1、一、选择题1记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项，的最小项为，令，若数列的通项公式为，则数列的前项和为（ ）ABCD2在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（）ABCD32020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）A40B41C42D434在正项等比数列中，若，则公比（ ）AB或CD或5已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒
2、成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD6某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品计划从年开始每年比上一年获利增加，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过万元（已知，）A年B年C年D年7已知等差数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）ABCD8我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的底层共有灯（ ）A盏B盏C盏D盏9设等差数列的前项和为，则（ ）ABCD10已知数列为等差数列，且，设，当的前项和最小时，的值有（ ）A5个B4个C3个D2个11已知定义
3、域为R的函数f(x)满足f(x)=3f(x+2)，且，设f(x)在2n-2,2n)上的最大值为，且数列an的前n项和为Sn，若Snk对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（ ）ABCD12在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（ ）A4B5C6D7二、填空题13给定，则使乘积为整数的称为“和谐数”，则在区间内的所有“和谐数”的和为_.14已知数列的前n项和为，若且，则_15在数列中，已知，则_16已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和_.17数列中，则的前n项和_18在等比数列中，则公比_19在数列中，且数列为等比数列，则_
4、20已知数列的通项公式为，若不等式对任意恒成立，则整数的最大值为_.三、解答题21已知数列满足：，（）求；（）若，求数列的最小项22已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.23已知正项等比数列，首项，且成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和24在数列中，已知，且，.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.25已知数列的前n项和为（1）求这个数列的通项公式；（2）设，证明：对，数列的前n项和26已知等差数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）若，令，求数列的前项和.【参考答案】*试卷处理标记，请
5、不要删除一、选择题1A解析：A【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可.【详解】数列的通项公式为，故从起单调递增，且，所以，又，所以数列的前项和为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从起单调递增，才能依次确定的项，找到规律，突破难点.2C解析：C【分析】根据等比数列性质求得，再由等差数列性质求解【详解】是等比数列，所以，即，是等差数列，所以故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设是正整数，若是等差数列，则，若是等比数列，则时，上述结论也成立3C解析：C【分析】设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项
6、，公比为的等比数列，求出的通项，解不等式即可求解【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，由题意知是以为首项，公比为的等比数列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少对折的次数是，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.4D解析：D【分析】由等比数列的性质可得出关于、的方程组，进而可求得等比数列的公比.【详解】由得，即，又，解得或，或故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关、的方程组，通过求出、的值，结合等比数列的基本量来进行求解.5D解析：D【分析】由利用 ，得到数
7、列是以1为首项，为公比的等比数列，进而得到是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到，将恒成立，转化为，从而得出答案.【详解】当时，得 ；当时，由，得，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列因为，所以又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，由，得，所以，所以，所以综上，实数的取值范围是故选: D【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.6C解析：C【分析】本题根据题意各年获利构成一个等
8、比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于的不等式，解出的值，注意其中对数式的计算【详解】由题意，设从年开始，第年的获利为万元，则数列为等比数列，其中年的获利为首项，即.年的获利为万元，年的获利为万元，数列的通项公式为，由题意可得，即，从年开始这家加工厂年获利超过万元故选：C【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算属于中档题7B解析：B【解析】设等差数列的首项为，公差为.，则数列的前项和为故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2
9、） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.8C解析：C【分析】设塔的顶层共有盏灯，第层的灯有盏，则数列是公比为的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求得的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数.【详解】设塔的顶层共有盏灯，第层的灯有盏，则数列是公比为的等比数列，由题意可知，一座层塔所挂的灯的盏数为，解得.因此，塔的底层的灯的盏数为.故选：C.【点睛】本题考查等比数列及其前项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9A解析：A【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式可得，变形可得，又由，变形可得，结合等差数列的性质分析可得答案.【
10、详解】根据题意，等差数列中，则，变形可得，又由，则，则，又由，则，解可得.故选：A.【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.10B解析：B【分析】根据等差数列的性质可知，从而判断数列是单调递增数列，即可判断当的前项和最小时，可取的值.【详解】数列为等差数列，则，即，可以判断数列是单调递增数列，当的前项和最小时，可取的值为97，98，99，100共4个.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.11B解析：B【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得的的最大值，由递推式可得数列为首项为，公比为的等比数列，由等
11、比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得的最小值【详解】解：当时，且，可得时，的最大值为，时，的最大值为，即当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，所以，由Snk对任意的正整数n均成立，可得，所以实数k的取值范围为，故选：B【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题12B解析：B【分析】设等差数列公差为,可得,再利用基本不等式求最值,从而求出答案.【详解】设等差数列公差为,则,从而,此时,故,所以,即,当且仅当,即时取“=”,又,解得,所以,所以,故选:B.【点睛】本题主
12、要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题132026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026【分析】根据换底公式把代入并且化简，转化为为整数，即，可求得区间内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：，得为整数，分别可取，最大值，则最大可取10，故所有“和谐数”的和为.故答案为：2026.【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.14【分析
13、】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由得则所以得：-得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：.【分析】先计算出数列的前两项分别为和，由题意可知可得，再结合得数列是首项为，公比为的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算.【详解】由 得，则，所以，得：，-得：，即又成立，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，故.故答案为：【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.15【分析】（1）直接根据已知条件得到即进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通
14、项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】数列是以为首项以3为公比的等比数列当时不适合上式数列的通项公式为故答案为：解析：【分析】（1）直接根据已知条件得到，即，进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，当时，不适合上式，数列的通项公式为故答案为：【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.16【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出
15、数列的前项和【详解】即即故则故故答案为：【点睛】本题主要考查了利用解析：【分析】根据求数列通项，分析时求解数列通项得到，整理可得，即可求出通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和.【详解】，即，即，故，则，故.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.17【分析】根据利用等差中项得到是等差数列然后由利用裂项相消法求和【详解】是等差数列又故答案为：【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题解析：【分析】根据，利用等差中项得到是等差数列，然后由 ，利用裂项相消法求和.【详解
16、】，是等差数列， 又，故答案为：【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：是等比数列解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题解析：【分析】本题先用，表示，再建立方程组解题即可.【详解】解： 是等比数列， ， ，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.19【分析】由等比数列通项公式求出然后由累乘法求得【详解】为等比数列由已知时也适合此式故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式考查累乘法求数列通项公式如果已知则用累加法求通项公式如果已知则用解析：【分析】由等
17、比数列通项公式求出，然后由累乘法求得【详解】为等比数列，由已知，时，也适合此式，故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式如果已知，则用累加法求通项公式，如果已知，则用连乘法求通项公式204【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：不等式等价于记时即时数列单调递减又即整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立，再求数列的最大值即可得答案.【详解】解：，不等式等价于，记，时，即时数列单调递减，又 ， ，即，整数的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查根据数列
18、不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21（）；（）.【分析】（）设数列的前n项和为，利用可求.（2）讨论的单调性后可求数列的最小项，结合可求数列的最小项【详解】解：（）设数列的前n项和为，即，则，故，当，也符合此式，（）考虑奇数项，又，得，而，当时，当时，即奇数项中最小而，所以数列的最小项为【点睛】思路点睛：数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项.22（1）；（2）.【分析】（1）根据可得，两式作差证明为等差数列，由此求解出的通项公式；（2）先根据求解出的通项公式，然后采用错位
19、相减法进行求和，由此求解出.【详解】（1）因为，所以，所以两式作差有：，所以，且，所以，所以，所以是公差为的等差数列，且，所以或（舍），所以；（2）因为，所以，所以，所以，两式作差可得：，所以，所以.【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.23（1）；（2）【分析】（1）由已知成等差数列求出公
20、比后可得通项公式；（2）用裂项相消法求和【详解】（1）解：设等比数列的公比为q，由题意得：，即，即，所以或（舍），所以（2）由（1）知，则，所以【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和24（1）；（2）.【分析】（1）由定义
21、证明数列是等比数列，得出数列的通项公式；（2）由的通项公式求出，再由错位相减法以及分组求出法得出数列的前项和.【详解】解：（1）因为，所以所以，又所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以设-得所以所以.【点睛】关键点睛：在第二问中，对于求的前项和，关键是利用错位相减法结合分组求和得出.25（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用求解即可；（2）利用求，当时，显然成立，当时，利用列项相消法求和判断即可.【详解】解：（1）当时，；当时，所以；（2）由（1）易知当时，显然成立当时， ；故结论成立【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.26（）；（）.【分析】()根据条件列出方程组求出数列的首项和公差，即可得出通项公式；（）分组求和结合错位相减法和裂项相消法可求出.【详解】解: ()设等差数列的公差为，则由可得，解得因此()由()及 ， 则令，则，两式相减得，所以综合知.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
