1、16.4.1 常见的二次曲面第四节 二次曲面6.4.2 坐标轴的变换2故球面方程为1.球面球面 ( , , )P x y z( , , ),Qabc R 空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面球面，定点叫做球心球心，定距离叫做半径半径. 特别,当Q在原点时,球面方程为半径为PQR即由于xyzoM0M222() () ()x ay bz cR 2222()()()x ay bz cR 2222Rzyx6.4.1 常见的二次曲面 若球心为 为球面上任意一点3 一般地, 三元二次方程 x2y2z22Ax2By2CzD0的图形就是一个球面. 配方得222222()()()()0.xAyBz CDA
2、BC当 时,表球面. 222()0ABCD222()0ABCD222()0ABCD当 时,表一点. 当 时,没有曲面. 4xyzxyzol设空间中有任意一条曲线 L,过 L 上的一点引一条直线 b，直线 b 沿 L 作平行移动所构成的曲面叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于L 叫做准线准线, b 叫做母线母线.xyzoo2. 柱面柱面5xzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,
3、y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程 一般一般6母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0一般一般73. 设 L 为一条已知平面曲线，B 为 L 所在平面外的一个固定点，过点 B 引直线 b 与 L 相交， 直线 b 绕点 B 沿 L 移动所构成的曲面叫做锥面锥面，点 b 称作顶点顶点，动直线叫做锥面的母线母线，L叫做准线准线.xyz右图为顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. )(2222yxa
4、z8例如例如 :4. 以一已知平面曲线 l 绕平面上一定直线旋转所成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴轴 ，曲线 l的每一位置叫做这张旋转曲面的一条母线一条母线.9建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:给定 yoz 面上曲线 C: 0),(zyf曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴10曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴.11曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)
5、.x S12思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf13例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), , 0 (zyM14xy例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解:绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为
6、z151 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo5. 16zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax171222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z186.
7、 单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 19虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0207. 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面图形图形21xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面8. zqypx22222 22用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （马鞍面）（马鞍面）9. 双曲抛物面双曲抛物面
