1、导数的综合应用函数零点问题考查内容：主要涉及利用导数解决函数零点问题一选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1求函数零点的个数为（ ）A1B2C3D42若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD3若函数在上有2个零点，则的取值范围为（ ）ABCD4已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD5若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD6已知函数，若方程有2不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD7已知存在唯一零点，则实数的取值范围（ ）.ABCD8已知函数（）只有一个零点，则a的取值范围为（ ）ABCD9已知函数在
2、上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD10设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD11设函数是函数的导函数，当时，则函数的零点个数为（ ）ABCD12已知函数.若，则在上的零点个数为（ ）A0B1C2D3二填空题13已知函数有三个零点，则实数a的取值范围为_.14函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_15已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是_.16若函数只有一个零点，则实数的取值范围是_.三解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17已知函数，且在区间上为增函数.（1）求的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值
3、范围.18已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若是函数的一个极值点，试判断此时函数的零点个数，并说明理由.19设函数 （1）若是的极大值点，求的取值范围.（2）当时，函数有唯一零点，求正数 的值.20已知函数，.（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方；（2）当时，令的两个零点，.求证：.21已知函数，（1）讨论在上的单调性.（2）当时，若在上的最大值为，讨论：函数在内的零点个数.22已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点导数的综合应用函数零点问题解析1.【解析】,在上单调递增,在上单调递减,在上上单调递增,所以当时,取到极大值,所以当时,取到极小值,所以函数零点的个
4、数为3，所以C选项是正确的2.【解析】，.令，解得，.，为增函数，为减函数，为增函数.所以，.因为函数有三个不同的零点，等价于方程有三个不同的根.所以，解得.故选：D3.【解析】由得，设，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，又，当时，；当时，.则函数在为增函数，在为减函数，又，又函数在上有2个零点，则的取值范围为.故选：D.4.【解析】因为函数有两个不同的零点，所以函数的图像与直线有两个不同的交点，由得，令，则，当时，；当时，所以 在上单调递减，在上单调递增，所以时，取最小值，且当时， ，当时，所以要使函数的图像与直线有两个不同的交点，只要即可，即，故选：B5.【解析】函数存
5、在两个不同零点，等价于有两个不同的解，满足条件，所以有一个非零根，令，当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，当时，所以有一个非零根时，实数的取值范围是，故选：C.6.【解析】由得，去分母整理得有2不同的实数解，所以或，所以或，设所以，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.所以，所以没有实数解.所以方程有两个不同的实数解.当时，；当时，要方程有两个不同的实数解，必须.故选：B.7.【解析】由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可当时，有，令，则，在上单调递增，故选：D8.【解析】,令，解得，则当时，故函数在上单调递增，当时，函数为减函数，所以当
6、时，函数取得极小值，极小值为，当时，函数取得极大值，极大值为，且时，时，因为函数只有一个零点，所以或，解得或或，因为，所以，故选：A9.【解析】因为方程在上有两个解，即在上有两个解，设，则，在上为增函数，且，当时，单调递减，当时，单调递增.又，时，.故选：B10.【解析】函数定义域是，设，则，设，则，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，当时，所以在上递减，在上递增，函数至少有一个零点，则，故选B11.【解析】设，则.当时，当时，故，所以，函数在上单调递减；当时，故，所以，函数在上单调递增.所以，所以，函数没有零点，故也没有零点.故选：D.12.【解析】由题意，
7、令，则，当时，单调递增，即单调递增；当时，单调递减，即单调递减.，存在，使得，当时，单调递增；当时，单调递减，又，函数在上的大致图象，如下图所示：所以，若，函数在上有1个零点.故选：B.13.【解析】由题意可得：函数，所以，令，则或，令，则，所以函数的单调增区间为和，减区间为 所以当时函数有极大值，当时函数有极小值，因为函数有三个零点，所以且，解得，故实数a的取值范围为.故答案为：14.【解析】由题意得，得，设，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，因为当时，当时，所以要使得函数在区间上有两个零点，所以实数的取值范围是15.【解析】时，所以，因为函数
8、的定义域为，该定义域关于原点对称，所以函数为偶函数.若函数有四个不同的零点，则函数在上有两个不同的零点.当时，令得，即，令，则函数在上有两个不同的零点时，直线与函数的图象在上有两个不同的交点.，令得，当时，为增函数；当时，为减函数；所以，作出图象如图，由图可知，所以实数的取值范围是.16.【解析】因为，定义域为，所以当时，恒成立，即在定义域上单调递减，当时，所以，所以在上存在唯一的零点，满足条件；当时，令，解得即函数在上单调递增，令，解得即函数在上单调递减，则在取值极小值即最小值，令，则恒成立，即在定义域上单调递增，且，所以要使函数只有一个零点，则，解得，综上可得或；17.【解析】（1）由题意
9、 因为在区间上为增函数所以在区间上恒成立， 即恒成立，又，所以，故.当时，在区间恒大于0，故在区间上单增，符合题意.所以的取值范围为（2）设令得或，由（1）知，当时，在上递增，显然不合题意.当时，随的变化情况如下表：极大极小由于，欲使与图象有三个不同的交点，即方程，也即有三个不同的实根故需即所以解得综上，所求的范围为.18.【解析】.（1）时， ，令解得或.所以， 时函数的单调递增区间为.令，解得.所以， 时函数的单调递减区间为.（2）因为是函数的一个极值点，则，故： 解得：，此时，令解得： 或.则变化时， 的变化情况如下.递增极大值递减极小值递增故此时时， 有极小值；时， 有极大值；则当时，
10、 ，显然函数在上无零点.又，（也可取等），则，结合函数在上单调递增，故由零点存在定理知，函数在上必有唯一零点.综上：若是函数的一个极值点，则此时函数在上有唯一零点19.【解析】（1）的定义域为，由，得.若，由，得.当 时，此时是单调递增；当时，此时是单调递减，所以是的极大值点.若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得，综合：的取值范围是.（2）因为函数有唯一零点，即有唯一实数解，设，则令 ，因为，所以，方程有两异号根设为，因为，所以应舍去.当时，在上单调递减；当时，在单调递增.故因为 有唯一解，所以，则 即，因为，所以 （*），设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）的
11、解为，代入方程组解得20.【解析】（1）证明：构造函数. 则，令得 时，时在为减函数，在为增函数， 所以，即故函数的图象恒在函数图象的上方. （2）证明：由有两个零点，当时 则在为增函数，且，则当时，为减函数，当时，为增函数， 又， . 在和上各有一个零点， 故.21.【解析】（1）当时，当，时，；当，时，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减（2）由（1）知，当时，在上单调递增，解得： 在上单调递增，在内有且仅有个零点，令，当时， ，在内单调递减，又，使得，当时，即；当时，即，在上单调递增，在上单调递减， 在上无零点且，又，在上有且仅有个零点，综上所述：在上共有个零点22.【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点
