1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 （山东卷）（山东卷）文科数学 第第卷（共卷（共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合 题目要求的选项题目要求的选项 1复数 43i 1+2i 的实部是（ ） A2 B2 C3 D4 2已知集合 1 1 11|24 2 x MNxx Z，则MN （ ） A 11 ， B0 C 1 D 10 ， 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A B C
2、 D 4要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx 的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 5已知向量(1)( 1)nn ， ，ab，若2 ab与b垂直，则a（ ） A1 B2 C2 D4 6给出下列三个等式：()( )( )()( ) ( )f xyf xf yf xyf x f y， ( )( ) () 1( ) ( ) f xf y f xy f x f y 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A( )3xf x B( )sinf xx C 2 ( )logf xx D( )tanf xx 7命题“对任意的 32 10x
3、xxR，”的否定是（ ） A不存在 32 10xRxx， B存在 32 10xRxx， C存在 32 10xRxx ， D对任意的 32 10xRxx ， 正方形 圆锥 三棱台 正四棱锥 8某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二 组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第六组， 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于 17 秒 的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为
4、y，则从频率分布直方 图中可以分析出x和y分别为（ ） A0.935， B0.9 45， C0.135， D0.145， 9设O是坐标原点，F是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的 夹角为60，则OA为（ ） A 21 4 p B 21 2 p C 13 6 p D 13 36 p 10阅读右边的程序框，若输入的n是 100，则输出的 变量S和T的值依次是（ ） A2550，2500 B2550，2550 C2500，2500 D2500，2550 11设函数 3 yx与 2 1 2 x y 的图象的交点为 00 ()xy， 则 0 x所在的区间是（ ）
5、A(01)， B(12)， C(2 3)， D(3 4)， 12设集合1212 3AB， ，分别从集合A和B中 随机取一个数a和b， 确定平面上的一个点()P ab， 记 “点 ()P ab，落在直线xyn上”为事件 (25) n CnnN ，若事件 n C的概率最大，则n的所 有可能值为（ ） A3 B4 C2 和 5 D3 和 4 第第卷（共卷（共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案须填在题中横线上分，答案须填在题中横线上 13设函数 1( ) f x 213 23 ( )( )xfxxfxx ，则 12
6、3 (2007)fff 14函数 1 (01) x yaaa ，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn 上，则 11 mn 的最小值为 15当(12)x ，时，不等式 2 40xmx恒成立，则m的取值范围是 16与直线20xy和曲线 22 1212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程 是 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率 0.02 0.04 0.06 0.18 0.34 0.36 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12
7、 分）在ABC中，角A BC， ，的对边分别为tan3 7abcC ， ， ， （1）求cosC； （2）若 5 2 CB CA ，且9ab，求c 18 （本小题满分 12 分）设 n a是公比大于 1 的等比数列， n S为数列 n a的前n项和已知 3 7S ， 且 123 334aaa， ，构成等差数列 （1）求数列 n a的等差数列 （2）令 31 ln12 nn ban ， ， ，求数列 n b的前n项和T 19 （本小题满分 12 分）本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广 告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元
8、/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙 两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元问该公司如 何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 20 （本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 已知 1 22DCDDADAB，ADDCABDC， （1）求证： 11 DCAC； （2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使 1 D E平面 1 ABD，并说明理由 21 （本小题满分 12 分）设函数 2 ( )lnf xaxbx，其中0ab 证明：当0ab时，函数( )f x没有极值点；
9、当0ab时，函数( )f x有且只有一个极值点，并求 出极值 22 （本小题满分 14 分） 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离 的最大值为 3，最小值为 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线: l ykxm与椭圆C相交于A B，两点（A B，不是左右顶点） ，且以AB 为直径的 图过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 （山东文卷）答案（山东文卷）答案 一、选择题一、选择题 1B 2C 3D 4A 5C 6B 7C 8A
10、 9B 10A 11B 12D 二、填空题二、填空题 13 1 2007 141 155m 16 22 (2)(2)2xy 三、解答题三、解答题 17解： （1） sin tan3 73 7 cos C C C ， 又 22 sincos1CC 解得 1 cos 8 C tan0C ，C是锐角 1 cos 8 C （2） 5 2 CB CA， 5 cos 2 abC， 20ab 又9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 18解： （1）由已知得 123 13 2 7 : (3)(4) 3. 2 aaa aa a ， 解得 2 2a 设数列 n a的
11、公比为q，由 2 2a ，可得 13 2 2aaq q ， 又 3 7S ，可知 2 227q q ， 即 2 2520qq， 解得 12 1 2 2 qq， 由题意得12qq， 1 1a 故数列 n a的通项为 1 2n n a （2）由于 31 ln12 nn ban ， ， ， 由（1）得 3 31 2 n n a 3 ln23 ln2 n n bn 又 1 3ln2 nnn bb n b是等差数列 12nn Tbbb 1 () 2 (3ln23ln2) 2 3 (1) ln2. 2 n n bb n n n 故 3 (1) ln2 2 n n n T 19解：设公司在甲电视台和乙电视台
12、做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得 300 50020090000 00. xy xy xy ， ， ， 目标函数为30002000zxy 二元一次不等式组等价于 300 52900 00. xy xy xy ， ， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 如图： 作直线:300020000lxy， 即320xy 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时， 目标函数取得最大值 联立 300 52900. xy xy ， 解得100200xy， 点M的坐标为(100 200)， max 30002000700000zxy（元） 答：该公司在甲电视台做 100 分
13、钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元 20 （1）证明：在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 连结 1 C D， 1 DCDD， 四边形 11 DCC D是正方形 11 DCDC 又ADDC， 11 ADDDDCDDD， AD平面 11 DCC D， 1 DC 平面 11 DCC D， 1 ADDC B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 1 ADDC ，平面 1 ADC， 且ADDCD， 1 DC平面 1 ADC， 又 1 AC 平面 1 ADC， 1
14、 DCAC 1 （2）连结 1 AD，连结AE， 设 11 ADADM， BDAEN，连结MN， 平面 1 AD E平面 1 ABDMN， 要使 1 D E平面 1 ABD， 须使 1 MND E， 又M是 1 AD的中点 N是AE的中点 又易知ABNEDN， ABDE 即E是DC的中点 综上所述，当E是DC的中点时，可使 1 D E平面 1 ABD 21证明：因为 2 ( )ln0f xaxbxab，所以( )f x的定义域为(0)， ( )fx 2 2 2 baxb ax xx 当0ab时，如果00( )0( )abfxf x，在(0)，上单调递增； 如果00( )0( )abfxf x，
15、在(0)，上单调递减 所以当0ab，函数( )f x没有极值点 当0ab时， 2 22 ( ) bb a xx aa fx x 令( )0fx， 将 1 (0) 2 b x a ，（舍去） ， 2 (0) 2 b x a ， 当00ab，时，( )( )fxf x，随x的变化情况如下表： x 0 2 b a ， 2 b a 2 b a ， ( )fx 0 ( )f x 极小值 从上表可看出， B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B M E 函数( )f x有且只有一个极小值点，极小值为1 ln 222 bbb f aa 当00ab，时，( )( )fxf x，随x的变化情况如下表： x
16、 0 2 b a ， 2 b a 2 b a ， ( )fx 0 ( )f x 极大值 从上表可看出， 函数( )f x有且只有一个极大值点，极大值为1 ln 222 bbb f aa 综上所述， 当0ab时，函数( )f x没有极值点； 当0ab时， 若00ab，时，函数( )f x有且只有一个极小值点，极小值为1 ln 22 bb a 若00ab，时，函数( )f x有且只有一个极大值点，极大值为1 ln 22 bb a 22解： （1）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得：31acac ， 222 21 3 ac bac ， 椭圆的标准方程为 2
17、2 1 43 xy （2）设 1122 ()()A xyB xy， 联立 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 (34)84(3)0kxmkxm，则 222222 12 2 2 12 2 6416(34)(3)0340 8 34 4(3) . 34 m kkmkm mk xx k m x x k ，即， ， 又 22 22 12121212 2 3(4) ()()() 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D， 1 ADBD kk ，即 12 12 1 22 yy xx 121212 2()40y yx xxx 222 222 3(4)4(3)15 40 343434 mkmmk kkk 22 71640mmkk 解得： 12 2 2 7 k mkm ，且均满足 22 340km 当 1 2mk 时，l的方程(2)yk x，直线过点(2 0)，与已知矛盾； 当 2 2 7 k m 时，l的方程为 2 7 yk x ，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线l过定点，定点坐标为 2 0 7 ，
