1、 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理 3.3.向量的数量积是否为向量的数量积是否为0 0，是判断相应的两条线段，是判断相应的两条线段( (或直线或直线) )是否垂是否垂 直的重要方法之一直的重要方法之一. . 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量, ,那么对于这一那么对于这一 平面内任一向量平面内任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1、2 2，使，使 a a 2 21 1 e e、e e a =1 1 + +2 2e e1 1e e2 2 若若 不共线不共线, ,我们就把我们就把 叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内
2、所 有向量的有向量的一个基底一个基底. . 2 21 1 e ee e ，e e1 1、e e2 2 2. 2. 若 若A A、B B、C C三点共线三点共线 且且+ +=1=1 = += +OA AOB BOC C 二、正交分解二、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作 正交分解正交分解. . 如下图，重力如下图，重力G G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. . 正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形. . O F F1 1 F F2 2 G
3、G 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们 研究问题带来方便研究问题带来方便. . 重力重力G G可以分解为这可以分解为这 样两个分力：平行于斜面样两个分力：平行于斜面 使木块沿斜面下滑的力使木块沿斜面下滑的力F F1 1 和垂直于斜面的压力和垂直于斜面的压力F F2 2. . a a Ox x y y 根据平面向量基本定理可知，有且根据平面向量基本定理可知，有且 只有一对实数只有一对实数x x、y y，使得，使得 三、平面向量的坐标表示三、平面向量的坐标表示 我们知道，在平面直角坐标系中我们知道，在平面直角坐标系中, ,每一个
4、点都可以用一对有序每一个点都可以用一对有序 实数实数( (即它的坐标即它的坐标) )表示表示. . 那么，如何表示直角坐标平面内的一个那么，如何表示直角坐标平面内的一个 向量呢向量呢( (如右图如右图)?)? x x、y y叫做叫做 分别在分别在x x轴、轴、y y轴上的坐标轴上的坐标. . a a 1 01 00 10 10 00 0 相等相等 y)y)(x,(x,a a A A x x y y 如右图，以如右图，以O为起点作为起点作 ，则点，则点A A的位的位 置由向量置由向量 唯一确定唯一确定. .此时，终点的坐标就是向量此时，终点的坐标就是向量 的坐标的坐标, ,这就建立了向量坐标和点
5、坐标间的联系这就建立了向量坐标和点坐标间的联系. . a aA A O a a (x,y)(x,y) 有序数对有序数对(x,y)(x,y)叫做叫做 的坐标的坐标, ,记作记作 =(x,y)=(x,y). . a a 此式叫做向量此式叫做向量 的的坐标表示坐标表示. .a a a a =x =x +y +yi ij j i j y y) )( (x x, ,a a Ox x y y i j 设与设与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量分轴方向相同的两个单位向量分 别为别为 、 ，j ji i 相等向量的坐标相等吗？相等向量的坐标相等吗？ _ _) )( (_ _, ,0 0_ _) )、
6、( (_ _, ,j j_ _) )、( (_ _, , i i A A2 2 A A 四、典型例题四、典型例题 解解：由图可知由图可知 2 21 1 A AA AA AA Aa aj j3 3i i2 2 A A1 1 (2,3)(2,3) (-2,3)(-2,3) (-2,-3)(-2,-3) (2,-3)(2,-3) 请同学们研究此例四个向量的坐标与表示该请同学们研究此例四个向量的坐标与表示该 向量的有向线段的起点坐标、终点坐标的关系向量的有向线段的起点坐标、终点坐标的关系. . 一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标 O A(xA(x1 1
7、,y,y1 1) ) B(xB(x2 2,y,y2 2) ) 即即点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则 则 (x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) ) ABAB O a ab b c c d d i j所以所以 a=a= 同理同理 b=b= c=c= d=d= 例例 如如右图右图，分别用基底，分别用基底 表示表示向量向量 ，并求出它们的坐标，并求出它们的坐标. . j j, , d d、c c、b b、a a i i j j3 3 2 2- -i i j j3 3- - 2 2- -i i j j3 3- - 2 2i i 已知
8、已知 =(x=(x1 1,y,y1 1) )， =(x=(x2 2,y,y2 2) )，你能得出，你能得出 、 的坐标吗的坐标吗? ?a ab b b b- -a ab ba a? ) )y y，y，yx x(x(xb ba a即即 2 21 12 21 1 ) )y y- -，y yx x- -( (x xb b- -a a同同理理可可得得 2 21 12 21 1 这样我们就得到平面向量加、减运算的坐标表示：这样我们就得到平面向量加、减运算的坐标表示： 这就是说：这就是说： 两个向量和两个向量和( (差差) )的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和( (差
9、差).). 一、平面向量加、减运算的坐标表示一、平面向量加、减运算的坐标表示 若若 =(2,1),=(2,1), =(-3,4)=(-3,4)，则，则 _ _ _ _ _ _ _. .b b- -a a_ _ _ _ _ _ _b ba a? a ab b (-1,5)(-1,5)(5,-3)(5,-3) ab=(xb=(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2) ) + + ab=(xb=(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2) ) - - ) )j jy y ( (x x) )j jy y ( (x xb ba a 2 22 21 11 1i ii i j j )
10、)y y( (y y ) )x x( (x x 2 21 12 21 1 i i 因为因为 = = ， = =A AB BD DC C 例例 如右图，如右图，已知已知ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C 的坐标分别是的坐标分别是(-2,1)(-2,1)、(-1,3)(-1,3)、(3,4)(3,4)， 求顶点求顶点D D的坐标的坐标. . 二、典型例题二、典型例题 O A A B B C C D D 解法解法1:1: 设顶点设顶点D D的坐标的坐标为的坐标的坐标为(x,y).(x,y). (1,2)(1,2)(3-x,4-y)(3-x,4-y) 又又 = = ，A AB
11、BD DC C所以所以(1,2)=(3-x,4-y) (1,2)=(3-x,4-y) ，解解得得 y y4 42 2 x x- -3 31 1 即即 . 2 2 y y x x 所以顶点所以顶点D D的坐标为的坐标为(2,2)(2,2). . 解法解法2:2: 如右上图，如右上图， D DO D DB BBOBCBO A AB B =(-1,3)+(-1,-2)+(4,1)=(-1,3)+(-1,-2)+(4,1)=(2,2)(2,2) 所以顶点所以顶点D D的坐标为的坐标为(2,2)(2,2). . 你能比较一下两种解法在思想你能比较一下两种解法在思想 方法上的异同点吗方法上的异同点吗? ?
12、你还有解法吗你还有解法吗? ? 三、课堂小结三、课堂小结 1.1.平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示： 3.3.两个向量和两个向量和( (差差) )的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和( (差差).). 2.2.一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标，一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标，即即 点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则 则 (x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) ) ABAB ab=(xb=(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2) ) + + ab=(x
13、b=(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2) ) - - 根据平面向量基本定理可知，有且根据平面向量基本定理可知，有且 只有一对实数只有一对实数x x、y y，使得，使得 设与设与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量分轴方向相同的两个单位向量分 别为别为 、 ，j j x x、y y叫做叫做 在在x x轴、轴、y y轴上的坐标轴上的坐标. . a a 有序数对有序数对(x,y)(x,y)叫做叫做 的坐标的坐标, ,记作记作 =(x,y)=(x,y). .a a 此式叫做向量此式叫做向量 的的坐标表示坐标表示. .a a a a =x =x +y +yi ij j a a Ox x y y i j i i 四、巩固提升四、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第3030页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第3636页页习题习题6.36.3第第2 2、3 3、4 4题题
