故选 B 8设 ,m n是不同的直线， , 是不同的平面，则（ ） A若m，n，则/mn B若 m ，n，nm，则n C若m，n ，/mn，则 D若m，n，nm，则 【答案】D 【解析】对于 A，若m，n，则直线 ,m n可以平行，也可以异面，所以 A 错误； 对于 B，因为不一定能成立，所以当m，n，nm时，n不一定成立， 所以 B 错误； 对于 C，若m，n，mn，则，或平面与平面相交，所以 C 错误； 选项 D：若m，n，nm，则成立，所以 D
8、 正确故选 D 9已知F为抛物线 2 :4C yx的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直 平分线交x轴于点M，垂足为E，若6AB ，则EM的长为（ ） A2 2 B6 C2 D3 【答案】B 【解析】 由已知得1,0F， 设直线l的方程为1xmy， 并与 2 4yx联立， 得 2 440ymy， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,E x y， 12 4yym， 则 12 0 2 2 yy ym ， 2 0 21xm， 2 21,2Emm ， 又 2 1212 24446ABxxm yym，解得 2 1 2 m ， 线段AB的垂直平分线为 2 221ymm
9、 xm ， 令0y ，得 2 23,0Mm ，从而 2 446MEm，故选 B 10 函数 4 lnf xkxxx（1x ） ， 若 0f x 的解集为, s t， 且, s t中只有一个整数， 则实数k的取值范围为（ ） A 114 2, ln2ln33 B 114 2, ln2ln33 C 141 ,1 ln33 2ln2 D 141 ,1 ln33 2ln2 【答案】A 【解析】令 0f x ，得到4 ln x kx x ， 令 ln x g x x ，则 2 ln1 ln x gx x ， 令 0g x ，解得xe；令 0gx ，解得1xe， 故 g x在1,e递增，在, e 递减，
10、画出函数草图，如图所示： 结合图象 2 24 ln2 3 34 ln3 k k ，解得 114 2 ln2ln33 k，故选 A 11 点 P 为棱长是 2 的正方体 1111 ABCDABC D的内切球 O 球面上的动点， 点 M 为 11 BC的中点， 若满足DPBM，则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A 5 5 B 2 5 5 C 4 5 5 D 8 5 5 【答案】C 【解析】根据题意，点 P 为棱长是 2 的正方体 1111 ABCDABC D的内切球 O 球面上的动点， 点 M 为 11 BC的中点， 设 1 BB中点为N， 1 AB中点为K，如下图所示： 在平面 11 BBCC中
11、，CNBM，由题意可知DP BM， CN为DP在平面 11 BBCC内的射影，所以直线DP在过点D且与BM垂直的平面内， 又因为P在正方体内切球的球面上， 所以点P的轨迹为正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆， 即P的轨迹为过,D C N的平面即为平面CDKN与内切球的交线， 因为,D O N位于平面 11 DD B B内， 设O到平面CDKN的距离为h， 所以由 C DONO DCN VV ，可得 1 111111 322232 ONDDACCD CNh ， 代入可得 1111 2 1225 3232 h ，解得 5 5 h ， 正方体的内切球半径为1R ， 由圆的几何性质可
12、得所截小圆的半径为 2 52 5 1 55 r ， 所以小圆的周长为 4 5 2 5 Cr，即动点 P 的轨迹的长度为 4 5 5 ，故选 C 12已知定义在R上的函数 ( )f x满足 ()( )( )222 xy f xyf xf y，且 (1)1f ，则下列 说法正确的有（ ） （1）若函数( )( )()g xf xfx，则函数( )g x是奇函数； （2）(0)(2)4ff； （3）设函数( )( )2h xf x，则函数( )h x的图象经过点(3,9)； （4）设 * nN，若数列 ( )1f n 是等比数列，则( )21 n f n A （2） （3） （4） B （1） （3
13、） （4） C （1） （3） D （1） （2） （3） （4） 【答案】B 【解析】对于（1） ，( )( )() ()( ) ()g xfxf xf xfxgx ， 所以函数( )g x是奇函数，故（1）正确； 对于（2） ，令1x ，0y ，代入可得 10 (1)(1)(0)222fff， 因为(1)1f，(0)0f； 令1x ，1y ，则 211 (2) (1)2223ff， (0)(2)3ff，故（2）错误； 对于（3） ，令1x ， 2y ，则 12 (3)(1)(2)2227fff， (3)729h，即函数( )h x的图象经过点(3,9)，故（3）正确； 对于（4） ，令1x
14、 ，1y ，则 11 (0)(1)( 1)222fff ， (1)1f，(0)0f ， 1 ( 1) 2 f ； 当2n，由()( )( )222 xy f xyf xf y， 可知( )( )()222 xy f xf yf xy ， 所以 (1) 1 (1) 1f nf n(1)(1)(1)(1) 1f nf nf nf n 1111 (2 )222( )( 1)222( )(1)222 1 nnnn fnf nff nf 1 13 (2 )( )2 22 n fnf n ， 22 ( ) 1 ( )2 ( ) 1(2 )2222 ( ) 1 nn f nf nf nfnf n 1 (2
15、)2 ( )23 n fnf n ， 数列 ( )1f n 是等比数列， 2 (1)1 (1)1 ( )1f nf nf n， 即 11 13 ( )22 ( )23 22 nn f nf n ，( )21 n f n，故（4）正确， 故选 B 第第卷卷（非选择题非选择题） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13某班有男生 30 人，女生 20 人，现采用分层抽样的方法在班上抽取 15 人参加座谈会，则抽到 的女生人数为_ 【答案】6 【解析】因为男女生的比例为30:203:2， 由分层抽样的概念可知在抽取的容量为15的样本中
16、男女生的比例也应为3:2， 则抽取的女生人数为 2 156 32 ， 故答案为6 14若 0 (21)d2(0) t xxt ，则t _ 【答案】1 【解析】由 22 0 0 21 d|2 t t xxxxtt ，解得1t 或2（舍） ， 故答案为1 15若实数x，y满足不等式组 330 230 10 xy xy xy ，则xy的最大值为_ 【答案】9 【解析】画出不等式组 330 230 10 xy xy xy 所表示的可行域，如图， 由图知平移直线x yz ，当直线经过点4,5A时，直线在y轴上的截距z最大， 即x y 在点4,5A处取得最大值4 59 ，故答案为9 16已知双曲线 22
17、22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F的直线l与C交 于,A B（其中点A在x轴上方）两点，且满足 22 AFF B若C的离心率为 3 2 ，直线l的倾斜 角为120，则实数的值是_ 【答案】 1 7 【解析】由 2222 2 2 222 95 3 44 cabb e aaa ， 得直线l与双曲线C的右支交于,A B两点， 设 2 |F Bk，则 2 |AFk根据双曲线定义， 1 | 2FBak， 1 | 2AFak 在 12 AFF中，由余弦定理，得 222 (2)(2 )()2 2cos60akckc k ； 在 12 BFF中，由余弦定
18、理，得 22 2 222 2cos120akckck ， 并整理，得 3 22 21 2 3 27 22 2 c ac a c ac a 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 在ABC 中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c 向量2 , a bm，1, cosCn， 且mn （1）若30A，求角C的值； （2）求角B的最大值 【答案】 （1）120； （2）30 【解析】 （1）因为2 , a bm，1, cosCn，且mn， 所以2cosaC
19、b ，即2 cos0aCb ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得2sincossin0ACB 所以2sincossin0ACA C， 整理，得3sincoscossin0ACAC 将30A代入上式，得tan 3C ， 又0,C，所以120C （2）方法一：由式，因为sin0A，sin0B，所以9cos00CC， cos0A， 式两边同时除以coscosAC，得3tantan0AC， 22 tantantan3tan2tan tantan 1tantan1 3tan1 3tan ACAAA BAC ACAA ， 又 2 1 3tan2 3tanAA ， 2tan3 tan 32 3ta
20、n A B A ， 当且仅当3tan1A，即30A时取等号， 又0,B，所以B的最大值为30 方法二：由（1）知，2 cos0aCb ，由余弦定理 222 cos 2 abc C ab ， 代入上式并化简得 222 20abc， 所以 222222 222 131 222 cos 222 accaac acb B acacac ， 又 2222 3131 23 2222 acacac， 33 cos 22 ac B ac ， 当且仅当 22 31 22 ac，即 3ca 时取等号， 又0,B，所以B的最大值为30 18（12 分） 如图， 在矩形ABCD中， 2CD，1BC ，, E F是平面
21、ABCD同一侧面点，EA FC ， AEAB，2EA，5DE ，1FC （1）证明：平面CDF 平面ADE； （2）求二面角EBDF的正弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 30 6 【解析】 （1）四边形ABCD是矩形，CDAD， AEAB，CD AB，故CDAE， 又ADAEA，CD平面ADE， CD平面CDF，平面CDF 平面ADE （2）1BC ，2EA，5DE ， 222 DEADAE ，AEAD， 又AEAB，ABADA，AE 平面ABCD 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则0,0,0D，1,2,0B，0,2,1F，1,0,2E， 1,2,0DB ，0
22、,2,1DF ， 设平面BDF的一个法向量, ,x y zm， 由 0 0 DB DF m m ，得 20 20 xy yz ，令2x，得2, 1,2m 同理可求得平面BDE的一个法向量2, 1, 1 n， 36 cos, 636 m n m n m n ， 30 sin, 6 m n， 故二面角EBDF的正弦值为 30 6 19（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0): xy ab a C b 的离心率为 5 5 ， 且左焦点 F1到左准线的距离为 4 （1）求椭圆C的方程； （2）若与原点距离为 1 的直线 1: lykxm与椭圆C相交于 A，B 两
23、点，直线 l2与 l1平行，且与 椭圆C相切于点 M （O， M 位于直线 l1的两侧） 记MAB， OAB 的面积分别为 S1 ， S 2， 若 12 SS， 求实数的取值范围 【答案】 （1） 22 1 54 xy ； （2） 1, 51 【解析】 （1）因为椭圆C的离心率为 5 5 ，所以 5 5 c a ， 又椭圆C的左焦点 1 F到左准线的距离为4，所以 2 4 a c c ， 所以 2 5a ， 2 1c ， 222 4bac， 所以椭圆C的方程为 22 1 54 xy （2）因为原点与直线 1: lykxm的距离为1， 所以 2 1 1 m k ，即 2 1mk， 设直线 2:
24、lykxn，由 22 1 54 ykxn xy ，得 222 45105200kxknxn， 因为直线 2 l与椭圆C相切， 所以 2 22 104 455200knkn ，整理得 22 54nk ， 因为直线 1 l与直线 2 l之间的距离 2 1 mn d k ， 所以 1 1 2 SAB d， 2 1 1 2 SAB， 所以 1 2 2 1 1 mnmnSn Smm k ， 又 2 2 22 541 5 11 nk mkk ， 因为 2 0k ，所以 2 4,5 n m ， 又,O M位于直线 1 l的两侧，所以 ,m n同号， 所以 2, 5 n m ，所以 11, 51 n m ，
25、故实数的取值范围为1, 51 20 （12 分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了 10 天的数 据，统计如下（单位：分钟） ：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17 （1） 若每天上学所花的时间X服从正态分布 2 ( ,)N ， 用样本的平均数和标准差分别作为和 的估计值 求和的值； 若学校 7 点 30 分上课，该学生在 7 点 04 分到 7 点 06 分之间任意时刻从家出发，求该学生上学 不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y，求Y的分 布列和数学期望 附：若随机变量
26、X服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6826PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9974PX 【答案】 （1）20，2；(0.9772,0.9987)； （2）分布列见解析， 112 ( ) 45 E Y 【解析】 （1）样本的平均数为 1 (232122 1922 19 17 1921 17)20 10 ， 样本的标准差为 22222 1 (2320)2 (21 20)2 (2220)3 (1920)2 (1720) 2 10 ， 因此20，2 学校 7 点 30 分上课，若该学生 7 点 04 分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为 26 分钟，若该学生 7
27、点 06 分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为 24 分钟， 由于 1 (26)(3 )1(1(33 ) 2 P XP XPX 1 1(1 0.9974)0.9987 2 ， 1 (24)(2 )1(1(22 ) 2 P XP XPX 1 1(1 0.9544)0.9772 2 所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987) （2）把该学生这 10 天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为 17，17，19，19，19，21， 21，22，22，23 在这 10 天中任取 2 天，所花时间的差的绝对值为Y，则Y的可能值为 0，1，2，3，4，5，6， 且 222
28、2 2322 2 10 CCCC62 (0) C4515 P Y ， 1111 2221 2 10 C CC C62 (1) C4515 P Y ， 111111 232321 2 10 C CC CC C14 (2) C45 P Y ， 11 32 2 10 C C62 (3) C4515 P Y ， 1111 2231 2 10 C CC C7 (4) C45 P Y ， 11 22 2 10 C C4 (5) C45 P Y ， 11 21 2 10 C C2 (6) C45 P Y ， 所以Y的分布列是 Y 0 1 2 3 4 5 6 P 2 15 2 15 14 45 2 15 7
29、45 4 45 2 45 Y的数学期望是 22142742112 ( )0123456 1515451545454545 E Y 21 （12 分）已知函数( )e(ln ) x f xax，其中aR （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线与直线 e x y 垂直，求a的值； （2）记 ( )f x的导函数为( )g x，当(0,ln2)a 时，证明：( )g x存在极小值点 0 x，且 0 ()0f x 【答案】 （1）0； （2）证明见解析 【解析】 （1） 11 elneeln xxx fxaxax xx ， 依题意，有 1e1efa ，解得0a （2）令 1 eln x g xax
30、 x ， 所以 22 11121 elneeln xxx gxaxax xxxxx 因为e0 x ，所以 g x与 2 21 lnax xx 同号， 设 2 21 lnh xax xx ，则 2 2 33 1122xxx h x xx ， 所以对任意0,x，有 0h x ，故 h x在0,单调递增 因为0,ln2a，所以 110ha ， 11 ln0 22 ha ， 故存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0h x g x与 g x 在区间 1 ,1 2 上的情况如下： x 0 1 , 2 x 0 x 0,1 x g x - - 0 + g x 极小值 所以 g x在区间 0 1 , 2 x
31、 上单调递减，在区间 0,1 x上单调递增 所以若0,ln2a，存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 x是 g x的极小值点 令 0 0h x，得到 0 0 2 0 1 2 ln x ax x ，所以 00 0 00 2 0 1 2 elne0 xx x f xax x 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知直线l的参数方程是 2 2 2 4 2 2 xt yt （t是参数） ，圆C的极坐标方程为 2cos 4 （1）求圆心C的直角坐标；
32、（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值 【答案】 （1） 22 , 22 ； （2）2 6 【解析】 （1）2cos2sin， 2 2cos2sin， 圆C的直角坐标方程为 22 220xyxy，即 22 22 1 22 xy ， 圆心直角坐标为 22 , 22 （2）直线l上的点向圆C引切线长是 22 2 2 2222 4 218404242 6 2222 ttttt ， 直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2 6 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( )2f xmx，mR，且(2)0f x 的解集为 1,1 （1）求m的值； （2）若, ,a b c R，且 111 23 m abc ，求证：239abc 【答案】 （1）1m； （2）证明见解析 【解析】 （1） 01011f xmxmxm ， 由10f x的解集为0,2，可知1m （2） 111 1 23abc ， 则 1112332 2322111 232233 bcacab abcabc abcaabbcc 2332 3369 2323 bacacb abacbc 当且仅当23abc时等号成立，即3a ， 3 2 b ，1c时等号成立
