1、最短路径问题 Part 0：哲语分享：哲语分享1 1：如图，学校新修建了一块长方形的草坪，小：如图，学校新修建了一块长方形的草坪，小路在草坪四周，路在草坪四周，如果想从如果想从A A地到地到B B地去，有四地去，有四种走法可供选择，你会选择哪条？小明选择种走法可供选择，你会选择哪条？小明选择了了2 2，他说这样最短，你赞同他的说法吗？，他说这样最短，你赞同他的说法吗？Part1、情境引入、情境引入抢答题抢答题2 2：如图，要在燃气管道：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，上修建一个泵站，分别向分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短
2、？么地方，可使所用的输气管线最短？P点点P P为所求的泵站位置，为所求的泵站位置，可使输气管线最短可使输气管线最短 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后饮马，然后到到B 地问到河边什么地方饮马可使他所走的路线地问到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？全程最短？BAlPart2、探索新知、探索新知“将军饮马问题将军饮
3、马问题”在直线在直线l上找一点上找一点C，使得，使得CA+CB的和最小的和最小 点点C为饮马地点为饮马地点将军所走路线：将军所走路线：ACB，即，即AC+CB使使AC+CB最小的点最小的点C存在吗？存在吗？几何画板演示.gsp如图，点A，B 在直线l 的同侧同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？BlABC 作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线l的对称点的对称点B B.连接连接ABAB,交直线交直线l于点于点C.C.点点C C的位置即为所求的位置即为所求.n证明证明“路径最短路径最短”BlABCCQ1：如何证明：如何证明“最短最短”？Q2：如何理解
4、点：如何理解点C的任意性？的任意性？你能写出证明过程吗？试试吧！你能写出证明过程吗？试试吧！两点之间线段最短两点之间线段最短(三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边)轴对称轴对称目的：利用目的：利用轴对称轴对称将同侧问题转化为异侧问题将同侧问题转化为异侧问题数学思想：转化数学思想：转化Part 3：应用新知，解决问题：应用新知，解决问题点点 F为所求的点，使为所求的点，使ENF的周长最小的周长最小如图，如图，ABC中，点中，点E在在AC上，点上，点N在在BC上，上，在在AB上找一点上找一点F，使，使ENF的周长最小的周长最小.EF2（造桥选址问题）（造桥选址问题）如图，如图，A和和B
5、两地在一条河的两两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）线，桥要与河垂直）Part 4：拓展新知，解决问题：拓展新知，解决问题 A、B两点在两条平行直线两点在两条平行直线a、b的异侧，在直线的异侧，在直线a、b上上找一条线段找一条线段MN（MN与两直线垂直与两直线垂直），使得），使得AM+MN+NB的和最小的和最小bBAa使使AM+MN+NB最小的桥最小的桥MN存在吗？存在吗？几何画板演示2.gspbBAaA1M1NNM作法：作
6、法：1.将点将点A沿垂直于河岸的沿垂直于河岸的方向平移一个河宽到方向平移一个河宽到A，2.连接连接AB交河对岸于点交河对岸于点N,则则MN为所建的桥。此时为所建的桥。此时AM+MN+NB为最短路径为最短路径。3.过点过点N作河岸的垂线交另作河岸的垂线交另一条河岸于点一条河岸于点M BAA1MN你能证明你能证明AM+MN+NBAM+MN+NB是最短的吗？试试吧！是最短的吗？试试吧！ab 两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边）两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边）平移平移目的：利用平移清除目的：利用平移清除“障碍障碍”，化，化“折折”为为“直直”数学思想：转化数学思想：转化1.二中八二
7、中八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，桌面上摆满了橘子，OB桌面上桌面上摆满了糖果，站在摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？使其所走的总路程最短？Part 5：拓展新知，解决问题：拓展新知，解决问题CDMN 小明所走路线：小明所走路线：CMN为为所求的最短路线所求的最短路线2：如图，已知：如图，已知A，B是在直线是在直线l异侧的两定点，异侧的两定点，定长线段定长线段PQ在在l上平行移动，问上平行移动，问PQ移动到什移动到什么位置时，么位置时，AP+PQ+QB的长度最短？的长度最短？Part 5：拓展新知，解决问题：拓展新知，解决问题AQPPQ为所求的位置，使为所求的位置，使AP+PQ+QB长度最短长度最短Part 5：拓展迁移，发散思维：拓展迁移，发散思维3.如图，如图，A，B两点在直线两点在直线l的两侧，在的两侧，在l上找上找一点一点C，使点，使点C到点到点A、B的距离之差最大的距离之差最大C B点点C为所求的到为所求的到A、B距离之差最大的点距离之差最大的点
