1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 选择一个符合题目要求的选项。 1 若cossinzi（i为虚数单位） ，则 2 1z 的值可能是 （A） 6 （B） 4 （C） 3 （D） 2 2 已知集合1,1M ， 1 1 24, 2 x NxxZ ，则MN （A）1,1 （B） 1 （C） 0 （D） 1,0 3 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （A）(1),(2) （B） (1),(3) （C）(1),(4) （D） (
2、2),(4) 4 设 1 1,1,3 2 a ，则使函数yx的定义域为 R 且为奇函数的所有值为 （A）1,3 （B） 1,1 （C）1,3 （D） 1,1,3 5 函数sin(2)cos(2) 63 yxx 的最小正周期和最大值分别为 （A）,1 （B） , 2 （C）2 ,1 （D） 2 , 2 6 给出下列三个等式：()( )( )f xyf xf y，()( ) ( )f xyf x f y， ( )( ) () 1( ) ( ) f xf y f xy f x f y 。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （A）( )3xf x （B） ( )sinf xx （C） 2 ( )lo
3、gf xx （D） ( )tanf xx 7 命题“对任意的xR， 32 10xx ”的否定是 （A）不存在xR， 32 10xx （B）存在xR， 32 10xx （C）存在xR， 32 10xx （D）对任意的xR， 32 10xx 8 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式 分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组， 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第六组，成绩大于等 于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分 比为x，
4、成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为y， 则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 （A）0.9,35 （B） 0.9,45 （C）0.1,35 （D） 0.1,45 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率 0.02 0.04 0.06 0.18 0.34 0.36 9 下列各小题中，p是q的充要条件的是 （1）:2p m 或6m； 2 :3q yxmxm有两个不同的零点。 （2） () :1; ( ) fx p f x :( )qyfx是函数。 （3）:coscos;p : t a nt a nq。 （4）:;p ABA : UU q C BC A。 （A）(1
5、),(2) （B） (2),(3) （C）(3),(4) （D） (1),(4) 10 阅读右边的程序框图，若输入的n是 100，则输出的 变量 S 和 T 的值依次是 （A）2500,2500 （B） 2550,2550 （C）2500,2550 （D） 2550,2500 11.在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式 不成立的是 （A） 2 ACAC AB （B） 2 BCBA BC （C） 2 ABAC CD （D） 2 2 () ()AC ABBA BC CD AB 12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或 向右，并且向上、向
6、右移动的概率都是 1 2 .质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率为 （A） 5 1 ( ) 2 （B） 25 5 1 ( ) 2 C （C） 33 5 1 ( ) 2 C （D） 235 55 1 ( ) 2 C C 第卷（共 90 分） 注意事项： 1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答案须填在题中横线上. (13)设O是坐标原点，F是抛物线y 2=2px(p0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹 角为 60,则OA为 . (14)设D是不等
7、式组 1 , 40 , 32 102 y x yx yx， 表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10 距离的最 大值是 . (15)与直线x+y-2=0 和曲线x 2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 . (16)函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0 上，其中mn0,则 nm 21 的最小值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 (17)(本小题满分 12 分)设数列 n a满足a1+3a2+3 2a 3+3 n-1a
8、n=N*, 3 n n . ()求数列 n a的通项； （）设bn= n a n ，求数列 n b的前n项和Sn. 得 分 评卷人 （18） （本小题满分 12 分） 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程 2 0xbxc实根的个数 （重根按一个计） （）求方程 2 0xbxc有实根的概率； （）求的分布列和数学期望； （）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 2 0xbxc有实根的概率 得 分 评卷人 （19） （本小题满分 12 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 已知 1 22DCDDADAB，ADDC，ABDC （）设E是DC的中
9、点，求证： 1 D E平面 11 ABD； （）求二面角 11 ABDC的余弦值 B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B E 得 分 评卷人 (20)(本小题满分 12 分)如图，甲船以每小时 302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向 匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1处， 此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达A1处时， 乙船航行到甲船的北偏 西 120方向的B1处， 此时两船相距 102海里， 问乙船每小时航行多少海里？ 得 分 评卷人 （21） （本小题满分 12 分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点
10、到焦点距 离的最大值为 3；最小值为 1； （）求椭圆C的标准方程； （）若直线l1y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点） ，且以AB为直径的圆过椭 圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 得 分 评卷人 (22)(本小题满分 14 分)设函数f(x)=x 2+b ln(x+1),其中 b0. ()当b 2 1 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； （）求函数f(x)的极值点； （）证明对任意的正整数n,不等式 ln( 32 11 ) 1 1 ( nnn )都成立. 参考答案： DBDAAB，CADDCB 13 【答案】【答案】: 21 2 p 14 【
11、答案】【答案】:4 2. 15 【答案】【答案】:. 22 (2)(2)2xy 16 【答案】【答案】: 8。 17【答案】【答案】: (I) 21 123 33.3, 3 n n n aaaa 22 1231 1 33.3(2), 3 n n n aaaan 1 11 3(2). 333 n n nn an 1 (2). 3 n n an 验证1n 时也满足上式， * 1 (). 3 n n anN (II) 3n n bn， 23 1 32 33 3.3n n Sn 231 233333 nn n Sn 1 1 3 3 23 1 3 n n n Sn ， 11 13 33 244 nn n
12、 n S 18【答案】【答案】:（I）基本事件总数为6 636 ， 若使方程有实根，则 2 40bc ，即2bc。 当1c时，2,3,4,5,6b ； 当2c 时，3,4,5,6b ； 当3c 时，4,5,6b ； 当4c 时，4,5,6b ； 当5c 时，5,6b ； 当6c 时，5,6b , 目标事件个数为54332219, 因此方程 2 0xbxc 有实根的概率为 19 . 36 (II)由题意知，0,1,2，则 17 (0) 36 P， 21 (1), 3618 P 17 (2) 36 P， 故的分布列为 0 1 2 P 17 36 1 18 17 36 的数学期望 17117 012
13、1. 361836 E (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程 2 0axbxc 有实根” 为事件 N，则 11 () 36 P M ， 7 () 36 P MN ， 2341 31 32 33 3.3n n Sn ()7 () ()11 P MN P N M P M . 19【答案】【答案】:(I)连结BE，则四边形DABE为正方形， 11 BEADAD，且 11 BEADAD， 11 AD EB四边形为平行四边形， 11 DEAB. 1111 DEABDABABD平面，平面， 11 .DEABD平面 (II) 以 D 为原点， 1 ,DA DC DD所在直线分别为x
14、轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设 1DA ，则 11 (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).DABCA 1 (1,0,2),(1,1,0).DADB 设( , , )nx y z为平面 1 ABD的一个法向量， 由 1, nDA nDB得 20 0 xy xy ， 取1z ，则( 2, 2,1)n . 设 111 ( ,)mx y z为平面 1 C BD的一个法向量， 由,mDC mDB得 11 11 220 0 yz xy ， 取 1 1z ,则(1, 1,1)m . 33 cos,. 393 m n m n m n 由于该二面角 11
15、 ABDC为锐角， 所以所求的二面角 11 ABDC的余弦值为 3 . 3 20【答案】【答案】解如图，连结 12 AB， 22 10 2A B ， 12 20 30 210 2 60 A A ， 122 A A B是等边三角形， 112 1056045B AB， 在 121 AB B中，由余弦定理得 222 1211121112 22 2cos45 2 20(10 2)2 20 10 2200 2 B BABABABAB ， 12 10 2.BB 因此乙船的速度的大小为10 26030 2. 20 答：乙船每小时航行30 2海里. 21【答案】【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为 22 2
16、2 1(0) xy ab ab 3,1acac， 2 2,1,3acb 22 1. 43 xy (II)设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由 22 1 43 ykxm xy 得 222 (34)84(3)0kxmkxm， 2222 6416(34)(3)0m kkm ， 22 340km. 2 1212 22 84(3) ,. 3434 mkm xxx x kk 22 22 12121212 2 3(4) () ()(). 34 mk yykxmkxmk x xmk xxm k 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1 ADBD kk ， 12 12 1 22 yy
17、 xx ， 121212 2()40y yx xxx， 222 222 3(4)4(3)16 40 343434 mkmmk kkk ， 22 71640mmkk，解得 12 2 2 , 7 k mk m ，且满足 22 340km. 当2mk时，:(2)l yk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当 2 7 k m 时， 2 :() 7 l yk x，直线过定点 2 ( ,0). 7 综上可知，直线l过定点，定点坐标为 2 ( ,0). 7 22【答案】【答案】(I) 函数 2 ( )ln(1)f xxbx的定义域为1, . 2 22 ( )2 11 bxxb fxx xx ， 令 2
18、 ( )22g xxxb，则( )g x在 1 , 2 上递增，在 1 1, 2 上递减， min 11 ( )() 22 g xgb . 当 1 2 b 时， min 1 ( )0 2 g xb ， 2 ( )220g xxxb在1, 上恒成立. ( ) 0,fx 即当 1 2 b 时,函数( )f x在定义域1, 上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论： （1）由（I）知当 1 2 b 时函数( )f x无极值点. （2）当 1 2 b 时， 2 1 2() 2 ( ) 1 x fx x ， 1 1, 2 x 时， ( ) 0,fx 1 , 2 x 时， ( ) 0,fx 1 2 b时，
19、函数( )f x在1, 上无极值点。 （3）当 1 2 b 时，解 ( ) 0fx 得两个不同解 1 11 2 2 b x ， 2 112 2 b x . 当0b时， 1 11 2 1 2 b x ， 2 11 2 1 2 b x ， 12 1,1,xx 此时( )f x在1, 上有唯一的极小值点 2 112 2 b x . 当 1 0 2 b时， 12 ,1,x x ( ) fx在 12 1,xx都大于 0 ， ( ) fx在 12 ( ,)x x上小于 0 ， 此时( )f x有一个极大值点 1 112 2 b x 和一个极小值点 2 112 2 b x . 综上可知，0b时，( )f x
20、在1, 上有唯一的极小值点 2 112 2 b x ； 1 0 2 b时，( )f x有一个极大值点 1 112 2 b x 和一个极小值点 2 112 2 b x ； 1 2 b 时，函数( )f x在1, 上无极值点。 （III） 当1b时， 2 ( )ln(1).f xxx 令 332 ( )( )ln(1),h xxf xxxx则 32 3(1) ( ) 1 xx h x x 在0,上恒正， ( )h x在0,上单调递增，当0,x时，恒有( )(0)0h xh. 即当0,x时，有 32 ln(1)0,xxx 23 ln(1)xxx， 对任意正整数n，取 1 x n 得 23 111 ln(1) nnn
