1、2021届百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学（理）试题一、单选题1若，则（ ）A3B2CD【答案】C【解析】由复数的四则运算求，然后求模即可.【详解】依题意，故.故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算，根据已知复数求复数的模，属于简单题.2若集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出集合A，即可求出交集.【详解】依题意，或，.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到对数函数的定义域和一元二次不等式的解法，属于基础题.3我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，
2、该“柱脚”的表面积为（ ）图（1） 图（2）ABCD【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，求出其表面积即可.【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，故所求表面积.故答案为：C.【点睛】本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.4已知抛物线：上的点到焦点的距离为，若点在：上，则点到点距离的最小值为（ ）ABCD2【答案】B【解析】根据抛物线焦半径得到，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.【详解】依题意，故，则；由对称性，不妨设，故到点距离的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的
3、方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.5已知两个随机变量，呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则（ ）A变量的估计值的最大值为B变量的估计值的最小值为C变量的估计值的最大值为D变量的估计值的最小值为【答案】A【解析】根据题意可得出，再根据二次函数和指数函数的性质可求出最值.【详解】依题意，则，则，故当时，变量的估计值的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查变量间的相关关系，涉及指数函数和二次函数的性质，属于基础题.6函数的图象在点处的切线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用导数求出切线的斜率，求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】依题
4、意，故切线斜率，所求切线方程为，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.7已知函数，若，则的最小值为（ ）ABC2D3【答案】B【解析】根据三角函数解析式及，有，结合得到即可求的最小值.【详解】依题意，故，即，故，解得，；因为，故的最小值为.故选：B【点睛】本题考查了根据三角函数周期性求参数的最值，由所过点的坐标，可得有关周期的表达式，结合周期与参数的关系求最值.8的展开式中，的系数为（ ）A0B4320C480D3840【答案】B【解析】由于，所以的展开式中的系数等于9乘以展开式中的系数，减去12乘以展开式中的系数，再加上4乘以展开式中的系数即可得答
5、案【详解】依题意，展开式的通项公式为，故的系数为.故选：B【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题9已知圆过点，直线：与圆交于，两点，则（ ）A3B4C6D8【答案】C【解析】先设圆：，根据题中条件列出方程组，求出圆的方程；再由弦长的几何法，即可得出结果.【详解】设圆：，由圆过点，可得，解得，故圆：；则圆心到直线：的距离，故.故选：C.【点睛】本题主要考查求圆的弦长，考查求圆的方程，属于常考题型.10已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，其中；若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，由二倍角的正切公式，以及三角函数的定义，求出，从而可得正弦和余弦值，再
6、由诱导公式和二倍角的正弦公式，即可得出结果.【详解】依题意，解得或；因为，由三角函数的定义，可得，则，故.故选：D.【点睛】本题主要考查求三角函数的值，熟记二倍角公式，三角函数的定义，以及诱导公式即可，属于基础题型.11已知三棱锥中，为等腰直角三角形，分别为线段，的中点，则直线，中，与平面所成角为定值的有（ ）A1条B2条C3条D4条【答案】B【解析】根据题意，由线面垂直的判定定理，先证明平面，得到与平面所成角为，与平面所成的角为，求出这两个角，再由平面与平面的位置关系未知，即可判定出结果.【详解】作出图形如图所示，因为，分別为线段，的中点，故，则；而，则；又，平面，平面，故平面，故与平面所成
7、角为，与平面所成的角为，因为为等腰直角三角形，所以；因为，所以；由于平面与平面的位置关系未知，故，与平面所成的角不为定值.故选：B.【点睛】本题主要考查求线面角，根据线面角的定义求解即可，属于常考题型.12设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为，.因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，
8、当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13若实数，满足，则的最大值为_.【答案】【解析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可得，则表示直线在轴的截距，由图像可得，当直线过点时，在轴的截距最大，即有最大值；联立，解得，故.故答案为：.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14已知，若在方向上的投影为，则_.【答案】【解析】根据题意可求出，将转化为可求解.【详解】
9、依题意，则，故.故答案为：.【点睛】本题考查向量模的求解，属于基础题.15已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为4，4，6的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积.【详解】依题意，故；平面，可将三棱锥置于棱长为4，4，6的长方体中，可知三棱锥外接球的半径，故外接球表面积.故答案为：.【点睛】本题考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16已知为坐标原点.双曲线：的左右焦点分别为，以为圆心的圆与轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点，记双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】根据题意得到圆：，设点在第一象限，联
10、立圆的方程与渐近线方程，求得点P的坐标，然后由求解。【详解】依题意，圆：；不妨设点在第一象限，联立，解得；而，故，解得，故，即所求渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题17已知的内角，的对边分别为，.（1）求；（2）若，点在线段上，求的余弦值.【答案】（1）5；（2）.【解析】（1）根据已知有，由三角形内角性质结合正弦定理有，即可得；（2）由余弦定理求，根据已知有是等边三角形可求，再应用余弦定理求的余弦值.【详解】（1）依题意，有，又，知：，而，故.（2）由，有，即，又，得；在中，故是等边三角形，故.【点睛】本题考查了正余弦
11、定理，应用两角和正弦公式及正弦定理求边，利用余弦定理求边、角的余弦值.18已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.（1）证明是等比数列；（2）求使得成立的最小正整数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）根据条件求解出的通项公式，再根据的关系并利用定义法证明为等比数列；（2）根据（1）的结果求解出的通项公式，采用分组求和的方法求解出的结果，并根据的单调性求解出满足条件的的值.【详解】依题意，当时，即，故，则，故，故，而，故是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，故，记，故，因为，而是递增数列，故满足的最小正整数的值为12.【点睛】本题考查等差、等比数列的综合应
12、用，其中涉及到定义法证明等比数列以及与数列有关的不等式问题，难度一般.常见的证明等差或等比数列的的方法：定义法、中项法.19已知长方体中，点是线段上靠近的三等分点，点在线段上.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过证明和得平面，即证明；（2）以为原点，所在直线分別为，轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出.【详解】（1）证明：因为，在长方体中，故，即；因为平面，平面，故；又，故平面；而平面，故.（2）如图所示，以为原点，所在直线分別为，轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则，则，令，则，故平面的一个法向量为，由（1）可知，平面的一
13、个法向量为，故，因为二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查向量法求二面角，属于中档题.20疫情过后，为了增加超市的购买力，营销人员采取了相应的推广手段，每位顾客消费达到100元以上可以获得相应的积分，每花费100积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽奖箱中放有2张奖券，3张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮抽奖游戏；若摸出的结果是“2张奖券”三次，则获得10100积分，若摸出的结果是“2张奖券”一次或两次，则获得300积分，若摸出“2张奖券”的次数为零，则获得0积分；获得的积分扣除花费的100积分，则为该顾客所得的最终积
14、分；最终积分若达到一定的标准，可以兑换电饭锅.洗衣机等生活用品.（1）求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率；（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为，求的分布列以及数学期望；（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）多次参与抽奖活动后，可以估计中的最终积分会越来越少.【解析】（1）先求出摸出“2张奖券”的概率，再根据重复实验的概率公式可计算；（2）可知的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率即可得出分布列，求出数学期望；（3）记一轮抽奖游戏后，甲的最终积分为
15、，则可得出分布列，求出的期望，可得期望为负，从而判断最终积分会越来越少.【详解】（1）每次抽取，摸出“2张奖券”的概率，故一轮游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率.（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，故，故的分布列为：0123故.（3）记一轮抽奖游戏后，甲的最终积分为，则的分布列为20010000故，可知一轮游戏过后，甲的最终积分的期望为负数，故多次参与抽奖活动后，可以估计中的最终积分会越来越少.【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.21已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点，求
16、证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由离心率及在椭圆上即可求椭圆方程；（2）根据题意设直线方程为以及交点，联立方程结合根与系数关系有，利用向量垂直的坐标表示即可证明.【详解】（1）依题意，知，解得，故椭圆的方程为.（2）当斜率不为零时，设过点的直线：，设，由，得且，则，又因为，所以.【点睛】本题考查了椭圆，根据离心率及椭圆上一点求椭圆方程，由椭圆与直线的位置关系，应用向量垂直的坐标表示证垂直.22已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）设，是的两个不相等的正实数解，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导数，令，解出不等式即可；（2）依题意可知，是的两个不相等的正实数解，可建立不等式求出的取值范围，在利用韦达定理将化为关于的函数，再构造函数，利用导数即可证明.【详解】（1）依题意，令，故，解得，故函数的单调递增区间为.（2）依题意，所以，是的两个不相等的正实数解；则，解得，令，则，在上单调递减.，即.【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查利用导数证明不等式，属于较难题.
