1、嘉兴市20202021学年第一学期期末检测高三数学满分150分，时间120分钟.一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知数列满足，且，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数（且）的图象可能为（ ）A. B. C. D. 5. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 已知实数满足条件，则的最
2、大值是（ ）A. B. C. D. 7. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）A. B. C. D. 8. 男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点是其右支上第一象限内的一点，直线分别交该双曲线左右支于另两点，若，且，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 10. 对任意，若不等式恒成立(为自然对数底数)，则正实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知复
3、数（其中虚数单位），则_；_.12. 已知抛物线的焦点为，准线方程为，点是抛物线上的一点，则实数_，_.13. 已知中，角所对的边分别为，且的面积为，则_；_.14. 已知.若，则_；_.15. 已知平面向量与夹角为，在上的投影是，且满足，则_.16. 甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则甲所获奖金总额的方差_.17. 如图，在多面体中，已知棱两两平行，底面，四边形为矩形，底面内(包括边界)动点满足与底面所成的角相等.记直线与底面的所成角为，则的取值范围是_.三解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明证明过
4、程或演算步骤.18. 在中，角所对的边分别为，已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.19. 如图，四棱锥中，为正三角形，.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.20. 已知数列满足，（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求证：.21. 已知中心在坐标原点的椭圆，其焦点分别为，点为椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与轴交于点，由点引另一直线交椭圆于两点.是否存在实数，使得直线的斜率成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22. 已知函数，.（1）当时，曲线在处的切线与直线平行，求函数在上的最大值(为自然对数的底数)
5、；（2）当时，已知，证明：.嘉兴市20202021学年第一学期期末检测高三数学满分150分，时间120分钟.一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D2. 已知数列满足，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A3. 已知，则“”是“”（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B4. 函数（且）的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D5. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则
6、B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D6. 已知实数满足条件，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C7. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）A. B. C. D. 【答案】A9. 已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点是其右支上第一象限内的一点，直线分别交该双曲线左右支于另两点，若，且，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A10. 对任意，若不等式恒成立(为自然对数的底数)，则正实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B二填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
7、11. 已知复数（其中为虚数单位），则_；_.【答案】 (1). (2). 12. 已知抛物线的焦点为，准线方程为，点是抛物线上的一点，则实数_，_.【答案】 (1). 8 (2). 413. 已知中，角所对的边分别为，且的面积为，则_；_.【答案】 (1). 1 (2). 15. 已知平面向量与的夹角为，在上的投影是，且满足，则_.【答案】16. 甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则甲所获奖金总额的方差_.【答案】6017. 如图，在多面体中，已知棱两两平行，底面，四边形为矩形，底面内(包括边界)的动点满足与底面所成
8、的角相等.记直线与底面的所成角为，则的取值范围是_.【答案】三解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.18. 在中，角所对的边分别为，已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.19. 如图，四棱锥中，为正三角形，.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（1）取中点，连结.因为，由平几及解三角形知识得 ，解得 ，所以，因此为正三角形，故，又因为也是正三角形，因此，又，所以平面，而平面，所以.（2）方法一：因为，所以与平面所成角即与平面所成角，记作.由（1）得平面，又平面，所以平面平面，平面平
9、面，故过点作平面，则垂足必在直线上，此时，在正中，而，所以在中，由余弦定理可得，所以，又，所以，所以与平面所成角的正弦值为.方法二：由（1）知平面，又平面，所以平面平面，平面平面.故过点作直线，则平面，又，故可如图建立空间直角坐标系.又，可求得各点坐标：，设平面的一个法向量为，则，即，故，令，故，又，记与平面所成角为，则.又因为，故与平面所成角的正弦值为.20. 已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.（1）当时，因为，所以，所以数列为首项为，公差为的等差数列.又，所以，解得.（2）因为，
10、所以.所以，即，显然，另一方面，故数列是递增数列，所以，因此，.21. 已知中心在坐标原点的椭圆，其焦点分别为，点为椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与轴交于点，由点引另一直线交椭圆于两点.是否存在实数，使得直线的斜率成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据条件算出，然后利用抛物线定义求出答案即可；（2）分直线的斜率为零、直线的斜率不为零两种情况讨论，当直线斜率不为零时，可设直线的方程为，由可得，联立直线的方程与椭圆的方程消元可得，代入即可求解.【详解】（1）设椭圆的方程为，由题意可求得，由椭圆定义可知，所以，而，
11、故故所求椭圆的方程为（2）假设存在实数，使得直线的斜率成等差数列，即满足当直线的斜率为零时，此时直线与椭圆的交点是椭圆长轴的端点不妨设，此时，由于，故，解得当直线斜率不为零时，可设直线的方程为，联立方程组整理得，故而，又故整理得将代入上式可得，整理得，对于任意该等式恒成立故，解得综合，可知存在实数，使得直线的斜率成等差数列22. 已知函数，.（1）当时，曲线在处的切线与直线平行，求函数在上的最大值(为自然对数的底数)；（2）当时，已知，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.（1）当时，因此，而曲线在处的切线与直线平行，故，解得.所以，故当时，即函数在上递减，当时，即函数在上递增，所以，而，故，即，所以函数在上的最大值为.（2）当时，由于，故要证明成立.证明成立证明成立，证明成立.令，因为，则，即只需证明成立证明即可，下面证明该不等式成立.设，求得，因为，所以，所以当时，因此函数是上的增函数，故，这就证明了当时，恒成立，故原命题成立.
