1、 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 1 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 22 二次函数与相似结合及存在型问题 【方法指导】【方法指导】 1.三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的 公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的 方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 2.函数中因
2、动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为 特殊三角形；根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论； 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边 的大小； 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利 用相似来列方程求解. 【题型剖析】【题型剖析】 【例 1】如图，以D为顶点的抛物线 2 yxbxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达 式为3yx （1）求抛物线的表达式； （2）在直线BC上有一
3、点P，使POPA的值最小，求点P的坐标； （3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的 坐标；若不存在，请说明理由 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 2 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yaxbxc经过( 1,0)A ，(4,0)B，(0,4)C三点 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）将（1）中的抛物线向下平移 15 4 个单位长度，再向左平移(0)h h 个单位长度，得到新抛物线若新 抛物线的顶点D在ABC内，求h的取值范围； （3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合） ，过点P作x轴的垂
4、线交（1）中的抛物线于点Q， 当PQC与ABC相似时，求PQC的面积 【例 2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 2 yaxbxc的图象经过点( 2,0)A ，(0, 6)C， 其对称轴为直线2x （1）求该二次函数的解析式； （2）若直线 1 3 yxm 将AOC的面积分成相等的两部分，求m的值； （3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线2x 上位于x轴下方的动点，点E是第四象 限内该二次函数图象上的动点， 且位于直线2x 右侧 若以点E为直角顶点的BED与AOC相似， 求点E 的坐标 【变式训练】如图，抛物线 2 1 2 yxbxc与直线 1 3 2 yx分别相
5、交于A，B两点，且此抛物线与x轴的 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 3 一个交点为C，连接AC，BC已知(0,3)A，( 3,0)C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使 得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在， 请说明理由 【例 3】已知抛物线 2 3yaxbx与x轴分别交于( 3,0)A ，(1,0)B两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （
6、2）点F是线段AD上一个动点 如图 1，设 AF k AD ，当k为何值时， 1 2 CFAD？ 如图 2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说 明理由 【变式训练】如图，在直角坐标系中，直线 1 3 2 yx 与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x 的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC （1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式； 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 4 （2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外） ，使以点
7、Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 3 3 4 yx 的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛 物线 2 yxbxc经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DCx轴于点C，交直 线AB于点E （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D，使得BDE和ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3） 如图 2，F是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D重合） ， 点G是线段AB上的动点 连接DF，FG， 当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐
8、标 【变式训练】如图，抛物线 2 yaxbxc与x轴交于点( 1,0)A ，点(3,0)B，与y轴交于点C，且过点 (2, 3)D点P、Q是抛物线 2 yaxbxc上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值 （3）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 5 【达标检测】【达标检测】 1如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3）三点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC 面积为 3，求
9、点 P 的坐标； （3）如图 2，D 为抛物线的顶点，在线段 AD 上是否存在点 M，使得以 M，A，O 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B 两点，且与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的对称轴是直 线 x1 （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线 yx1 交于 A、E 两点，P 点在 x 轴上且位于点 B 的左侧，若以 P、B、C 为顶点 的三角形与ABE 相似，求点 P 的坐标； （3）F 是直线 BC 上一动点，M 为抛物线上一动点，若MBF 为等腰直角三角形，请直接写
10、出点 M 的 坐标 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 6 3如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的函数解析式 （2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，若四边形 AODE 是平行四边形，求点 D 的坐标 （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足是 M，是否存在点 p，使得以 P、M、 A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 4如图 1，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴相交于点 C，连接 BC，点 P
11、 为抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l，交直线 BC 于点 G，交 x 轴于点 E （1）求抛物线的解析式； 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 7 （2）当 P 位于 y 轴右边的抛物线上运动时，过点 C 作 CF直线 l，F 为垂足，当点 P 运动到何处时， 以 P，C，F 为顶点的三角形与OBC 相似？并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，当点 P 在位于直线 BC 上方的抛物线上运动时，连接 PC，PB，PBC 的面积 S 能否取得 最大值？若能，请求出最大面积 S，并求出此时点 P 的坐标；若不能，请说明理由 5如图，已知 A（2，0） ，B（4，0）
12、，抛物线 yax2+bx1 过 A、B 两点，并与过 A 点的直线 yx 1 交于点 C （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若 不存在，请说明理由； （3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N问：是否存在这样的点 N， 使以点 M、N、C 为顶点的三角形与AOC 相似，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 6如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的解析式；
13、（2）将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180，得到BAD 求点 D 的坐标； 判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点 P，使BMP 与BAD 相似？若存在，请求出所有满足条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 8 7如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx5 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 D 的坐标； （3）如图 2，CEx
14、 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平 行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求 点 H 的坐标及最大面积； （4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使 四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标 8抛物线 yax2+bx+c 过 A（2，3） ，B（4，3） ，C（6，5）三点 （1）求抛物线的表达式； （2）如图，抛物线上一点 D 在线段 AC 的上方，DEAB 交 AC 于点 E，若满足，求点
15、 D 的 坐标； （3）如图，F 为抛物线顶点，过 A 作直线 lAB，若点 P 在直线 l 上运动，点 Q 在 x 轴上运动，是否 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 9 存在这样的点 P、Q，使得以 B、P、Q 为顶点的三角形与ABF 相似，若存在，求 P、Q 的坐标，并求 此时BPQ 的面积；若不存在，请说明理由 9如图，已知抛物线 yx2+bx与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（3， 0） （1）求 b 的值及点 B 的坐标； （2）试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）一动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度向点 B
16、运动，同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个 单位的速度向点 C 运动（当点 P 运动到点 B 时，点 Q 随之停止运动） ，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值 时PBQ 与ABC 相似？ 10如图，已知抛物线 yax2+bx（a0）过点 A（，3）和点 B（3，0） 过点 A 作直线 ACx 轴， 交 y 轴于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的 三角形与AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 Q，使得 SAOCSAOQ？若存在，求出点 Q 的坐标；若
17、不存在，请说明理 由 原创精品资源163文库独家享有版权，侵权必究！ 10 11如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx1 与抛物线 yx2+bx+c 交于 A、B 两点，其中 A（m，0） 、 B（4，n） ，该抛物线与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于另一点 D （1）求 m、n 的值及该抛物线的解析式； （2）如图 2，若点 P 为线段 AD 上的一动点（不与 A、D 重合） ，分别以 AP、DP 为斜边，在直线 AD 的 同侧作等腰直角APM 和等腰直角DPN，连接 MN，试确定MPN 面积最大时 P 点的坐标； （3）如图 3，连接 BD、CD，在线段 CD 上是否存在点 Q，使得以 A、D、Q 为顶点的三角形与ABD 相似，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 12如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0） A（8，4） ，与 x 轴交于另一点 B，且对称轴是直线 x3 （1）求该二次函数的解析式； （2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA 于 N，当ANM 面积最大时，求 M 的坐标； （3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点 的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标
