1、第三课时第三课时 (正、余弦定理综合应用正、余弦定理综合应用) 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.余弦定理及其推论余弦定理及其推论 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB-2cacosB 2 22 22 2 b b + +c c - -a a c co os sA A = = 2 2b bc c 2 22 22 2 c c + +a a - -b b c co os sB B = = 2 2c ca a 2 22 22 2 a a
2、 + +b b - -c c c co os sC C = = 2 2a ab b 变形变形 余余 弦弦 定定 理理 余余 弦弦 定定 理理 的的 推推 论论 2.2.余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？ 已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角；已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角； 已知三角形的三条边，求三个角已知三角形的三条边，求三个角. . 3.3.正弦定理：正弦定理： 4.4.正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？ a ab bc c = = = s si in nA As
3、si in nB Bs si in nC C 可以解决可以解决已知两角和一边，解三角形已知两角和一边，解三角形问题；问题； 可以解决可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形问题问题. 一、知识回顾一、知识回顾 二、正弦定理的变形二、正弦定理的变形 你能用其他方法证明正弦定理吗？课外完成你能用其他方法证明正弦定理吗？课外完成. . 根据习题第根据习题第1717题可设题可设ABCABC的外接圆的半的外接圆的半 径为径为R,CDR,CD为直径为直径, ,则则B B为直角为直角, ,A=D.A=D.于是于是 sinA=sinD=sinA=sinD=， 2R2R a
4、a 即即2R.2R. sinAsinA a a 同理可得：同理可得：，2R2R sinBsinB b b 2R.2R. sinCsinC c c a ab bc c = = = = 2 2R R s si in nA As si in nB Bs si in nC C 因此，因此， ，其变形如下：，其变形如下： 2 2R Rs si in nC C2 2R Rs si in nB B，c c2 2R Rs si in nA A，b ba a . . 2 2R R c c s si in nC C, , 2 2R R b b s si in nB B, , 2 2R R a a s si in
5、nA A ； s si in nC C s si in nB B c c b b , , s si in nC C s si in nA A c c a a , , s si in nB B s si in nA A b b a a abc=sinAsinBsinCabc=sinAsinBsinC 三、三角形的面积公式三、三角形的面积公式 三角形的面积公式有很多个三角形的面积公式有很多个, ,我们最熟悉的是：三角形我们最熟悉的是：三角形 的面积的面积= =底高底高2. 2. 现在我们再来探究一个三角形面积公现在我们再来探究一个三角形面积公 式式, ,请看习题第请看习题第1010题：你能用三角形
6、的边和角的正弦表示三题：你能用三角形的边和角的正弦表示三 角形的面积吗？角形的面积吗？ 如右图，在如右图，在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C的对边分别的对边分别 为为a a、b b、c.c. B B C CA A a a c c b b 作作CDCDABAB，垂足为，垂足为D. D. D D S S ABCABC= = 在直角在直角CDBCDB中，中，BD=BD= asinC.asinC. 于是于是 BDBDACAC 2 2 1 1 a ab bs si in nC C 2 2 1 1 同理可得：同理可得：，b bc cs si in nA A 2 2 1 1 S S ABCAB
7、C= = .c ca as si in nB B 2 2 1 1 S S ABCABC= = 这样，我们就得到三角形的另一个面积公式：这样，我们就得到三角形的另一个面积公式： A AB BC C 1 11 11 1 S S= =a ab bs si in nC C = =b bc cs si in nA A = =c ca as si in nB B 2 22 22 2 解：解：由正弦定理，得由正弦定理，得sinC=sinC= 四、典型例题四、典型例题 例例1 1 在在ABCABC中，已知中，已知b= b= ，c=2c=2，B=30B=30 ，解这个三角形解这个三角形. .2 2 b b c
8、cs si in nB B 2 2 2sin302sin30 2 2 2 2 s si in nB B b bs si in nA A s si in n3 30 0 s si in n1 10 05 52 2 2 2 1 1 4 4 2 26 6 2 2 3 3 + +1 1 因为因为cbcb，B=30B=30 ， 所以所以3030 c180c180 于是，于是，C=45C=45 或或C=135C=135 当当C=45C=45 时，时，A=A= 105105 . . 此时此时 为什么角为什么角C C有两个值？有两个值？ a=a= s si in nB B b bs si in nA A s
9、si in n3 30 0 s si in n1 15 52 2 2 2 1 1 4 4 2 2- -6 6 2 2 3 3 - -1 1 当当C=135C=135 时，时，A=A= 1515 . .此时此时 a=a= 四、典型例题四、典型例题 你还有其它方法求你还有其它方法求a a吗？吗？ 方法一：方法一：在求出角在求出角A A之后可以用余弦定理求之后可以用余弦定理求a.a. 方法二：方法二：在求角在求角A A之前可以直接用余弦定理求之前可以直接用余弦定理求a.a. 由由b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB-2cacosB得得 2 2a ac co os s3 30 02
10、 2a a2 2) )2 2( ( 2 22 22 2 化简得化简得 0 02 2a a3 32 2a a 2 2 解得解得a= a= 或或a= a= 3 3 + +1 13 3 - -1 1 由三角形的性质可知，在区间由三角形的性质可知，在区间(0,)(0,)内，余弦函数单调递减内，余弦函数单调递减, , 所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间(0, )(0, )内单内单 调递增，在区间调递增，在区间(0, )(0, )内单调递减，所以利用正弦定理求角，可内单调递减，所以利用正弦定理求角，可 能有两解能有两解. . 2 2 2 2 解：解
11、：(1)(1)由已知及正弦定理，得由已知及正弦定理，得 (2)(2)ab=6ab=6 四、典型例题四、典型例题 例例2 2 在在ABCABC中，中，2cosC(acosB+bcosA)=c.2cosC(acosB+bcosA)=c. (1) (1)求角求角C C； (2) (2)若若c= c= 中，中，ABCABC的面积为的面积为 ，求，求ABCABC的周长的周长. . 2 2 3 33 3 7 7 因此因此C=60C=60 . . 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC 所以所以2cosCsin(A+B)=sinC
12、2cosCsin(A+B)=sinC，即即2cosCsinC=sinC2cosCsinC=sinC， 2 2 1 1 于是于是cosC= cosC= ， 由由C=60C=60 和和 得得 2 2 3 33 3 a ab bs si in nC C 2 2 1 1 由余弦定理由余弦定理c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC得得 a a2 2+b+b2 2-2-26cos606cos60 =7=7 即即a a2 2+b+b2 2=13.=13. 所以所以(a+b)(a+b)2 2=25=25， 即即a+b=5.a+b=5. 5 5+ +7 7所以所以ABCABC的
13、周长为的周长为 . . 五、课堂小结五、课堂小结 1.1.正弦定理的变形：正弦定理的变形： 2.2.三角形的面积公式：三角形的面积公式： a ab bc c = = = = 2 2R R s si in nA As si in nB Bs si in nC C ，其变形如下：，其变形如下： 2 2R Rs si in nC C2 2R Rs si in nB B，c c2 2R Rs si in nA A，b ba a . . 2 2R R c c s si in nC C, , 2 2R R b b s si in nB B, , 2 2R R a a s si in nA A ； s si
14、 in nC C s si in nB B c c b b , , s si in nC C s si in nA A c c a a , , s si in nB B s si in nA A b b a a abc=sinAsinBsinCabc=sinAsinBsinC A AB BC C 1 11 11 1 S S= =a ab bs si in nC C = =b bc cs si in nA A = =c ca as si in nB B 2 22 22 2 3.3.已知三角形的两边及一边的对角，求第三边已知三角形的两边及一边的对角，求第三边. . 方法一：方法一：用正弦定理先求另一边所对角，再求第三边；用正弦定理先求另一边所对角，再求第三边； 方法二：方法二：直接用余弦定理求第三边直接用余弦定理求第三边. . 课堂练习课堂练习: : 第第4848页练习第页练习第2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第5252页页习题习题6.46.4第第1212、1616、2222题题 六、巩固提升六、巩固提升
