1、2 0 1 6 年第1 1 期 2 1 2 016 年全国高中数学联合竞赛 中图分类号：c 4 2 4 7 9文献标识码：A文章编号：1 0 0 5 6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 1 1 0 0 2 1 0 7 第一试 一、填空题( 每小题8 分，共“分) 1 设实数a 满足a 3 定义数列 C t 。 ： 口l = 2 ， B 。- - O 。n _ 1 + I 等 ( 昆= 2 ，3 ) ， B n + l l ( 舻，3 ，) ， 其中，F x l 表示不小于实数戈的最小整数证 明：对n = 3 ，4 ，P 一1 ，均有儿I ( p a 。一l + 1 ) 参考答案 第一试 一
2、山口( _ 学，一半) 由o 5 7 c 时，任意一个开区间( a ， a + 1 ) 均包含八戈) 的一个完整周期此时， 八戈) Ia 1 ，满足条件并以g 为公比的 等比数列 口。，a ：，a ，a 。 的个数，即为满足不 等式n 3 z 1 0 0 的正整数z 的个数，即 等】 由于5 3 1 0 0 ，故仅需考虑 g ：2 , 3 ，i 3 ，4 ，孚 的情形，相应的等比数列的个数之和为 【警】+ 【等】+ 【等 + 【罟 + 【等 = 1 2 + 3 + 3 + 1 + 1 = 2 0 当n 0 ) ，点 Q ( - a ，0 ) ( a 0 ) ，并设C 。、C 2 的圆心分别为
3、0 1 ( 戈1 ，Y 1 ) 、0 ，( 戈，) 万方数据 2 0 1 6 年第1 1 期 设Z P o ：戈= m y 一口( m 0 ) ，将其与抛物线 C 的方程联立，消去戈得 Y 2 2 p ，缈+ 2 p a = O 因为P Q 与抛物线C 切于点P ，所以，方 程的判别式为 石- ：4 p 2 m 2 4 2 , n ：0jm ：丝 P 进而，点P ( x P ，Y P ) = ( 口，A p a ) 故IP Ql = 1 + m 2ly J D 一0 图5 以面= 、压而面 由IP QI = 2 j 4 a 2 + 2 p o = 4 注意到，O P 与圆C 。、C ：切于点P
4、 故D P 上0 10 2 设圆C 。、C ：与戈轴分别切于点M 、，如 ， j 厂 、 ，l 、 ：I 彤 l t 、 MQo 户 _ 图5 则0 0 l 、0 0 2 分别为么P O M 、P O N 的 平分线故0 。0 0 ：= 9 0 。 由射影定理知 Y l Y 2 = 0 l M 0 2 N = 0 l P 0 2 P = D P 2 = z 2 尸+ y ；= 口2 + 2 p o 结合式有 Y l Y 2 = 口2 + 2 p o = 4 3 口2 由0 。、P 、0 ：三点共线得 Y 1 一, 2 p 口一0 1 P0 l MYYlY e 1 - M Y l 1 一 一 1
5、l1 “ v 互p a Y 2 Y e Y 2P 0 20 2 NY 2 嘲+ 儿2 万2 y z 令T = Y ；+ 弘2 ，于是，圆c 。、c ：的面积之 和为兀Z 根据题意，仅需考虑r 取最小值的情形 根据式、知 T = ( ”Y 2 ) 2 2 y l Y 2 = 寺2 l y 2 2 2 y l Y 2 = 忑( 4 3 a 2 ) 2 2 ( 4 3 a 2 ) 4 4 口” 7、7 一【堡二! 堡：2 ( 呈二堡：2 1 一n 2 。 作代换t = 1 一n 2 由4 t = 4 4 a 2 = 2 p a Oj t O j r ：垡土且丛卫：3 + 土+ 4 2+ 4 = 2
6、万+ 4 当且仅弘字时，上式等号魁 腻口= 瓜= 污 结合式得 卫一垡一1 2口厂- 广 ：巫：! 腼踊。 故点F 驯2 ( 志，。 加试 Z、 一口i + lJ ，a 20 1 72 n 1 由已知得对i = 1 ，2 ，20 1 5 ，均有 o i 0 2 i + l 1 1 2+1一口2-4-ai i + 1 0 o i o i + l + 1 一口i + 1 0 若n 20 1 6 一口；o ，贝0P o 以下考虑口：嘶一口o 的情形 由均值不等式得 而志蚤( 旷口 万一p 一 + f 小 一，一o 口 = P 令一 万方数据 中等数学 120 1 6 20 1 6 、 2 志( 蚤旷
7、蚤2t ) ，20 1 6 20 1 6 、1 2 丽f i = 1 。z 一蚤。2 ) = 丽z 白, , d x u n i ( 1 一口z ) 丽12 白0 1 6 【掣】2 = 撕1 而20 1 6 石1 = 百1 j P 和1 当口。= 口：= = a 2 0 1 6 = 虿1 时，上述不等 式等号成立，且有9 a i 1 1 0 ；+ 。( i = 1 ，2 ， 20 1 5 ) ，此时，P = 南 综上，所求最大值为主蒜 二、证法1如图6 ，作么B A C 的平分 线，与B C 交于点P 设AA C X 、AA B Y 的外 接圆分别为厂1 、n 图6 由内角平分线的性质知笨=
8、A 丽B 由条件侍, 面B X = 丽A B 轴。P x B X + B PA BB P 取面2 C Y + C P2 A C2 历队P Yc P jP C P X = B P P Y 则点P 对圆f 、几的幂相等从而，点 P 在圆厂1 、厂2 的根轴上 于是，A Pj - 0 。0 ：这表明，点U 、y 关于 直线A P 对称 因此，A A U V 为等腰三角形 证法2 如图7 ，设A B C 的外心为0 ， 联结0 0 l 、0 0 2 过点0 、0 。、0 ：分别作直线 B C 的垂线，垂足分别为D 、D 。、D ：作D 。K 上 O D 于点K 图7 下面证明：0 0 1 = 0 0
9、2 在R tAO K O I 中， 0 0 l = 0 l K s i n 么0 l O K y 由外心的性质，知0 0 。上A C 又O D 上B C ，故么0 1O K = 么A C B 而D 、D 。分别为B C 、C X 的中点，则 D D 。= C D 。一C D = C X B C = 扣 n鬣DDt 毒0 0 12 五z V l 瓦J t X 丽2 五知 ：墨A B 婚万B X ，一A B 其中，R 为A B C 的外接圆半径 类似地，0 0 ：婚笔 由已知条件得 鬈= 是j 0 0 ，= 0 0 ： 由0 0 1 上A Cj 么A V U = 9 0 0 一么0 0 1 0 2
10、 类似地，么A U V = 9 0 0 一么0 0 2 0 1 又因为0 0 。= 0 0 2 ，所以， 万方数据 2 0 1 6 年第1 1 期 么O O l0 2 = 么0 0 2 0 l j 么A U V = 么A V UjA U = A V 因此，A U V 为等腰三角形 三、以这十个点为顶点、所连线段为边得 到一个十阶简单图G 下面证明：图G 的边数不超过1 5 设图G 的顶点为秽。，影：，影。，共有k 条 边，用d e g ( 秽i ) 表示顶点秽i 的度 若d e g ( 秽i ) 3 对i = 1 ，2 ，1 0 均成立， 则k = d e g ( v i ) 告1 0 x3
11、= 1 5 假设存在顶点移i 满足d e g ( 秽i ) 4 不妨 设d e g ( 秽1 ) = n 4 ，且秽1 与秽2 ，秽3 ，口。+ l 均 相邻于是，移：，移，移。+ 。之间没有边，否则， 就形成三角形从而，秽。，可：，秒川之间恰有 n 条边 对每个，( n + 2 白1 0 ) ，v j 至多与口2 ，移3 ， ，秽川中的一个顶点相邻( 否则，设影i 与、 影，( 2 s 3 ，所以， 3l ( P + 1 ) 因此，3I ( p a 2 + 1 ) ，即n = 3 时结论成立 当3 n p 一1 时，设对k = 3 ，n 一1 ， 均有kI ( 胆 。+ 1 ) ，此时， 厂
12、p 口 一1 p a 一1 + 1 kk 故+ = p 卜+ - 等 ) + ， = P h + 半) + t 2 Io + i 丁_ J ( p a 一2 + 1 ) ( P + k 一1 ) 2 1 j 广一 从而，对3 n p 一1 ，有 p 口。一。+ 1 = 巳_ ； 兰 ( p 口。一：+ 1 ) ：等盟1 等盟2 ( 眠一；+ 1 ) ：昆一乃一 ，一4 一) 7 ：毕生辈生学(胆：+1)12n n 一3 、r 2 7 j 。 上1 一 至翌( 卫! ) C ， 却- t “2 岳赫p + n 又C ：+ 。为整数，故 凡I ( P + n ) ( P + 2 ) ( p a 。一1 + 1 ) 因为n p ( p 为素数) ，所以， ( n ，n + p ) = ( n ，P ) = 1 又p + 2 为大于凡的素数，故( n ，P + 2 ) = 1 ，从而，n 与( p + 凡) ( P + 2 ) 互素 于是，由式知nI ( p a 川+ 1 ) 由数学归纳法知本题得证 ( 丁龙云提供) 万方数据
