1、第8章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组一、创设情境一、创设情境,导入新课导入新课 问题问题:古老的古老的“鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题”“今有鸡兔同笼今有鸡兔同笼,上有三十五头上有三十五头,下有九十四下有九十四足足.问鸡、兔各几何？问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作这是我国古代数学著作孙子算经孙子算经中记中记载的数学名题载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣兴趣.怎样解答这个问题呢怎样解答这个问题呢?方案一方案一:算术方法算术方法 把兔子都看成鸡把兔子都看成鸡,则多出则多
2、出94-3594-352=242=24只脚只脚,每每只兔子比鸡多出两只脚只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有由此可先求出兔子有24242=12(2=12(只只),),进而鸡有进而鸡有35-12=23(35-12=23(只只).).类似地类似地也可以先求鸡的数量也可以先求鸡的数量.35.354-94=46,464-94=46,462=23.2=23.方案二方案二:列一元一次方程解列一元一次方程解 设有设有x只鸡只鸡,则有则有(35-(35-x)只兔只兔,根据题意根据题意,得得2 2x+4(35-+4(35-x)=94()=94(解方程略解方程略).).一、创设情境一、创设情境,导入新课导入新
3、课“元元”是指什么是指什么?“?“次次”是指什么是指什么?问题问题:上面的问题可以用一元一次方程来解上面的问题可以用一元一次方程来解,还有其他方法吗？还有其他方法吗？（设鸡有（设鸡有x只，兔有只，兔有y只只,根据题根据题意可列两个方程如下）意可列两个方程如下）二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念(1)(1)你能给这两个方程起个名字吗你能给这两个方程起个名字吗?(2)(2)为什么叫二元一次方程呢为什么叫二元一次方程呢?(3)(3)什么样的方程叫二元一次方程呢什么样的方程叫二元一次方程呢?35,2494.xyxy二、探究二元一次方程、二元一次方程组的
4、概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念探究活动探究活动:满足满足x+y=35=35的值有哪些的值有哪些?请填入表中请填入表中:xy 方案三方案三:设有设有x只鸡只鸡,y只兔只兔,依题意得依题意得 x+y=35,=35,2 2x+4+4y=94.=94.定义定义1:1:含有两个未知数含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数并且含有未知数的项的次数都是都是1 1的方程的方程,叫做叫做二元一次方程二元一次方程.二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 在上面的问题中在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满鸡、兔的只数必须同时满足两个方程足两个方程.把
5、两个二元一次方程结合把两个二元一次方程结合在一起在一起,用大括号来连接用大括号来连接.我们也给它起个名字我们也给它起个名字,叫什么好呢叫什么好呢?35,2494.xyxy二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 定义定义2:2:把两个二元一次方程合在一起把两个二元一次方程合在一起,就就组成了一个组成了一个二元一次方程组二元一次方程组.即方程组中有两即方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1 1，并且一共有两个方程，这样的方程组就叫做二并且一共有两个方程，这样的方程组就叫做二元一次方程组元一次方程组.讨
6、论讨论:二元一次方程、二元一次方程组的二元一次方程、二元一次方程组的解的概念解的概念.二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 启发启发:(1)(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值还可以取哪些值?(2)(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗方程的解下定义吗?(3)(3)它与一元一次方程的解有什么区别它与一元一次方程的解有什么区别?定义定义3:3:使二元一次方程两边的值相等的两个使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值未知数的值,叫二元一次方程的
7、解叫二元一次方程的解,记为记为.xayb，二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 问问:那么什么是二元一次方程组的解呢那么什么是二元一次方程组的解呢?讨论达成共识讨论达成共识:二元一次方程组的解必须同二元一次方程组的解必须同 时满足方程组中的两个方程时满足方程组中的两个方程.即即:既是方程的既是方程的 解，又是方程的解解，又是方程的解.比如比如:从方案一从方案一,我们知道我们知道,x=23,=23,y=12=12使方程使方程组中每一个方程都成立组中每一个方程都成立,所以我们把所以我们把 x=23,=23,y=12=12叫叫做做35,=2324941
8、2.x yxxyy 的，解，记为:二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 定义定义4:4:二元一次方程组的两个方程的公共解，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解叫做二元一次方程组的解.注意注意:二元一次方程组的解是成对出现的二元一次方程组的解是成对出现的,用用大括号来连接大括号来连接,表示表示“且且”.议一议议一议:将上述将上述“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的三种方案进行优问题的三种方案进行优劣对比劣对比,你有哪些想法呢你有哪些想法呢?二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次
9、方程、二元一次方程组的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程组的概念 通过探究活动得出结论：通过探究活动得出结论：1.1.二元一次方程的解是成对出现的二元一次方程的解是成对出现的.2.2.二元一次方程的解有无数多个二元一次方程的解有无数多个,这与一元一这与一元一次方程有显著的区别次方程有显著的区别.通过对比通过对比,我们体验到从算术方法到代数方法我们体验到从算术方法到代数方法是一种进步是一种进步.而当我们遇到求多个未知量而当我们遇到求多个未知量,而且数而且数量关系复杂时量关系复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方列二元一次方程组比列一元一次方程容易程容易,它大大减轻了我们的思维负担它大大减轻了
10、我们的思维负担.三、巩固新知三、巩固新知 对下面的问题对下面的问题,列出二元一次方程组列出二元一次方程组,并根据并根据问题的实际意义问题的实际意义,找出问题的解找出问题的解.加工某种产品需经两道工序加工某种产品需经两道工序,第一道工序每第一道工序每人每天可完成人每天可完成900900件件,第二道工序每人每天可完成第二道工序每人每天可完成12001200件件.现有现有7 7位工人参加这两道工序位工人参加这两道工序,应怎样安应怎样安排人力排人力,才能使每天第一、第二道工序所完成的才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等件数相等?三、巩固新知三、巩固新知解：解：设第一道工序需要设第一道工序需要x人
11、，第二道工序需要人，第二道工序需要y人，人，根据题意列方程组得根据题意列方程组得9001200,4,7.3.xyxx+yy解得答：答：第一道工序需要第一道工序需要4 4人，第二道工序需要人，第二道工序需要3 3人人 例例1 1：下列各对数值中是二元一次方程：下列各对数值中是二元一次方程x+2+2y=2=2的解的是（的解的是（）三、巩固新知三、巩固新知A,B,C 解法分析：解法分析：将将A,B,C,D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选程，选A,B,C.A.B.C.2,2,0,1,02D10.xxxxyyyy 变式变式:其中是二元一次方程组其中是二元一次
12、方程组 的解的解的是（的是（）解法分析：解法分析：在例在例1 1的基础上的基础上,进一步检验进一步检验A,B，C中各对值是否满足中各对值是否满足2 2x+y=-2,=-2,使学生明确认识到使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.B三、巩固新知三、巩固新知22,22xyxy A.B.C.2,2,0,1,02D10.xxxxyyyy 四、小结四、小结小结小结:谈谈你本节课的收获谈谈你本节课的收获.1.1.每个方程都含有两个未知数每个方程都含有两个未知数(x和和y)，并且，并且未知数的次数都是未知数的次数都是1 1，像这样的方程叫做，像这样的方程
13、叫做二元一二元一次方程次方程.2.2.把两个二元一次方程合在一起，就组成了把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个一个二元一次方程组二元一次方程组.3.3.使二元一次方程两边的值相等的两个未知使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程的解.4.4.一般地，二元一次方程组的两个方程的一般地，二元一次方程组的两个方程的公公共解共解，叫做，叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的解.5.5.二元一次方程二元一次方程有无穷多个解有无穷多个解；二元一次方；二元一次方程组程组有且只有一组解有且只有一组解.四、小结四、小结教材习题教材习题8.18.1第第1,2,3
14、,51,2,3,5题题.五、布置作业五、布置作业第8章 二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组第4课时 加减法的应用一、创设情境一、创设情境,导入新课导入新课 1.1.复习提问复习提问.解二元一次方程组有哪几种方法解二元一次方程组有哪几种方法?它们的实它们的实质是什么质是什么?代入、加减代入、加减二元一次二元一次方程组方程组一元一次方程一元一次方程消元消元2.2.西游记西游记场景场景,配数学诗配数学诗.悟空顺风探妖踪悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟，千里只行四分钟，归时四分行六百归时四分行六百,风速多少才称雄风速多少才称雄?一、创设情境一、创设情境,导入新课导入新课一、创设情境一、创设情境,
15、导入新课导入新课 诗歌大意诗歌大意:孙悟空顺风去查妖精的行踪孙悟空顺风去查妖精的行踪,仅用仅用4 4分钟分钟就飞跃千里就飞跃千里,逆风返回时逆风返回时4 4分钟走了分钟走了600600里里,问风速是多问风速是多少？少？根据题中等量关系根据题中等量关系,列出方程列出方程.设悟空行走速度为设悟空行走速度为x里里/分分,风速为风速为y里里/分分,则则441 000,44600.xyxy你会解这个方程组吗你会解这个方程组吗?二、探究新知二、探究新知 解法三解法三:整体代入整体代入.由得由得:4:4x=1 000-4=1 000-4y,代入代入,消去消去x.同理同理,也可消去也可消去y.解法二解法二:-
16、,消去消去x.以下略以下略.解法一解法一:+,消去消去y,得得8 8x=1 600,=1 600,x=200,=200,代入代入,得得y=50.=50.原方程组的解为原方程组的解为 200,50.xy 反思反思:试着从各个角度比较试着从各个角度比较“代入法代入法”与与“加加减法减法”的共同点与不同点的共同点与不同点.它们各适用于什么情况它们各适用于什么情况?总结总结:当方程组中某一个当方程组中某一个未知数的系数绝对值未知数的系数绝对值是是1 1或一个方程的或一个方程的常数项为常数项为0 0时时,用用代入法代入法较方便；较方便；当两个方程中，当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等同一个未知数
17、的系数绝对值相等或成整数倍或成整数倍时时,用用加减法加减法较方便较方便.二、探究新知二、探究新知 练习：练习：根方程组的特点选择更适合它的解法根方程组的特点选择更适合它的解法.你会怎样解呢你会怎样解呢?二、探究新知二、探究新知21.5,4812,(1)(3.22.45.2;325;2310 5422)(3).xyxyxyxyxyxy，第第(3)(3)小题怎么做呢？小题怎么做呢？全班分成两部分全班分成两部分,1,1、2 2大组用大组用代入法代入法做做,3,3、4 4大组用大组用加减法加减法做做.比较两解法的简便程度比较两解法的简便程度.二、探究新知二、探究新知 第（第（1 1）小题用代入法）小题
18、用代入法,第第(2)(2)小题用加减法小题用加减法,都很明确都很明确.反思反思：当方程组中任一个未知数的系数：当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是绝对值不是1 1，且不是成倍数关系时，且不是成倍数关系时,一般经一般经过变形利用加减法会使解法更简单过变形利用加减法会使解法更简单.二、探究新知二、探究新知 例例4 24 2台大收割机和台大收割机和5 5台小收割机同时工作台小收割机同时工作2 2 h共收割小麦共收割小麦3.6 3.6 hm3 3，3 3台大收割机和台大收割机和2 2台小台小收割机同时工作收割机同时工作5 5 h共收割小麦共收割小麦8 8 hm3 3,1,1台大收台大收割机和割机和1
19、 1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?三、实际应用三、实际应用 问题问题1:1:列二元一次方程组解应用题的关键是列二元一次方程组解应用题的关键是什么？什么？问题问题2:2:你能找出本题的等量关系吗你能找出本题的等量关系吗?2 2台大收割机台大收割机2 2小时的工作量小时的工作量+5+5台小收割机台小收割机2 2小时的工作量小时的工作量=3.6=3.6 3 3台大收割机台大收割机5 5小时的工作量小时的工作量+2+2台小收割机台小收割机5 5小时的工作量小时的工作量=8=8三、实际应用三、实际应用问题问题3:3:怎么表示怎么表示2 2台大收割机台大收割机2 2
20、小时的工作量呢？小时的工作量呢？设设1 1台大收割机台大收割机1 1小时收割小麦小时收割小麦x公顷公顷,则则2 2台大收割机台大收割机1 1小时收割小麦小时收割小麦 公顷公顷,2 2台大收割机台大收割机2 2小时收割小麦小时收割小麦 公顷公顷.现在你能列出方程了吗现在你能列出方程了吗?三、实际应用三、实际应用三、实际应用三、实际应用解解:设设1 1台大收割机和台大收割机和1 1台小收割机每小时各收割台小收割机每小时各收割小麦小麦x hm2和和y hm2.2 253 6,5 328.xy.xy4103 6 15108 xy.xy.，去括号得根据两种工作方式中的相等关系根据两种工作方式中的相等关系
21、,得方程组得方程组三、实际应用三、实际应用-,得得1111x=4.4.=4.4.解这个方程解这个方程,得得x=0.4.=0.4.把把x=0.4=0.4带入带入,得得y=0.2.=0.2.0 4,0 2x.y.因此，这个方程组的解是答：答：1 1台大收割机和台大收割机和1 1台小收割机每小时各收台小收割机每小时各收割小麦割小麦0.4 hm2和和0.2 hm2.解后反思解后反思:应用题中应用题中,如何化解较复杂的数量关系？如何化解较复杂的数量关系？三、实际应用三、实际应用四、练习巩固四、练习巩固,小结提高小结提高解：解：设水的流速为设水的流速为x km/h.由题意，得由题意，得20-20-x=16
22、+=16+x.解得解得x=2=2所以轮船在静水中的速度为所以轮船在静水中的速度为16+2=1816+2=18（km/h）答：答：轮船在静水中的速度为轮船在静水中的速度为18 18 km/h，水的流速，水的流速为为2 2 km/h 一条船顺流航行，每小时行一条船顺流航行，每小时行20 20 km；逆流航；逆流航行，每小时行行，每小时行16 16 km求轮船在静水中的速度与求轮船在静水中的速度与水的流速水的流速四、练习巩固四、练习巩固,小结提高小结提高 运输运输360 360 t化肥，装载了化肥，装载了6 6节火车车厢和节火车车厢和1515辆辆汽车；运输汽车；运输440 440 t化肥，装载了化肥
23、，装载了8 8节火车车厢和节火车车厢和1010辆汽车每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少辆汽车每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？吨化肥？解：解：设每节火车车厢与每辆汽车平均各装设每节火车车厢与每辆汽车平均各装x t，y t化肥化肥.由题意得由题意得 解得解得答：答：每节火车车厢与每辆汽车平均各装每节火车车厢与每辆汽车平均各装5050 t，4 4 t化肥化肥6+15360,8+10440.xyxy50,=4.xy小结小结:谈谈你对二元一次方程组的解法的认识谈谈你对二元一次方程组的解法的认识.二二元元一一次次方方程程组组4 4x+10+10y=3.6=3.61515x+10+10y=8=8y=0.2=0.2x=0.4=0.4一元一次方程一元一次方程1111x=4.4=4.4解得解得x解得解得y代入代入-两方程相减，消未知数两方程相减，消未知数y四、练习巩固四、练习巩固,小结提高小结提高五、布置作业五、布置作业教材习题教材习题8.28.2第第7 7，8 8，9 9题题.
