1、（易错题精选）初中数学二次函数难题汇编附答案解析一、选择题1如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90得到点F，连接CF，则CEF面积的最小值是（ ）A16B15C12D11【答案】B【解析】【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则FEHEBA，设AE=x，可得出CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值【详解】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， A=H=90，FEB=90， FEH=90-BEA=EBA， FEHEBA， 为的中点， 设AE=x， AB HF 当 时，CEF面积的最
2、小值 故选：B【点睛】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质建立CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键2如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：；关于的方程有一个根为，其中正确的结论个数有（ ）A个B个C个D个【答案】C【解析】【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y轴的交点可判断出a、b、c的符号，从而可判断；由图像可知当x3时，y0，可判断；由OAOC，且OA1，可判断；把代入方程整理得ac2bcc0，结合可判断；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知a0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c0，又对称轴方程为x2，0，b0，a
3、bc0，故正确；由图像可知当x3时，y0，9a3bc0，故错误；由图像可知OA1，OAOC，OC1，即c1，故正确；假设方程的一个根为x，把代入方程，整理得ac2bcc0， 即方程有一个根为xc，由知cOA，而当xOA是方程的根，xc是方程的根，即假设成立，故正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：abc0；ab+c0；b24a（cm）；一元二次方程ax2+bx+cm
4、+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解【详解】函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴a0,c0抛物线的对称轴为直线x=1b0abc0；正确；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当x=-1时，y0，即a-b+c0，所以不正确；抛物线的顶点坐标为（1，m）， =m，b2=4ac-4am=
5、4a（c-m），所以正确；抛物线与直线y=m有一个公共点，抛物线与直线y=m+1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以正确故选:C【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键4方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+
6、2x-1=0的实根x所在范围【详解】解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，此时抛物线的图象在反比例函数上方方程的实根x0所在范围为：故选C【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势5已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c0；（2）方程ax2+bx+c0两根都大于
7、零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数yx+bc的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a0，与y轴交于正半轴，c0，对称轴x=1，故b0，bc0，即可判断一次函数yx+bc的图象.【详解】由x2时，y4a+2b+c，由图象知：y4a+2b+c0，故正确；方程ax2+bx+c0两根分别为1，3，都大于0，故正确；当x2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；由图象开口向上，a0，与y轴交于正半轴
8、，c0，x=10，b0，bc0，一次函数yx+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.6若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”例如：P（1，0）、Q（2，2）都是“整点”抛物线ymx24mx+4m2（m0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）Am1Bm1C1m2D1m2【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】ymx24mx+4m2m（x2）22且m0，该抛
9、物线开口向上，顶点坐标为（2，2），对称轴是直线x2由此可知点（2，0）、点（2，1）、顶点（2，2）符合题意当该抛物线经过点（1，1）和（3，1）时（如答案图1），这两个点符合题意将（1，1）代入ymx24mx+4m2得到1m4m+4m2解得m1此时抛物线解析式为yx24x+2由y0得x24x+20解得 x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意则当m1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，1）、（3，1）、（2，1）、（2，2）这7个整点符合题意m1【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m1时） 答案图2（ m时）当该抛物线经
10、过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意将（0，0）代入ymx24mx+4m2得到004m+02解得m此时抛物线解析式为yx22x当x1时，得点（1，1）符合题意当x3时，得.点（3，1）符合题意综上可知：当m时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，1）、（3，1）、（2，2）、（2，1）都符合题意，共有9个整点符合题意，m不符合题m综合可得：当m1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，
11、数形结合是解题的关键.7已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数及图象，将二次函数的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）A向左平移2个单位长度B向右平移2个单位长度C向左平移10个单位长度D向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离【详解】解：ym（x3）（x9）mx212mx27m，yn（x2）（x6）nx28nx12n，二次函数ym（x3）（x9）的对称轴为直线x6，二次函数yn（x2）（x6）的对称轴为直线x4，4（6）10，将二次函数ym（x3）（x9）
12、的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键8如图，抛物线 与x轴交于点A（1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：abc0；3a+b0；a1；a+bam2+bm（m为任意实数）；一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【解析】解：抛物线开口向下，a0，顶点坐标（1，n），对称轴为直线x=1， =1，b=2a0，与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），3c
13、4，abc0，故错误；3a+b=3a+（2a）=a0，故正确；与x轴交于点A（1，0），ab+c=0，a（2a）+c=0，c=3a，33a4，a1，故正确；顶点坐标为（1，n），当x=1时，函数有最大值n，a+b+cam2+bm+c，a+bam2+bm，故正确；一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=1，故错误综上所述，结论正确的是共3个故选B点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系9在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线ya
14、x2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）Aa2BaC1a或a2D2a【答案】C【解析】【分析】分a0，a0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围【详解】抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，令ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2故选：C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键10二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=
15、2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3）7a3b+2c0；（4）若点A（3，y1）、点B（，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程a（x+1）（x5）=3的两根为x1和x2，且x1x2，则x115x2其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y0，可得9a+3b+c0，可得9a+c-3c，故（2）正确；因为抛物线与x轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a，可得a+4a+c=0
16、，即c=-5a.代入可得7a3b+2c=7a+12a-5a=14a，由函数的图像开口向下，可知a0，因此7a3b+2c0，故（3）不正确；根据图像可知当x2时，y随x增大而增大，当x2时，y随x增大而减小，可知若点A（3，y1）、点B（，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3y2，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a（x+1）（x5）=3的两根为x1和x2，且x1x2，则x11x2，故（5）正确正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和
17、大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定，=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点11如图，已知，线段与轴平行，且，抛物线经过点和，若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为（秒）.若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】直接利用
18、待定系数法求出二次函数，得出B点坐标，分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；【详解】解：（1）把点C（0，3）和D（3，0）的坐标代入y=-x2+mx+n中，得，解得抛物线l解析式为y=-x2+2x+3，设点B的坐标为（-2，-1-2t），点A的坐标为（-4，-1-2t），当抛物线l经过点B时，有y=-（-2）2+2（-2）+3=-5，当抛物线l经过点A时，有y=-（-4）2+2（-4）+3=-21，当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21-1-2t-5，解得：2t10故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用
19、数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键12若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*baba+b，如：3*2323+25以下说法中错误的是（）A不等式（2）*（3x）2的解集是x3B函数y（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D方程（x2）*35的解是x5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）a（a+1）a+（a+1）a2+a+1（a+）2+0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算
20、法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】a*baba+b，（2）*（3x）（2）（3x）（2）+（3x）x1，（2）*（3x）2，x12，解得x3，故选项A正确；y（x+2）*x（x+2）x（x+2）+xx2+2x2，当y0时，x2+2x20，解得，x11+，x21，故选项B正确；a*（a+1）a（a+1）a+（a+1）a2+a+1（a+）2+0，在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；（x2）*35，（x2）3（x2）+35，解得，x3，故选项D错误；故选D【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.13一次函
21、数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a0，b0，再由反比例函数图像性质得出c0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：0，即在y轴的右边，与y轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：一次函数y=ax+b图像过一、二、四， a0，b0， 又反比例 函数y=图像经过二、四象限， c0， 二次函数对称轴：0， 二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴负半轴相交，故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的
22、图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键14如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，点同时停止运动设点运动的时间为t秒，的面积为，则表示与之间的函数关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,点P在AB上运动，点Q在BC上运动；点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式，即可判断得出答案【详解】解：当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，函数图象为抛物线
23、；当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，底边AP上的高保持不变，函数图象为一次函数；故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出与之间的函数关系是解此题的关键15如图，矩形的周长是，且比长若点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，当一个点到达点时，另一个点也随之停止运动若设运动时间为，的面积为，则与之间的函数图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB、AD的长，当0t4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4t6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S
24、与t的关系式，分析图像即可排除选项D，从而得结论【详解】解：由题意得，可解得，即，当0t4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，SAPQ=，图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确；当4t6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，SAPQ=， 图像是一条线段，故选项D不正确；故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式16已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A3或6B1或6C1或3D4或6【答案】B【解析】分析：分h2、2h5和h
25、5三种情况考虑：当h2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2h5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论综上即可得出结论详解：如图，当h2时，有-（2-h）2=-1， 解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2h5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6综上所述：h的值为1或6故选B点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h2、2h5和h5三种情况求出h值是解题的关键17下面所示各图是在同一
26、直角坐标系内，二次函数y+（a+c）x+c与一次函数yax+c的大致图象正确的（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a0，c0，而一次函数y=ax+c中a0，c0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a0，c0，而一次函数y=ax+c中a0，c0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，
27、故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a0，c0，而一次函数y=ax+c中a0，c0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a0，c0，而一次函数y=ax+c中a0，c0，故选项C不符题意，故选：D【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断【详解】解：A.由一次函数图像可知a0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴应在y轴左侧，故此
28、选项错误；B. 由一次函数图像可知a0，而由二次函数图像开口方向可知a0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴在y轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a0，而由二次函数图像开口方向可知a0，故此选项错误；故选：C【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型19已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图，分析下列四个结论：abc0；b24ac0；3a+c0；（a+c）2b2，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】试题解析：由开口向下，可得 又由抛物线与y轴交于
29、正半轴，可得 再根据对称轴在y轴左侧，得到与同号，则可得 故错误；由抛物线与x轴有两个交点，可得 故正确；当时， 即 （1）当时，,即 （2）（1）+（2）2得， 即 又因为所以 故错误；因为时，时， 所以 即 所以 故正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B20在平面直角坐标系中，点的坐标为，将抛物线沿坐标轴平移一次，使其经过点，则平移的最短距离为（ ）AB1C5D【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项【详解】解：=，当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=，平移的最短距离为，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键
