1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学理科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟，考试结束，务必将试 卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在 答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在
2、答题卡各题目指定区域内相应的位置，不 能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V= 1 3 Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 如果事件 A，B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P（AB）=P（A） P （B） 。 第 I 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要
3、求的。 1 若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则 z 为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：i iii i i z53 5 )1114(722 5 )2)(711( 2 711 .答案选 A。 另解：设),(Rbabiaz，则iiabbaibia711)2(2)2)( 根据复数相等可知72 ,112abba，解得5, 3ba，于是iz53。 2 已知全集=0,1,2,3,4，集合 A=1,2,3,，B=2,4 ，则（CuA）B 为 A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D 0,2,3,4 解析：4 , 2 , 0)(,4 ,
4、 0BACAC UU 。答案选 C。 3 设 a0 a1 ，则“函数 f(x)= ax在 R 上是减函数 ” ，是“函数 g(x)=(2-a) 3 x在 R 上是增函 数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析：p： “函数 f(x)= ax在 R 上是减函数 ”等价于10 a；q： “函数 g(x)=(2-a) 3 x在 R 上是增函 数”等价于02a，即, 20 a且 a1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件. 答案选 A。 （4）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，960， 分组后
5、在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间1,450的 人做问卷 A，编号落入区间451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B 的 人数为 （A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15 解析：采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人，将整体分成 32 组，每组 30 人，即30l，第 k 组的号码为930) 1(k，令750930) 1(451 k，而zk，解得2516 k，则满足 2516 k的整数 k 有 10 个，故答案应选 C。 解析：作出可行域，直线03 yx，将直线平移至点)0 , 2(处有最大值， 点)3
6、 , 2 1 (处有最小值，即6 2 3 z.答案应选 A。 （6）执行下面的程序图，如果输入 a=4，那么输出的 n 的值为 （A）2（B）3（C）4（D）5 解析：312, 140, 0 0 qpn； 716, 541, 1 1 qpn； 15114,2145, 2 2 qpn，qpn , 3。 答案应选 B。 (7)若 4 2 ， 3 7 sin2 = 8 ，则 sin= （A） 3 5 （B） 4 5 （C） 7 4 （D） 3 4 22yx 14 yx 42 yx O 解析：由 4 2 ，可得, 2 2 ， 8 1 2sin12cos 2 ， 4 3 2 2cos1 sin ，答案应
7、选 D。 另解：由 4 2 ，及 3 7 sin2 = 8 可得 4 3 4 7 16 7769 16 7616 8 73 12sin1cossin ， 而当 4 2 ，时cossin，结合选项即可得 4 7 cos, 4 3 sin.答案应选 D。 （8）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x） ，当-3x-1 时，f（x）=-（x+2）2，当-1x 3 时，f（x）=x。则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）= （A）335（B）338（C）1678（D）2012 解析：2)2(, 1) 1 (, 0)0(, 1) 1(, 0)2(, 1)3(ffffff，而函
8、数的周期为 6， 3383335)2() 1 ()210101(335)2012()2() 1 (fffff. 答案应选 B (9)函数的图像大致为 解析：函数 xx x xf 22 6cos )(，)( 22 6cos )(xf x xf xx 为奇函数， 当0x，且0x时)(xf；当0x，且0x时)(xf； 当x， xx 22，0)(xf；当x， xx 22，0)(xf. 答案应选 D。 （10）已知椭圆 C：的离心率为，双曲线 x -y 1 的渐近线与椭圆有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 c 的方程为 解 析 ： 双 曲 线x -y 1 的 渐 近 线 方
9、程 为xy， 代 入可 得 164, 2 22 22 2 xS ba ba x，则)(4 2222 baba，又由 2 3 e可得ba2，则 24 5bb ， 于是20, 5 22 ab。椭圆方程为1 520 22 yx ，答案应选 D。 （11）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 （A）232 (B)252 (C)472 (D)484 解析：472885607216 6 141516 4 1 12 2 4 3 4 3 16 CCCC,答案应选 C。 另解：4721226
10、4220 2 1112 412 6 101112 3 2 12 1 4 3 4 3 12 0 4 CCCCC. (12)设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个 不同的公共点 A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a0, y1+y20 解析:令bxax x 2 1 ，则)0(1 23 xbxax，设 23 )(bxaxxF，bxaxxF23)( 2 令023)( 2 bxaxxF，则 a b x 3 2 ，要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公 共点只需1) 3 2 () 3 2 () 3
11、 2 ( 23 a b b a b a a b F，整理得 23 274ab ，于是可取3, 2ba来研 究，当3, 2ba时，132 23 xx，解得 2 1 , 1 21 xx，此时2, 1 21 yy，此时 0, 0 2121 yyxx；当3, 2ba时，132 23 xx，解得 2 1 , 1 21 xx，此时 2, 1 21 yy，此时0, 0 2121 yyxx.答案应选 B。 另解：令)()(xgxf可得bax x 2 1 。 设baxy x y , 1 2 不妨设 21 xx ，结合图形可知， 当0a时如右图，此时 21 xx ， 即0 21 xx，此时0 21 xx， 1 1
12、2 2 11 y xx y，即0 21 yy；同理可由图形经过 推理可得当0a时0, 0 2121 yyxx.答案应选 B。 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （13）若不等式的解集为，则实数 k=_。 解析：由可得242kx，即62 kx，而31 x，所以2k. 另解：由题意可知3, 1xx是24 kx的两根，则 243 24 k k ，解得2k. （14）如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为_。 解析： 6 1 11 2 1 1 3 1 11 D
13、EDFEDFD VV. （15）设 a0.若曲线与直线 xa，y=0 所围成封闭图 形的面积为 a，则 a=_。 解析：aaxdxxS a a 2 3 0 2 3 0 3 2 3 2 ，解得 4 9 a. （16）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1） ，此时圆上一点 P 的 位置在 （0,0） ， 圆在 x 轴上沿正向滚动。 当圆滚动到圆心位于 （2,1） 时，的坐标为_。 解析：根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转 )0( a baxy )0( a baxy y y x x 21 xx 21 xx 了2 1 2 弧度，此时点P的坐标为 )2c
14、os1 , 2sin2( , 2cos1) 2 2sin(1 , 2sin2) 2 2cos(2 OP y x P P . 另解 1：根据题意可知滚动制圆心为（ 2,1）时的圆的参数方程为 sin1 cos2 y x ，且 2 2 3 , 2 PCD， 则 点P的 坐 标 为 2cos1)2 2 3 sin(1 2sin2)2 2 3 cos(2 y x ， 即 )2c o s1 , 2s i n2(OP. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 （17） （本小题满分 12 分） 已知向量 m=（sinx，1），函数 f（x）=mn 的最大值为 6. （）求 A； （）将函数 y=f
15、（x）的图象像左平移 12 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍， 纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象。求 g（x）在上的值域。 解析： （） 6 2sin2cos 2 2sin 2 3 2cos 2 sincos3)( xAx A xAx A xxAnmxf， 则6A; （）函数 y=f（x）的图象像左平移 12 个单位得到函数 6 ) 12 (2sin6 xy的图象， 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数) 3 4sin(6)( xxg. 当 24 5 , 0 x时， 1 , 2 1 ) 3 4sin(, 6 7 , 3 3 4
16、xx，6 , 3)(xg. 故函数 g（x）在上的值域为6 , 3. 另解：由) 3 4sin(6)( xxg可得) 3 4cos(24)( xxg，令0)( x g， 则)( 23 4Zkkx ，而 24 5 , 0 x，则 24 x， C D 于是3 6 7 sin6) 24 5 (, 6 2 sin6) 24 (, 33 3 sin6)0( ggg， 故6)(3xg，即函数 g（x）在上的值域为6 , 3. （18） （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面 ABCD，AE BD，CB=CD=CF。 （）求证：BD平面
17、 AED； （）求二面角 F-BD-C 的余弦值。 解析： （）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=60，CB=CD, 由余弦定理可知 20222 3)180cos(2CDDABCBCDCBCDBD, 即ADCDBD33,在ABD中，DAB=60，ADBD3，则ABD为直角三角形， 且DBAD 。又 AEBD，AD平面 AED，AE平面 AED，且AAEAD，故 BD平面 AED； （）由（）可知CBAC ，设1CB，则3 BDCA,建立如图所示的空间直角坐标系， )0 , 2 1 , 2 3 (),0 , 1 , 0(),01, 0(DBF，向量) 1 , 0 , 0(n为平面BDC
18、的一个法向量. 设向量),(zyxm 为平面BDF的法向量，则 0 0 FBm BDm ,即 0 0 2 3 2 3 zy yx ， 取1y，则1, 3zx，则) 1 , 1 , 3(m为平面BDF的一个法向量. 5 5 5 1 ,cos nm nm nm，而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角，则 二面角 F-BD-C 的余弦值为 5 5 。 z x y （19） （本小题满分 12 分） 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中 得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得 2 分，没有命中 得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立。假设
19、该射手完成以上三次射击。 （）求该射手恰好命中一次得的概率； （）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX 解析： （） 36 7 3 2 3 1 4 1 ) 3 1 ( 4 3 1 2 2 CP； （）5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0X 9 1 3 2 3 1 4 1 )2(, 12 1 ) 3 1 ( 4 3 ) 1(. 36 1 ) 3 1 ( 4 1 )0( 1 2 22 CXPXPXP, 3 1 ) 3 2 ( 4 3 )5(, 9 1 ) 3 2 ( 4 1 )4(, 3 1 3 2 3 1 4 3 )3( 221 2 XPXPCXP X 0 1 2 3 4 5 P
20、 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 EX=0 36 1 +1 12 1 +2 9 1 +3 3 1 +4 9 1 +5 3 1 = 12 5 3 12 41 . （20） （本小题满分 12 分）在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73. （）求数列an的通项公式； （）对任意 mN，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为 bm，求数列bm的前 m 项和 Sm。 解析： （）由 a3+a4+a5=84，a5=73 可得,28,843 44 aa而 a9=73，则9,455 49 daad， 127283 41 daa，于是899) 1(1nnan，即
21、89 nan. （）对任意 mN， mm n 2 9899，则89989 2 mm n， 即 9 8 9 9 8 9 121 mm n，而*Nn，由题意可知 112 99 mm m b， 于是)999(999 1101231 21 mm mm bbbS 8 9 80 19 80 19109 8 19 80 99 91 91 91 99 121212 2 12mmmmmmmm ， 即 8 9 80 19 12mm m S . （21） （本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点，M 是抛物线 C 上位于第一象限 内的任意一点，过 M，F，
22、O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 3 4 。 （）求抛物线 C 的方程； （）是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存 在，说明理由； （）若点 M 的横坐标为2，直线 l：y=kx+ 1 4 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与圆 Q 有两 个不同的交点 D，E，求当 1 2 k2 时，的最小值。 解析： （）F 抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点 F) 2 , 0( p ，设 M)0)( 2 ,( 0 2 0 0 x p x x，),(baQ，由题 意可知 4 p b ，则点 Q 到抛物线 C
23、 的准线的距离为p ppp b 4 3 242 3 4 ，解得1p，于是 抛物线 C 的方程为yx2 2 . （）假设存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M， 而) 2 ,(),0 , 0(), 2 1 , 0( 2 0 0 x xMOF，) 4 1 ,(aQ，QFOQMQ， 16 1 ) 4 1 2 ()( 22 2 02 0 a x ax， 0 3 0 8 3 8 x x a， 由yx2 2 可得xy ， 0 3 0 2 0 0 8 3 8 24 1 x x x xk ，则 2 0 2 0 4 0 2 1 4 1 8 3 8 1 xxx， 即02 2 0 4 0 xx，解得
24、1 0 x，点 M 的坐标为) 2 1 , 1 (. （）若点 M 的横坐标为2，则点 M) 1 ,2(，) 4 1 , 8 2 (Q。 由 4 1 2 2 kxy yx 可得0 2 1 2 2 kxx，设),(),( 2211 yxByxA， 4)(1 ( 21 2 21 2 2 xxxxkAB)24)(1 ( 22 kk 圆 32 3 16 1 64 2 ) 2 1 () 8 2 ( : 22 yxQ， 22 18 2 1 8 2 k k k k D )1 (8 23 )1 (3232 3 4 2 2 2 2 2 k k k k DE ， 于是 )1 (8 23 )24)(1 ( 2 2
25、22 22 k k kkDEAB ，令5 , 4 5 1 2 tk 4 1 8 1 24 8 12 )24( )1 (8 23 )24)(1 ( 2 2 2 22 22 t tt t t tt k k kkDEAB， 设 4 1 8 1 24)( 2 t tttg， 2 8 1 28)( t ttg， 当5 , 4 5 t时，0 8 1 28)( 2 t ttg， 即当 2 1 , 4 5 kt时 10 1 4 4 1 4 5 8 1 4 5 2 16 25 4)( min tg. 故当 2 1 k时， 10 1 4)( min 22 DEAB. 22(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x
26、) = x e kx ln （k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数） ，曲线 y= f(x)在点（1，f(1)） 处的切线与 x 轴平行。 （）求 k 的值； （）求 f(x)的单调区间； （）设 g(x)=(x2+x) ( )fx,其中( )fx为 f(x)的导函数，证明：对任意 x0， 2 1)( exg。 解析：由 f(x) = x e kx ln 可得)(xf x e xk x ln 1 ，而0) 1 ( f ，即0 1 e k ，解得1k； （）)(xf x e x x ln1 1 ，令0)( x f可得1x， 当10 x时，0ln1 1 )(x x xf；当1x时，0ln1 1 )(x x xf。 于是)(xf在区间) 1 , 0(内为增函数；在), 1 ( 内为减函数。 简证（） xx e xxxx e x x xxxg ln)(1 ln1 1 )()( 22 2 ， 当1x时， 0, 0, 0ln, 01 22 x exxxx， 2 10)( exg. 当10 x时，要证 2 22 2 1 ln)(1 ln1 1 )()( e e xxxx e x x xxxg xx 。 只需证 222 1()ln(1) x xxxxee，然后构造函数即可证明。
