1、 20042004 年全国高中数学联合竞赛试题年全国高中数学联合竞赛试题(1(1 试试) ) 第第 一一 试试 时间：时间：1010 月月 1616 日日 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1、设锐角使关于 x 的方程 2 4 coscot0xx有重根，则的弧度数为（ ） A. 6 B. 5 1212 or C. 5 612 or D. 12 2、已知 22 ( , )|23,( , )|Mx yxyNx yymxb。若对所有 ,mRMN均有，则 b 的取值范围是（ ） A. 66 , 22 B. 66 , 22 C. 2 3 2 3 (, 3
2、3 D. 2 3 2 3 , 33 3、不等式 3 21 2 1 log1log20 2 xx 的解集为（ ） A. 2,3) B. (2,3 C. 2,4) D. (2,4 4、设 O 点在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积 的比为（ ） A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 5 3 5、设三位数nabc，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形， 则这样的三位数 n 有（ ） A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点， O
3、 为底面圆的圆心，ABOB，垂足为 B，OHPB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的 中点，则当三棱锥 OHPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 5 3 B. 2 5 3 C. 6 3 D. 2 6 3 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 54 分，每小题分，每小题 9 分）分） 7、 在平面直角坐标系 xoy 中， 函数( )sincos(0)f xaaxaxa在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数 2 ( )1g xa的图像所围成的封闭图形的面积是_。 8、设函数:,(0)1f RRf满足，且对任意,x yR都有 (1)( ) ( )( )2f xyf x f yf
4、 yx，则( )f x=_。 9、如图、正方体 1111 ABCDABC D中， 二面角 11 ABDA的度数是_。 10、设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 2 kpk也是一个正整数，则 k=_。 11、 已知数列 012 ,.,., n a a aa满足关系式 10 (3)(6)18,3 nn aaa 且， 则 1 n i o i a 的值 是_。 12、在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4） ，点 P 在 X 轴上移动， 当MPN取最大值时，点 P 的横坐标为_。 三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 60 分，每小题分，每小题 20 分）分） 1
5、3、一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于2n，则算过关。问： （）某人在这项游戏中最多能过几关？ （）他连过前三关的概率是多少？ （注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静 止后，向上一面的点数为出现点数。 ） 14、在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 4 (0, ),( 1,0),(1,0) 3 ABC，点 P 到直线 BC 的距离 是该点到直线 AB，AC 距离的等比中项。 （）求点 P 的轨迹方程； （）若直线 L 经过ABC的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有
6、3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围。 15、已知, 是方程 2 4410 ()xtxtR 的两个不等实根，函数 2 2 ( ) 1 xt f x x 的定义 域为, 。 （）求( )max( )min( )g tf xf x； （）证明：对于(0,)(1,2,3) 2 i ui ，若 123 sinsinsin1,uuu C E D1 C1 A1B1 A B D F 123 1113 6 (tan)(tan)(tan)4gugugu 则。 二四年全国高中数学联合竞赛试题二四年全国高中数学联合竞赛试题 参参考答案及评分标准 说明： 1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和
7、 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档； 其他各题的评阅， 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分， 不要再增加其他中间档次。 2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可 参照本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次， 不要再增加其他中间档次。 一、一、选择题（本题满分选择题（本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分） 1、解：因方程 2 4 coscot0xx有重根，故 2 16cos4cot0 0,4cot (2sin21)0 2 得 1 sin2 2 5 22 66 或，于是 5 1212 或。 故选 B。 2 、 解 ：MN 相
8、 当 于 点 （ 0 ， b ） 在 椭 圆 22 23xy上 或 它 的 内 部 2 266 1, 322 b b。 故选 A。 3、解：原不等式等价于 22 2 331 log1log0 222 log10 xx x 设 2 2 31 0 log1,22 0 tt xt t 则有 解得01t 。 即 2 0log1 1,24xx 。 故选 C。 4、解：如图，设 D，E 分别是 AC，BC 边的中点， 则 2(1) 2()4(2) OAOCOD OBOCOE 由（1） （2）得， O B C A E D 232(2)0OAOBOCODOE， 即ODOE与共线， 且 33 2 | 2|,3
9、22 AECABC AOCAOC SS ODOE SS ， 故选 C。 5、解：a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即, ,1,2,.,9a b c （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 1 n，由于三位数中三个数码都相同，所 以， 1 19 9nC。 （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为 2 n，由于三位数中只有 2 个 不同数码。设为 a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有 2 9 2C。 但当大数为底时，设 ab，必须满足2bab。此时，不能构成三角形的数码是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4，3 2，
10、1 4，3 2，1 3，2 1 3，2 1 1，2 1，2 1 1 共 20 种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有 2 3 C种情况。 故 222 2399 (220)6(10)156nCCC。 综上， 12 165nnn。 6、解：,ABOB ABOPABPBOHPB又 ,PABPOBOHHC OHPA面面。C 是 PA 中点，OCPA HOC HOHCS当时最大， 也即 O HPCP HCO VV 最大。 此时， 0 0 2,30 2 6 tan30 3 HOOPHPO OBOP 1 故HO= 2 ， 故选 D。 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 545
11、4 分，每小题分，每小题 9 9 分）分） 7、解： 2 1 ( )1sin(),arctanf xaax a 其中，它的最小正周期为 2 a ，振幅为 2 1a 。由( )f x的图像与( )g x的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为 2 a 、宽为 2 1a 的长方形，故它的面积是 2 2 1a a 。 8、解：,(1)( ) ( )( )2,x yRf xyf x f yf yx 对有 (1)( ) ( )( )2f xyf y f xf xy有 ( ) ( )( )2f x f yf yx=( ) ( )( )2f y f xf xy 即( )( ),0,( )1f xy
12、f yxyf xx令得。 9、解：连结 1 ,DC 1 作CEBD，垂足为 E，延长 CE 交 1 AB于 F，则 1 FEBD，连结 AE， 由对称性知 1, AEBDFEA是二面角 11 ABDA的平面角。 连结 AC，设 AB=1， 则 11 2,3.ACADBD 1 Rt ABD在中， 1 1 2 3 AB AD AE BD ， 在 22222 2 4 2 21 3 cos 4 222 3 AECEACAEAC AECAEC AE CEAE 中, 0 120 ,AECFEAAEC而是的补角， 0 60FEA。 10、解：设 22 2*22 4 ,0, 2 ppn kpkn nNkpkn
13、k 则，从而 22 4pn 是平方数，设为 2*2 ,(2 )(2 )mmNmn mnp则 C E D1 C1 A1B1 A B D F 2 2 2 1 21 2 3, 21 4 p m mn pp mnpp n 是质数，且解得 22 2(1)(1) , 244 pmppp kk 故。 （负值舍去） 11、解：设 1 111 ,0,1,2,.,(3)(6)18, n nnn bn abb 则 即 111 111 3610.2,2() 333 nnnnnn bbbbbb 故数列 1 3 n b 是公比为 2 的等比数列， 11 0 0 111111 2 ()2 ()2(21) 33333 nnn
14、n nn bbb a 。 1 12 00 111 2(21)1 (21)(1)23 332 13 n nnn in i i oii i bnn a 。 12、解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3x 上，设圆心为 S（a，3a） ，则圆 S 的方程为： 222 ()(3)2(1)xayaa 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当 MPN取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 22 2(1)(3) ,aa解得 a=1 或 a=7。 即对应的切点分别为 (1,0)( 7,
15、0)PP 和，而过点 M，N，p的圆的半径大于过点 M， N，P 的圆的半径，所以MPNMP N，故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐标 为 1。 三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分）分） 13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 （）因骰子出现的点数最大为 6，而 45 6 42 , 6 52 ，因此，当5n时，n 次出现 的点数之和大于2n已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为 0。所以最多只能连 过 4 关。 .5 分 （）设事件 n A为“第 n 关过关失败” ，则对立事件 n A为“第
16、n 关过关成功” 。 第 n 关游戏中，基本事件总数为6n个。 第 1 关：事件 1 A所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两种情况） ， 过此关的概率为： 11 22 ()1()1 63 P AP A 。 第 2 关：事件 2 A所含基本事件数为方程xya当 a 分别取 2，3，4 时的正整数解组数之 和。即有 111 123 1236CCC （个） 。 过此关的概率为： 22 2 65 ()1()1 66 P AP A 。 10 分 第 3 关：事件 3 A所含基本事件为方程xyza当 a 分别取 3，4，5，6，7，8 时的正整 数解组数之和。即有 222222 23456
17、7 1 36 10 152156CCCCCC （个） 。 过此关的概率为： 33 3 5620 ()1()1 627 P AP A 。 .15 分 故连过前三关的概率为： 123 2520100 ()()() 3627243 P AP AP A。 20 分 （说明：第 2，3 关的基本事件数也可以列举出来） 14、 解：（） 直线 AB、 AC、 BC 的方程依次为 44 (1),(1),0 33 yxyxy 。 点(, )Pxy 到 AB、AC、BC 的距离依次为 123 11 |434|,|434|,| 55 dxydxydy。依设， 2222 123, |16(34) | 25d ddx
18、yy得，即 222222 16(34)250,16(34)250xyyxyy或，化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S： 222 22320171280xyyyy 2 与双曲线T:8x 5 分 （）由前知，点 P 的轨迹包含两部分 圆 S： 22 22320xyy 与双曲线 T： 2 171280yy 2 8x 因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上， 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。 ABC的内心 D 也是适合题设条件的点， 由 123 ddd， 解得 1 (0, ) 2 D， 且知它在圆 S 上。 直线 L
19、经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为 1 2 ykx （i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 1 2 y 平行于 x 轴，表明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。10 分 （ii）当0k 时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只 能有两种情况： 情况 1： 直线 L经过点 B或点 C， 此时 L的斜率 1 2 k ， 直线L的方程为(21)xy 。 代入方程得(34)0yy，解得 5 4 ( , ) 3 3 E 5 4
20、 或F(-, ) 3 3 。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交 点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 1 2 k 时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 15 分 情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即 1 2 k ） ，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 22 8171280 1 2 xyy ykx 有且只有一组实数 解，消去 y 并化简得 22 25 (8 17)50 4 kxkx 该方程有唯一实数解的充要条件是 2 8 170k 或 22 25 ( 5 )4(8 17)0 4 kk 解
21、方程得 2 34 17 k ，解方程得 2 2 k 。 综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 12 342 0, 2172 。 20 分 15、解： （）设 22 121122 ,4410, 4410,xxxtxxtx 则 22 12121212 1 4()4 ()20,2()0 2 xxt xxx xt xx 则 211212 21 21 2222 2121 () ()2222 ()( ) 11(1)(1) xxt xxx xxtxt f xf x xxxx 又 1212121221 1 ()22()20()( )0 2 t xxx xt xxx xf xf x 故( )f x在区
22、间, 上是增函数。 .5 分 1 , 4 t 2222 () ()22 ( )max( )min( )( )( ) 1 t g tf xf xff 22 22 2 2 5 1 81(25)2 25 1625 16 tt tt t t 10 分 （）证： 2 2 2 8216 (3)24cos coscoscos (tan) 16 169cos 9 cos i iii i i i u uuu gu u u 22 2 16 2416 6 (1,2,3) 169cos169cos ii i uu 333 22 111 111 (169cos)(16 3 9 3 9)sin) (tan)16 616 6 ii iii i uu gu 15 分 333 22 111 sin1,(0,),1,2,33sin(sin)1 2 iiii iii uuiuu 且，而均值不等式 与柯西不等式中，等号不能同时成立， 123 111113 (759)6 (tan)(tan)(tan)3416 6gugugu 20 分
