1、 2020 年广州市高考二模试卷年广州市高考二模试卷 数学数学（文科）（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题） 小题） 1.若集合 Ax|2x0，Bx|0x1，则 AB（ ） A. 0，2 B. 0，1 C. 1，2 D. 1，2 【答案】B 【分析】 先求出集合 A，再利用交集定义求出 AB 【详解】解：集合 Ax|2x0x|x2，Bx|0x1， ABx|0x10，1 故选：B 【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题. 2.已知 i为虚数单位，若(1) 2zii ，则z （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2 【答案】B 【分析】 由已知条件，结合复数的运算可得
2、1zi ，由模长公式可得答案 【详解】(1)2zii， 2 1222 1 1112 iiii zi iii ， 故 22 112z . 故选：B 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题. 3.已知角的项点与坐标原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 若点 2, 1P在角的终边上， 则tan （ ） A. 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 【答案】C 【分析】 直接利用任意角的三角函数的定义求解即可 【详解】点 (2, 1)P 在角的终边上， 11 tan 22 ， 故选：C 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查对基础知识的理解和掌握
3、，属于基础题. 4.若实数 x，y满足 2 330 0 xy xy y ，则2zxy的最小值是（ ） A. 2 B. 5 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 由实数 x， y满足 2 330 0 xy xy y ， 作出可行域， 将目标函数2zxy转化为2yxz， 平移直线2yx， 当直线在 y 轴上截距最大，目标函数取得最小值. 【详解】由实数 x，y 满足 2 330 0 xy xy y ，作出可行域如图阴影部分： 将目标函数2zxy转化为2yxz，平移直线2yx， 当直线经过点 3 1 , 2 2 A ，在 y 轴上截距最大， 此时，目标函数取得最小值，最小值为 315 2 2
4、22 故选：B 【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题. 5.已知函数 f（x）1+x3，若 aR，则 f（a）+f（a）（ ） A. 0 B. 2+2a3 C. 2 D. 22a3 【答案】C 【分析】 根据题意，由函数的解析式求出 f（a）与 f（a）的表达式，进而计算可得答案 【详解】解：根据题意，函数 f（x）1+x3， 则 f（a）1+a3，f（a）1+（a）31a3， 则有 f（a）+f（a）2； 故选：C 【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 6.若函数 sin 20,0 2 f xAxA 的部分图象
5、如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. ,0 12 是函数 f x图象的一个对称中心 B. 函数 f x的图象关于直线 3 x 对称 C. 函数 f x在区间, 3 3 上单调递增 D. 函数 f x的图象可由sin2yAx的图象向左平移 6 个单位得到 【答案】A 【分析】 先由图象可知2A，再把点 5 ,0 12 代入函数解析式，结合0 2 ，可求得 6 ，从而确定函数的 解析式为 2sin 2 6 f xx 然后根据正弦函数的对称中心、对称轴和单调性以及平移变换法则逐一 判断每个选项即可 【详解】由图可知，2A， 函数 yf x的图象经过点 5 ,0 12 ， 5 2sin 20 12
6、 ， 5 2 6 kkZ ，即2 6 kkZ ， 0 2 ，0k ， 6 ， 2sin 2 6 f xx ， 令2 6 xkkZ ，则 () 122 k xkZ=-+?， 当0k 时，对称中心为,0 12 ，即 A正确； 令2 62 xkkZ ，则 62 k xkZ ， 不存在k使其对称轴为 3 x ，即 B错误； 令222 622 xkkkZ ， 则 36 xkkkZ ， 当0k 时，函数 yf x的单调递增区间为, 3 63 3 ，即 C错误； 2sin2yx 的图象向左平移 6 个单位得到 2sin 22sin 2 63 yxxf x ，即 D 错误 故选：A 【点睛】本题考查利用三角函
7、数图象求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性、单调性以及三角 函数图象变换，考查推理能力，属于中等题. 7.周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了 这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为 r，正方形的边 长为 a（0ar） ，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是 p，则圆周率 的值为（ ） A 2 2 1 a p r B. 2 2 1 a p r C. 1 a p r D. 1 a p r 【答案】A 【分析】 计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出 p，则 可求
8、 【详解】圆形钱币的半径为 rcm，面积为 S圆r2； 正方形边长为 acm，面积为 S正方形a2 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 p SS S 圆正方形 圆 1 2 2 a r ， 所以 2 2 1 a p r 故选：A 【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8.在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1（包括边界）上一点，若 EF/平面 BCC1B1，则动点 F的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【分析】 分别取 AC，A1C1，
9、A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF，证明 N，E，M，F共面，利用线面平 行证明 EF平面 BCC1B1，则轨迹可求 【详解】如图所示： 分别取 AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF， 因为 E为 AB的中点，所以 NEBC且 NE 1 2 BC，FMB1C1，MF 1 2 B1C1， 所以 N，E，M，F 共面， 所以 MEBB1，NEBC， 所以 ME平面 BCC1B1，NE平面 BCC1B1 而 NEMEE，BCBB1B， 所以面 NEMF平面 BCC1B1，而 EF面 MN， 所以 EF平面 BCC1B1， 所以要使 EF平面
10、BCC1B1，则动点 F 的轨迹为线段 FN 故选：A 【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属 于中档题. 9.已知函数 2 2 log,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，则( )(1)f xf x的解集为( ) A. ( 1,) B. ( 1,1) C. 1 , 2 D. 1 ,1 2 【答案】C 【分析】 由题意利用函数的单调性，分类讨论求得 x的范围 【详解】函数 2 2 1 11 log xx f x xx ， ， ，则 f（x）f（x+1） ， 当 x0 时，则 x+11，则不等式 f（x）f（x+1） ，即 x21（x
11、+1）21，求得 1 2 x0 当 01，则不等式 f（x）f（x+1） ， 此时 f（x）=x210f（x+1）=log2（x+1） ，0x1 成立 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1） ，即 log2xlog2（x+1） ，求得 x1 综上可得，不等式的解集为（ 1 2 ，+） ， 故选：C 【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考 查了分类讨论思想，属于中档题 10.ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB6,c3,B2C,则 cosC 的值为（ ） A. 3 5 B. 3 4 C. 3 3
12、D. 3 2 【答案】D 【分析】 由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cosbC，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简 已知等式可得26ac，进而根据余弦定理即可求解cosC的值 【详解】解：3c ，2BC，sinsin22sincosBCCC， 由正弦定理 sinsin bc BC =,可得 2sincossin bc CCC ,可得6cosbC， coscos6bCcB，设ABC的外接圆半径为R， 由正弦定理可得 6 sincossincos 2 BCCB R ， 又sincossincossinsinBCCBBCA，可得 6 sin2 sin6 2 ARA R ， 可得26
13、ac， 2222 3636cos9 2 6s cos 26co C C abc C ab ，可得 2 3 cos 4 C ， ca ，则C为锐角，解得 3 cos 2 C 故选：D 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求 解，属于中档题. 11.若关于 x的不等式 2lnxax2+（2a2）x+1恒成立，则 a的最小整数值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 根据条件先参变分离得： 2 1 2 1 2 lnxx a xx ，令 g（x） 2 1 2 1 2 lnxx xx ，问题转化为 maxag x ，再
14、对( )g x 求导判断其单调性，求解 maxg x，从而得到 a的最小整数值. 【详解】若关于 x的不等式 2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立， 问题等价于 a 2 1 2 1 2 lnxx xx 在（0，+）恒成立， 令 g（x） 2 1 2 1 2 lnxx xx ，则 g（x） 2 2 31 1 22 1 2 xxlnx xx ， 令 h（x） 31 22 xlnx， （x0） ， 则 h（x） 11 2x 0， 故 h（x）在（0，+）递减， 又 110h ， 1 2ln20 2 h， 所以存在 0 1,2x ，使得 000 31 ln=0 22 h xxx，即 00 31 l
15、n= 22 xx， 所以 x（1，x0）时，g（x）0，g（x）递增， x（x0，2）时，g（x）0，g（x）递减， g（x）maxg（x0） 00 2 00 1 2 1 2 lnxx xx ， 又 00 31 ln= 22 xx， 所以 g（x）maxg（x0） 000 2 0 00 00 11 1 1 22 11 1 22 lnxxx x xxxx ， 又 1x02， 0 11 2x 1， a1，a 的最小整数值是 1. 故选：B 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，解题关键在于若能参变分离先分离，分离之后转 化为利用导数求函数的最值问题，考查运算和分析转化能力，属于中档题.
16、 12.过双曲线 C： 22 22 xy ab 1（a0，b0）右焦点 F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 P，与双曲线交 于点 A，若 22 3F PF A ，则双曲线 C的渐近线方程为（ ） A. y 1 2 x B. yx C. y2x D. y 2 5 x 【答案】A 【分析】 先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为 b yx a ，求得直线 F2P：y a xc b ,与已知渐近线方程 联立求得点 P 的坐标，再由向量等式求得 A 的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线 C的渐近线方程 【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为 b yx a ， 则 F2P 所在直线的斜率为
17、 a b ，直线 F2P 的方程为：y a xc b ， 联立 b yx a a yxc b ，解得 P（ 2 aab cc ，） ， 设 A（x0，y0） ，由 22 3F PF A ，得（ 2 a c c ， ab c ）3（x0c，y0） ， 所以 2 0 0 3 3 a cxc c ab y c ， 解得： 22 0 0 2 3 3 ac x c ab y c ，即 A（ 22 2 3 ac c ， 3 ab c ） ， 代入 22 22 xy ab 1，得 22222 2222 (2) 1 99 aca b a cb c ， 整理得： 42 340 aa bb ， 解得：2 a b
18、，所以 1 2 b a ， 双曲线 C的渐近线方程为 y 1 2 x 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的性质、渐近线方程的求法，考查向量关系的坐标表示，考查计算能力和分析转 化能力，属于中档题. 二、填二、填空题：本大题共空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知向量, 1ak，4,2b ，若a与b共线，则实数k的值为_ 【答案】2 【分析】 根据向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】根据题意，向量, 1ak，4,2b ， 若a与b共线，则有 2140k ，解得2k ； 故答案为：2 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量
19、共线的坐标表示即可，属于基础题型. 14.已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n项和，若 a24，a1+a310，则 S4_ 【答案】30 【分析】 设等比数列an的公比为 q，由 a24，a1+a310，及等比数列an是单调递增数列解得 q，再利用求和公式 即可得出 【详解】解：设等比数列an的公比为 q，a24，a1+a310， 4 q 4q10，化为：2q25q+20， 解得 q2 或 1 2 等比数列an是单调递增数列， 2 40a ， q2 a1 4 2 2 则 S4 4 212 12 30 故答案为：30 【点睛】本题考查求等比数列的前n项和，方法是基本量法，即求出数列
20、的首项和公比，然后由公式直接 计算 15.斜率为 3 3 的直线l过抛物线 2 20ypx p的焦点，若直线l与圆 2 2 24xy相切，则 p _ 【答案】12 【分析】 求出直线l方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可 【详解】解：斜率为 3 3 的直线l过抛物线 2 :20C ypx p的焦点,0 2 p F ， 直线l的方程为 3 32 p yx ，即30 2 p xy， 直线l与圆 2 2 :24Mxy相切，圆心为2,0，半径为2， 2 2 2 3 1 p ，解得12p 或4p （舍去）. 故答案为：12. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物
21、线焦点坐标写出直线方程， 由圆心到直线距离等于半径即可求解 16.正四棱锥 PABCD的底面边长为 2,侧棱长为 2 2,过点 A作一个与侧棱 PC垂直的平面 ,则平面 被 此正四棱锥所截的截面面积为_,平面 将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_. 【答案】 (1). 4 3 3 (2). 1 2 （或 2） 【分析】 由已知得PAC 为正三角形,取 PC 的中点 G,得 AGPC,且 AG 6 .然后证明 AGEF,且求得 AG与 EF 的长度,可得截面四边形的面积；再求出四棱锥 PAEGF的体积与原正四棱锥的体积,则平面 将此正四棱 锥分成的两部分体积的比值可求. 【详解】解：如图, 在
22、正四棱锥 PABCD中,由底面边长为 2,侧棱长为2 2, 可得PAC 为正三角形,取 PC的中点 G,得 AGPC,且 AG 6 . 设过 AG 与 PC垂直的平面交 PB于 E,交 PD于 F,连接 EF, 则 EGPC,FGPC,可得 RtPGERtPGF,得 GEGF,PEPF, 在PAE与PAF 中,由 PAPA,PEPF,APEAPF,得 AEAF. AGEF. 在等腰三角形 PBC中,由 PBPC2 2,BC2,得 cosBPC 8843 42 2 22 2 , 则在 RtPGE中,得 24 2 3 3 4 PG PE cos BPC . 同理 PF 4 2 3 ,则 EFDB,
23、得到 4 2 3 EF . 114 24 3 6 2233 AEGF SAGEF 四边形 ； 则 14 34 6 2 339 P AEGF V . 又 14 6 2 26 33 P ABCD V , 平面 将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为 4 6 1 9 24 64 6 39 . 故答案为： 4 3 3 ； 1 2 （或 2）. 【点睛】本题主要考查了锥体中的截面计算问题,需要根据线面垂直的性质求出截面四边形,再根据三角形中 的关系求解对应的边长以及面积等.属于难题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第算步骤第
24、 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.已知数列an的前 n项和为 Sn,且 Snn（n+2） （nN*）. （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn 4 n n a ,求数列bn的前 n项和 Tn. 【答案】 （1）an2n+1； （2）Tn 116111 ( ) 994 n n . 【分析】 （1）由 n1时求得 a1,当 n2时,由 Snn（n+2） （nN*） , 可得 Sn1（n1） （n+1） ,由得 an2n+
25、1,再检验当 n1时是否适合,求得 an； （2）由（1）求得 bn 21 44 n nn an 再利用错位相减法求其前 n项和 Tn即可. 【详解】解： （1）由题知：当 n1 时,有 S1133a1； 当 n2时,由 Snn（n+2） （nN*） , 可得 Sn1(1)(1)nn ,由 得 an2n+1, 又 n1时也适合,故 an2n+1； （2）由（1）知 bn 21 44 n nn an , Tn3 1 4 5 2 1 ( ) 4 7（ 1 4 ）3+（2n+1）（ 1 4 ）n, 1 4 n T 3 2 1 ( ) 4 5（ 1 4 ）3+（2n+1） 1 1 ( ) 4 n ,
26、由可得： 231 331111 2( )( )21 ( ) 444444 nn n Tn 21 1 11 ( ) 1) 3144 221 ( ) 1 44 1 4 n n n 1 116111 ( ) 1234 n n , 所以 Tn 116111 ( ) 994 n n . 【点睛】本题主要考查了根据数列的前n项和求解通项公式的方法,同时也考查了错位相减求和的方法,属 于中档题. 18.如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBCC为菱形， 1 ACAB， 11 BCBCO （1）求证： 1 BCAB； （2）若 1 60CBB，ACBC，三棱锥 1 ABBC的体积为1，且点A
27、在侧面 11 BBCC上的投影为点O， 求三棱锥 1 ABBC的表面积 【答案】 （1）详见解析； （2）152 3 【分析】 （1）由侧面 11 BBCC为菱形，得 1 BCBO，再由 1 ACAB，O为 1 BC的中点，得 1 BCAO，利用直 线与平面垂直的判定可得 1 BC 平面ABO，从而得到 1 BCAB； （2）点A在侧面 11 BBCC上的投影为点O，即AO 平面 11 BBCC，设 2BCa，由三棱锥 1 ABBC的 体积为1求解a，再求解三角形可得三棱锥 1 ABBC的表面积 【详解】 （1）证明：侧面 11 BBCC菱形， 1 BCBO， 又 1 ACAB，O为 1 BC
28、的中点， 1 BCAO， 而AOBO O， 1 BC 平面ABO，得 1 BCAB； （2）解：点A在侧面 11 BBCC上的投影为点O，即AO 平面 11 BBCC， 在菱形 11 BBCC中， 1 60CBB， 1 B BC为等边三角形， 又ACBC，设2BCa，则 1 2 1 22603 2 BB C Saasina ， 3AOa ， 则 1 23 1 331 3 A BB C Vaaa ，即1a 在平面 1 BBO中，过O作 1 OEBB，连接AE， 可得 OE 3 13 22 ，则 22 315 ( 3)() 22 AE 1 11515 2 222 ABB S ，同理可得 15 2
29、ABC S 则三棱锥 1 ABBC的表面积为 151 2223152 3 22 S 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求三棱锥的表面积问题，属于常考题型. 19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以 上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分 制）随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有 1 名女职工的健 康指数的数据模糊不清（用 x表示） ，已知这 30名职工的健康指数的平均数为 76.2 （1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；
30、（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5人，再从抽取的 5 人中随机抽取 2 人，求 抽取的 2人都是男职工的概率； （3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为 81，女职工现有数据（即剔除 x）健康指数的平均数为 69， 方差为 190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到 0.1） 【答案】 （1）众数是 76，中位数是 81； （2） 3 10 ； （3）平均数为 69，方差约为 174.2 【分析】 （1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数即可； （2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，
31、计算所求的概率值即可； （3）根据题意求出 x 的值，再计算健康指数的平均数和方差 【详解】 （1）根据茎叶图，得到样本中男职工健康指数的众数是76， 中位数是 1 (8082)81 2 ； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人， 抽样比 51 306 男职工抽 1 183 6 （人） ，记为, ,a b c，女职工2人，记为,D E， 从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab、ac、aD、aE、bc、 bD、bE、cD、cE、DE共10种， 抽取的2人都是男职工的事件为ab、ac、bc， 故所求的概率为 P 3 10 ； （3）由题意知: 81 18 11 69
32、 6076.2 30x ，解得69x； 所以样本中所有女职工的健康指数平均数为 (11 6969) 69 12 x ， 方差为 22 1 11 190(6969) 174.2 12 s . 【点睛】本题第一问考查众数和中位数，第二问考查古典概型，第三问考查方差和平均数，同时考查学生 分析问题的能力，属于简单题. 20.已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0)ab 过点(2,0)A，且离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2） 若斜率为k(0)k 的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N， 且线段MN的垂直平分线过点 1 ( ,0) 8 ， 求k的取值范围 【答案】 （1） 22 1
33、43 xy ； （2） 55 (,)(,) 1010 【分析】 （1）根据题意得2a,再由离心率求出c，进而得出b，即可得到椭圆的方程 （2）设直线l的方程：y kxm ， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，联立直线l与椭圆C的方程得到关于x的一元 二次方程，由韦达定理可得 12 xx， 12 x x， 12 yy的值和，即 22 43mk ，根据线段MN中 点 22 43 (,) 3434 kmm kk ，写出线段MN的垂直平分线的方程为 22 314 () 3434 mkm yx kkk ，将点 1 ( ,0) 8 代入，得 2 1 43 8 mk k ，代入式即可得到k的
34、取值范围 【详解】 （1）因为椭圆C过点(2,0),2Aa， 且离心率为 1 ,1,3 2 cb ， 所以椭圆C的方程为： 22 1 43 xy （2）设直线l的方程：y kxm ， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 联立直线l与椭圆C的方程联立 22 1 43 xy ykxm 得： 222 (34)84120kxkmxm. 222 (8)4(34)(412)0kmkm 整理得： 22 43mk 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 1212 22 86 ()2()2 3434 kmm yyk xxmkm kk . 因为线段M
35、N中点 22 43 (,) 3434 kmm kk ， 所以线段MN的垂直平分线的方程为 22 314 () 3434 mkm yx kkk ， 又因为线段MN的垂直平分线过点 1 ( ,0) 8 ， 所以 22 31 14 () 34834 mkm kkk ，即 2 4830kkm， 所以 2 1 43 8 mk k ， 代入式得： 22 2 2 (43) 43 64 k k k ， 整理得： 42 24016890kk，即 22 (201)(129)0kk 解得 5 10 k 或 5 10 k ， 所以k的取值范围为： 55 (,)(,) 1010 【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，第二问
36、考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力， 属于较难题. 21.已知函数 f（x）lnxsinx,记 f（x）的导函数为 f（x）. （1）若 h（x）ax 1 x f（x）是（0,+）上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围； （2）若 x（0,2）,试判断函数 f（x）极值点个数,并说明理由. 【答案】 （1）a1； （2）函数 f（x）在（0,2）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点；理由详见解析 【分析】 （1）只需 h（x）0在（0,+）恒成立,借助于三角函数的有界性,问题可解决. （2）分 x（0,1）,1 2 x ，, 3 22 x ，, 3 2 2 x ，四种情形分别
37、研究 f（x）的单调性,进而得出 结论. 【详解】解： （1） 1 fxcosx x （ ）, 11 h xaxcosx xx （ ）ax+cosx,因为 h（x）是（0,+）上的单调递增函数, h（x）asinx0（x0）恒成立,因为 sinx1,1, 故 a1时,h（x）0 恒成立,且导数为 0时不连续. 故 a1即为所求. （2）由（1）知, 1 fxcosx x （ ）, 当 x（0,1时,f（x）1cosx0, 此时函数 f（x）单调递增,无极值点； 当1 2 x ，时,则 12 x , 11 2 cosxcossin ,而由三角函数的性质可知, 21 11 22 sin x , 1
38、 0fxcosx x （ ）, 此时函数 f（x）单调递增,无极值点； 当 3 22 x ，时,cosx0,则 1 0fxcosx x （ ）, 此时函数 f（x）单调递增,无极值点； 当 3 2 2 x ，时,令 1 g xfxcosx x （ ）（ ）,则 2 1 0gxsinx x （ ）, 函数 g（x）单调递减, 又 321 021 0 232 gg ，, 存在唯一的 0 3 2 2 x ，,使得 g（x0）0, 且当 0 3 2 xx ，时,g（x）f（x）0,f（x）单调递增, 当 x（x0,2）时,g（x）f（x）0,f（x）单调递减, 故 x0是函数 f（x）的极大值点, 综
39、上所述,函数 f（x）在（0,2）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点. 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求解参数范围的问题,需要根据题意求导分析在区间上恒成立 的问题,同时也考查了利用导数求解函数极值点个数的问题,需要根据题意分情况讨论导数的正负以及原函 数的单调区间,再利用零点存在定理求解.属于难题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分题计分 22.在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 cos 2sin x y （为参数） ，以坐标原点
40、O为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin （1）写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程； （2）已知 P为曲线 C2上的动点，过点 P作曲线 C1的切线，切点为 A，求|PA|的最大值 【答案】 （1）C1的直角坐标方程为 22 (2)1xy；C2的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y； （2） 5 3 3 【分析】 （1）由 cos 2 sin x y （为参数） ，消去参数，可得曲线 C1的直角坐标方程由 2 2 4 1 3sin ，得 2+32sin24，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C2的直角坐标方程； （2）由 P 为曲
41、线 C2上的动点，设 P（2cos，sin） ，则 P与圆的圆心的距离 222 4cos(sin2)3sin4sin8d， 利用二次函数求最值， 再由勾股定理求|PA|的最大 值 【详解】解： （1）由 cos 2sin x y （为参数） ，消去参数，可得 22 (2)1xy 曲线 C1的直角坐标方程为 22 (2)1xy； 由 2 2 4 1 3sin ，得 2+32sin24， 即 x2+y2+3y24，即 2 2 1 4 x y 曲线 C2的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y； （2）P 为曲线 C2上的动点，又曲线 C2的参数方程为 2cos sin x y 设 P（2cos，s
42、in） ， 则 P 与圆 C1的圆心的距离 2 222 228 4cos(sin2)3sin4sin83 sin 33 d 要使|PA|最大值，则 d 最大，当 sin 2 3 时，d 有最大值为 2 21 3 |PA|的最大值为 2 max 25 11 3 83 3 d 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考 查计算能力，是中档题 23.已知函数 f（x）|x+1|2x2|的最大值为 M，正实数 a，b满足 a+bM （1）求 2a2+b2的最小值； （2）求证：aabbab 【答案】 （1） 8 3 ； （2）详见解析 【分析】 （1）去绝对值得分段函数： 3,1 ( )31, 11 3,1 xx f xxx xx ，由单调性易求函数 f（x）的最大值，即有 M 的值， 再由柯西不等式，即可得到所求最小值； （2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等
