1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题专题 0303 一一元元二次方程的解法与应用二次方程的解法与应用 【方法指导】【方法指导】 1. 一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 2.一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法 用配方法解一元二次方程的步骤： 把原方程化为 ax 2+bx+c=0（a0）的形式； 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方
2、程右边； 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解 3. 一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 4. x1，x2是一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的两根时， 1212 , bc xxxx aa 5. 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为 a，十
3、位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量100%如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第一次 增长后为 a（1+x） ；第二次增长后为 a（1+x） 2，即 原数（1+增长百分率）2=后来数 （3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、 梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系， 列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程 （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形， 可运用直角三角形的性
4、质列方程求解 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】一元二次方程的解法一元二次方程的解法 【例 1】 （2019徐州二模）解方程：2x24x60 【变式 1-1】 （2019鼓楼区二模）方程 x（x3）0 的解是（ ） A0 B3 C0，3 D0，3 【变式 1-2】 （2019怀集县一模）关于 x 的一元二次方程（a1）x2+x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为 （ ） A1 B1 C1 或1 D 【变式 1-3】 （2019路北区二模）用配方法解一元二次方程 x2+4x50，此方程可变形为（ ） A （x+2）29 B （x2）29 C （x+2）21 D （x2）21
5、【类型【类型 2 2】 ：】 ：一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式 【例 2】 （2019高邮市二模）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0其中 m、n 是常数 （1）若 mn+3，试判断该一元二次方程根的情况； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组 m、n 的值，并求此时方程的根 【变式 2-1】 （2019洪泽区二模）要关于 x 的一元二次方程 mx2+2x+10 有两个不相等的实数根，那么 m 的 值可以是（ ） A2 B1 C0 D1 【变式 2-2】 （2019常熟市二模）如果方程 x2x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am B
6、m Cm Dm 【变式 2-3】 （2019铜山区二模）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x10 有两个实数根，则 k 的取值 范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 且 k1 Dk2 且 k1 【类型【类型 3 3】 ：】 ：根与系数的关系根与系数的关系 【例 3】 （2019海陵区二模）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+（m2）xm0 （1）求证：不论 m 取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根互为相反数，求 m 的值 【变式 3-1】 （2019宿迁模拟）设 ， 是方程 x2x20190 的两个实数根，则 2+ 的值为 【变式 3-2】 （2019建湖县二模）已知关于 x
7、 方程 x26x+m+40 有两个实数根 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）若 x12x2，求 m 的值 【变式 3-3】 （2019兴化市二模）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+2m0 （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个实数根； （2）若直角ABC 的两直角边 AB、AC 的长是该方程的两个实数根，斜边 BC 的长为 3，求 m 的值 【类型【类型 4 4】 ：一元二次方程的应用】 ：一元二次方程的应用 【例 4】 （2019秦淮区二模）某商店第一个月以每件 100 元的价格购进 200 件衬衫，以每件 150 元的价格售 罄由于市场火爆，该商店第二个月再
8、次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都 有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的 2.5 倍，该批衬衫仍以每件 150 元销售第二个月结束 后，商店对剩余的 50 件衬衫以每件 120 元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利 17500 元设第二批衬衫进价的增长率为 x （1）第二批衬衫进价为 元，购进的数量为 件 （都用含 x 的代数式表示，不需化简） （2）求 x 的值 【变式 4-1】 （2019丹阳市一模）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加据统计， 某小区 2016 年底拥有家庭轿车 640 辆，2018 年底家庭轿车的拥有量达到 1
9、000 辆若该小区 2016 年底 到 2019 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2019 年底家庭轿车将达到多少辆？ 【变式 4-2】 （2019泰州一模）某市特产大闸蟹，2016 年的销售额是 50 亿元，因优质生态，销售额是逐年 增加，2018 年的销售额达 98 亿元，若 2017、2018 年每年销售额增加的百分率都相同 （1）求平均每年销售额增加的百分率； （2）某市这 3 年大闸蟹的总销售额是多少亿元？ 【变式 4-3】 （2019台安县一模）某商店经销甲、乙两种商品现有如下信息： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的零售单价分别为 元和 元
10、 （直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1200 件经调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元， 甲种商品每天可多销售 100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降 m（m 0）元在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的 利润共 1700 元？ 【变式 4-4】 （2019宿迁三模）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 B 出发沿线段 BC、 CD 以 2cm/s 的速度向终点 D 运动；同时，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD、DA 以 1cm/s 的速度向终点
11、 A 运 动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止） （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，APQ 的面积能否等于 22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 （2019南通）用配方法解方程 x2+8x+90，变形后的结果正确的是（ ） A （x+4）29 B （x+4）27 C （x+4）225 D （x+4）27 2 （2019淮安）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1
12、 Dk1 3 （2019泰州）方程 2x2+6x10 的两根为 x1、x2，则 x1+x2等于（ ） A6 B6 C3 D3 4 （2019威海）已知 a，b 是方程 x2+x30 的两个实数根，则 a2b+2019 的值是（ ） A2023 B2021 C2020 D2019 5 （2019宜宾）一元二次方程 x22x+b0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1+x2为（ ） A2 Bb C2 Db 6 （2019盐城）关于 x 的一元二次方程 x2+kx20（k 为实数）根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 7 （2019滨州）用配方法解
13、一元二次方程 x24x+10 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）25 C （x+2）23 D （x2）23 8 （2019金华）用配方法解方程 x26x80 时，配方结果正确的是（ ） A （x3）217 B （x3）214 C （x6）244 D （x3）21 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9若关于 x 的一元二次方程 ax28x+40 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 10 （2019青海） 某种药品原价每盒 60 元， 由于医疗政策改革， 价格经过两次下调后现在售价每盒 48.6 元， 则平均每次下调的百分率为 11 （2019镇江）若关
14、于 x 的方程 x22x+m0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于 12 （2019泰州）若关于 x 的方程 x2+2x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 13 （2019江西）设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 14 （2019南京）已知 2是关于 x 的方程 x24x+m0 的一个根，则 m 15 （2019盐城）设 x1、x2是方程 x23x+20 的两个根，则 x1+x2x1x2 16 （2019连云港）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根，则c 的值等 于 17 （2019泰安）已知关于
15、x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k2+30 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 18 （2019扬州）一元二次方程 x（x2）x2 的根是 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 19 （2019衡阳）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一 个相同的根，求此时 m 的值 20 （2019徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 30cm，宽 20cm在其四角各剪去一个同样的正方形，然后 将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪
16、去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的 侧面积为 200cm2？ 21 （2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形 广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖， 铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 22 （2019广州） 随着粤港澳大湾区建设的加速推进， 广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业， 据统计， 目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座， 计划到 2020 年底， 全省 5G 基站数是目前的 4
17、 倍， 到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座 （1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率 23（2019秦淮区二模） 某商店第一个月以每件 100 元的价格购进 200 件衬衫， 以每件 150 元的价格售罄 由 于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定 的提高，其数量的增长率是进价增长率的 2.5 倍，该批衬衫仍以每件 150 元销售第二个月结束后，商 店对剩余的 50 件衬衫以每件 120 元的价格一次
18、性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利 17500 元设第 二批衬衫进价的增长率为 x （1）第二批衬衫进价为 元，购进的数量为 件 （都用含 x 的代数式表示，不需化简） （2）求 x 的值 24 （2019南昌一模）淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活 动甲网店销售的 A 商品的成本为 30 元/件，网上标价为 80 元/件 （1） “双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售 A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多 少时，才能使 A 商品的售价为 39.2 元/件？ （2） 据媒体爆料， 有一些淘宝商家在 “双十一” 购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动， 存在欺诈行为 “双十一”活动之前，乙网店销售 A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出 1000 件 A 商品在“双十一”购物活动当天，乙网店先将 A 商品的网上标价提高 a%，再推出五折促销 活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的 A 商品数量相比原来一周增加了 2a%， “双十一”活动当天乙网店的利润达到了 3 万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价
