1、第5讲椭圆基础知识整合1椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P表示椭圆；(2)若ac，则集合P表示线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距
2、|F1F2|2c焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形如图所示，设F1PF2.(1)当P为短轴端点时，最大(2)S|PF1|PF2|sinb2tanc|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac)(4)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos.2焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.3AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)
3、，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l|x1x2|y1y2|；(2)直线AB的斜率kAB.1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2B3C4D9答案B解析由4(m0 )m3，故选B2若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()ABC2D4答案A解析将原方程变形为x21.由题意知a2，b21，a，b1.2，m.3(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b答案B解析因为椭圆的离心率e，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B4已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F
4、(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A1B1C1D1答案D解析依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a29，b28.故椭圆C的方程为1.5(2019西安模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当F1PF2最大时，PF1F2的面积是()AB12C16(2)D16(2)答案B解析椭圆的方程为1，a5，b4，c3，F1(3,0)，F2(3,0)根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，F1PF2最大，此时PF1F2的面积S23412，故选B6椭圆3x2ky23的一个焦点是(0，)，则k_.答案1解析方程3x2ky23可化为x21.a21b2，c2a2b21
5、2，解得k1.核心考向突破考向一椭圆定义及其应用例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|PA|PM|PN|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆(2)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2的周长为16.则|AF2|_.答案5解析由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3.AB
6、F2的周长为16，4a16，a4.则|AF1|AF2|2a8，|AF2|8|AF1|835.(1)椭圆定义的应用范围确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆解决与焦点有关的距离问题(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|，|PF2|；通过整体代入可求其面积等即时训练1.(2019河北保定一模)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_答案1解析设动圆的半径为r，圆心P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r，所以|PC1|PC2|10|C1C2|
7、，即点P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P的轨迹方程为1.2已知椭圆C：1，点M与椭圆C的焦点不重合若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|BN|_.答案12解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.考向二椭圆的标准方程例2(1)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|
8、BF1|，则C的方程为()Ay21B1C1D1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF2|a，A为椭圆的短轴端点如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，2，B.将B点坐标代入椭圆方程1，得1，a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则该椭圆的方程为_.答案1解析设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)
9、因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式解题步骤如下：即时训练3.(2019青岛模拟)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方
10、程为()Ay21B1C1D1答案C解析如图，|AF2|AB|，|F1F2|2，由椭圆定义，得|AF1|2a.在RtAF1F2中，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2222.由得a2，b2a2c23.椭圆C的方程为1，应选C4已知A，B是圆：2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_答案x2y21解析如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2.所以|PA|PF|2且|PA|PF|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c，b2.所以动点P的轨迹方程为x2y21.考向三椭圆的几何性质例3(1)(2019云南保山期末)椭圆1(ab0)的一
11、个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为()ABCD答案D解析设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|b，又OM是F2PF1的中位线，|OM|PF2|b，|PF2|2b，由椭圆的定义知|PF1|2a|PF2|2a2b.又|MF1|PF1|(2a2b)ab，又|OF1|c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(ab)2b2c2，又a2b2c2，可得2a3b，故有4a29b29(a2c2)，由此可求得离心率e，故选D(2)已知椭圆1(ab0)的半焦距为c，且满足c2b2ac0，则该椭圆的离心率e的取值范围是_.答
12、案解析c2b2ac0，c2(a2c2)ac0，即2c2a2ac0，10，即2e2e10，解得1e.又0e1，0eb0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()ABCD答案C解析由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得2cb(2a2c)，得a2c，即e，故选C6(2019郑州市高三预测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()AB2C2D答案D解析设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直
13、角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即有c2(96)a2，即c()a，即e，故选D精准设计考向，多角度探究突破考向四直线与椭圆的位置关系角度1弦的中点问题例4(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差解(1)证明：设A(x1，y1
14、)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得m0，即0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则由(1)及题设得(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)，x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|OF|，且AOB的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线y2上是否存在点M，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)由|AB|OF|，AOB的面积为，得 c，ab，a2，b，即椭圆方程为1.(2)假设直线y2上存在点M满足题
15、意，设M(m,2)，当m2时，从M点所引的两切线不垂直当m2时，设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为yk(xm)2，由得(12k2)x24k(mk2)x2(mk2)240，0，(m24)k24mk20，设两切线的斜率分别为k1，k2，则k1k21，m，即点M坐标为(，2)或(，2)角度3弦长问题例6(2019陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点求PAB面积的最大值解(1)e2，a24b2.又椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，1，a28，b22.故所求
16、椭圆方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理，得x22mx2m240.4m28m2160，解得|m|b0)，则椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：1(ab0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则OCD面积的最小值为()ABCD2答案B解析由题意，得2c2，即c1，a2b21，将点代入椭圆方程，可得1，解得a，b1，即椭圆的方程为y21，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为xy2y1，令x0，得yD，令y0，可得x
17、C，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x20，y20，y1，所以SOCD2，即SOCD，当且仅当y，即点B的坐标为时，OCD面积取得最小值，故选B8(2019广西联考)已知椭圆C：1(ab1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且垂直于AB的直线与x轴交于点D，求k的值解(1)由题中条件，可得过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 .设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)，依题意知又因为b1，解得a2，b，c1，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题意，过椭
18、圆C的右焦点的直线l的方程为yk(x1)，将其代入1，得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2k.因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为.又因为直线PD的斜率为，所以直线PD的方程为y.令y0，得x，所以点D的坐标为，则，解得k1.9(2019云南昆明模拟)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1)，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若OAB的面积为，求直线l的方程解(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，由已知得解得a22，b21，所以椭圆
19、E的方程为y21.(2)由已知，直线l过左焦点F(1,0)当直线l与x轴垂直时，A，B，此时|AB|，则SOAB1，不满足条件当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(12k2)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.因为SOAB|OF|y1y2|y1y2|，由已知SOAB，得|y1y2|.因为y1y2k(x11)k(x21)k(x1x2)2kk 2k，y1y2k(x11)k(x21)k2(x1x2x1x21)，所以|y1y2|，所以k4k220，解得k1，所以直线l的方程为xy10或xy10.1已知点F1，F2是椭圆x22y22的左
20、、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0B1C2D2答案C解析解法一：设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，所以(2x0，2y0)，所以|22.因为点P在椭圆上，所以0y1，所以当y1时，|取最小值2.故选C解法二：由2，所以|2|P|2，因为点P在椭圆上，所以x2y2，且0y1，则222，当y1时，|取最小值2.故选C2已知F是椭圆1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|PF|的最大值和最小值解由题意知a3，b，c2，F(2,0)设椭圆右焦点为F，则|PF|PF|6，所以|PA|PF|PA|PF|6.当P，A，F三点共线时，|P
21、A|PF|取到最大值|AF|，或者最小值|AF|.所以|PA|PF|的最大值为6，最小值为6.3在椭圆1上求一点，使它到直线2x3y150的距离最短解设所求点坐标为A(3cos，2sin)，R，由点到直线的距离公式得d，当2k，kZ时，d取到最小值，此时A点坐标为(3,2)答题启示椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解对点训练1(2020青海西宁复习检测)在平
22、面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5B4C3D2答案A解析椭圆的方程为1，a24，b23，c21，B(0，1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|PC|4，|PB|4|PC|，|PA|PB|4|PA|PC|4|AC|5，即|PA|PB|的最大值为5.2设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5BC7D6答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q(x，y)，且x，1y1，则圆心(0，6)到点Q的距离d，当y时，dmax5，P，Q两点间的最大距离ddmax6.解法二：易知圆心坐标为M(0,6)，|PQ|的最大值为|MQ|max，设Q(cos，sin)，则|MQ|，当sin时，|MQ|max5，所以|PQ|max56.故选D3如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_答案4解析设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，因为e，所以c1，所以b2a2c23.所以椭圆方程为1.所以2x02，y0.因为F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.即当x02时，取得最大值4.
