1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标 1 卷） 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设，则 （ ） A B C D 1. 答案：C 解答： 1 2 1 i zii i ，1z ，选 C
2、. 2已知集合，则（ ） A B C D 2. 答案：B 解答： |2Ax x 或 1x ，则 | 12 R C Axx . 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该 地区农村的经济收入变化情况， 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例， 得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（ ） A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 3. 答案：A 解答：假设建设前收入为a，则
3、建设后收入为2a，所以种植收入在新农村建设 前为60%a，新农村建设后为37% 2a；其他收入在新农村建设前为4% a，新 1 i 2i 1 i z | z 0 1 2 1 2 2 20Ax xxA R 12xx 12xx |1|2x xx x|1|2x xx x 农村建设后为5% 2a，养殖收入在新农村建设前为30% a，新农村建设后为 30% 2a 故不正确的是 A. 4记为等差数列 的前项和.若，则（ ） A B C D 4. 答案：B 解答： 111111 3 24 3 3(3)249967320 22 adadadadadad 6 203dd ， 51 424 ( 3)10aad .
4、 5 设函数 .若为奇函数， 则曲线 在点处的切 线方程为 A B C D 5. 答案：D 解答： ( )f x为奇函数， ()( )fxf x ， 即1a ， 3 ( )f xxx， ( 0 ) 1f ， 切线方程为： yx ，选 D. 6在中， 为边上的中线，为的中点，则（ ） A B C D 6. 答案：A 解答： 11 131 () 22 244 EBABAEABADABABACABAC. 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应 点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到 的路径中，最短路径的长度为（ ） A B C3 D
5、2 7. 答案：B 解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为 ,M N连线 的距离，所以 22 422 5MN ，所以选 B. n S n an 324 3SSS 1 2a 5 a 12101012 32 ( )(1)f xxaxax( )f x( )yf x(0,0) 2yx yx 2yx yx ABCADBCEAD EB 31 44 ABAC 13 44 ABAC 31 44 ABAC 13 44 ABAC M ANBMN 17252 8设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为的直线与 C 交于 M，N 两点， 则=（ ） A5 B6 C7 D8
6、8. 答案：D 解答：由题意知直线MN的方程为 2 (2) 3 yx，设 1122 ( , ), ( ,)M x yN x y，与抛物线 方程联立有 2 2 (2) 3 4 yx yx ，可得 1 1 1 2 x y 或 2 2 4 4 x y ， (0,2),(3,4)FMFN，0 32 48FM FN . 9已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的 取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 9. 答案：C 解答： ( )( )g xf xxa 存在2个零点，即 ( )yf x 与y xa 有两个交点， )(xf 的图象如下： 要使得y xa 与 )(xf
7、有两个交点，则有1a 即1a，选 C. 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC的三边所围成的 区域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自 ，的概率分别记为 p1，p2，p3，则（ ） Ap1=p2 Bp1=p3 Cp2=p3 Dp1=p2+p3 10. 答案：A 解答：取2ABAC,则2 2BC ， 2 3 FM FN e0 ( ) ln0 x x f x xx ， ， ( )( )g xf xxa ABC 区域的面积为 1 1 2 22 2 S ，区域的面积为
8、2 3 1 ( 2)22 2 S， 区域的面积为 2 23 12SS，故 12 pp. 11已知双曲线 C：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条 渐近线的交点分别为 M、N.若为直角三角形，则|MN|=（ ） A B3 C D4 11. 答案：B 解答：渐近线方程为： 2 2 0 3 x y，即 3 3 yx ，OMN为直角三角形，假 设 2 ONM ，如图，3 NM k，直线MN方程为3(2)yx.联立 3 3 3(2) yx yx 33 ( ,) 22 N，即3ON ， 3 MON ，3MN ， 故选 B. 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面
9、所成的角都相等，则 截此正方体所 得截面面积的最大值为（ ） A B C D 12. 答案：A 解答： 由于截面与每条棱所成的角都相等， 所以平面中存在平面与平面 11 ABD平 行（如图） ，而在与平面 11 ABD平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构 成的截面EFGHMN，而平面EFGHMN的面积 12233 3 6 22224 S . 2 2 1 3 x y OMN 3 2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若，满足约束条件，则的最大值为_ 13.答案：6 解答： 画出可行域如图所示，可知目标函数
10、过点(2,0)时取得最大值， max 3 22 06z . 14记为数列的前项和.若，则_ 14.答案：63 解答：依题意， 11 21, 21, nn nn Sa Sa 作差得 1 2 nn aa ，所以 n a为公比为2的等比数 列，又因为 111 21aSa，所以 1 1a ，所以 1 2n n a ，所以 6 6 1 (12 ) 63 12 S . 15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法 共有_种 （用数字填写答案） xy 220 10 0 xy xy y 32zxy n S n an21 nn Sa 6 S 15.答案：16 解
11、答：恰有1位女生，有 12 24 12C C 种； 恰有2位女生，有 21 24 4C C 种，不同的选法共有12 4 16 种. 16已知函数，则的最小值是_ 16.答案： 3 3 2 解答： ( )2sinsin2f xxx ， ( )f x最小正周期为 2T， 2 ( )2(coscos2 )2(2coscos1)fxxxxx，令 ( )0fx ，即 2 2coscos10xx ， 1 cos 2 x 或cos1x. 当 1 cos 2 ，为函数的极小值点，即 3 x 或 5 3 x, 当cos 1,x x 53 ()3 32 f . 3 ()3 32 f ，(0)(2 )0ff， (
12、)0f ( )f x最小值为 3 3 2 . 三、 解答题：共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17 （12 分）在平面四边形中，. （1）求； （2）若，求. 17.答案： （1） 23 5 ； （2）5. 解答： 2sinsin2f xxx f x ABCD90ADC45A2AB 5BD cos ADB 2 2DC BC （1）在ABD中，由正弦定理得： 52 sin45sinADB , 2 sin 5 ADB, 90ADB, 2 23 cos
13、1 sin 5 ADBADB. （2） 2 ADBBDC ,coscos()sin 2 BDCADBADB ， coscos()sin 2 BDCADBADB , 222 cos 2 DCBDBC BDC BD DC , 2 2825 52 5 2 2 BC .5BC . 18 （12 分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕 把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18.答案： （1）略； （2） 3 4 . 解答： （1） ,E F分别为,AD BC的中点，则 / /EFAB，EF BF， 又PFBF，EFPFF，BF 平面PEF，
14、BE 平面ABFD，平面PEF 平面ABFD. （2）PFBF，/ /BFED，PFED， 又PFPD，EDDPD，PF 平面PED，PFPE， 设4AB ，则4EF ，2PF ，2 3PE ， 过P作PHEF交EF于H点， 由平面PEF 平面ABFD， PH 平面ABFD，连结DH， 则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角， 由PE PFEF PH， 2 3 2 3 4 PH ， 而4PD ， 3 sin 4 PH PDH PD ， DP与平面ABFD所成角的正弦值 3 4 . 19 （12 分） 设椭圆的右焦点为， 过的直线 与交于两点， 点 ABCD,E F,AD BCDF DFCC
15、PPFBF PEF ABFD DPABFD 2 2 :1 2 x CyFFlC,A BM 的坐标为. （1）当 与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 19.答案： （1） 2 (2) 2 yx ； （2）略. 解答：（1） 如图所示， 将1x 代入椭圆方程得 2 1 1 2 y， 得 2 2 y ， 2 ( 1 ,) 2 A， 2 2 AM k ，直线AM的方程为： 2 (2) 2 yx . （2）证明：当l斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当l斜率存在时，设 其方程为 (1)yk x ， 1122 ( ,), (,)A x yB x y，联立椭圆方程有 2 2 (1)
16、 , 1 2 yk x x y 即 2222 (21)4220kxk xk， 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 22 21 k x x k ， 121212 1212 (23()4 22(2)(2) AMBM yykx xxx kk xxxx 22 22 12 4412 (4) 2121 0 (2)(2) kk k kk xx ， AMBM kk ，OMAOMB. 20 （12 分） 某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200 件， 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再 根据检验结果决定是否
17、对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不 合格品的概率为,求的最大值点 （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件 不合格品支付 25 元的赔偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为， 求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？ (2,0) lxAM OOMAOMB ) 10( pp )(pf)(p
18、f 0 p 0 pp X EX 20. 答案：略 解答： （1）由题可知 2218 20 ( )(1)f pC pp（01p）. 218217217 2020 ( )2 (1)18(1)( 1)2(1) (1 10 )f pCppppC ppp 当 1 (0,) 10 p时，( )0fp，即( )f p在 1 (0,) 10 上递增；当 1 (,1) 10 p时， ( )0fp ，即 ( )f p 在 1 (,1) 10 上递减. ( )f p 在点 1 10 p 处取得最大值，即 0 1 10 p . （2） （i）设余下产品中不合格品数量为Y，则40 25XY，由题可知 1 (180,)
19、10 YB， 1 18018 10 EYnp. (4025 )40254025 18490EXEYEY （元）. （ii） 由 （i） 可知一箱产品若全部检验只需花费400元， 若余下的不检验则要490 元，所以应该对余下的产品作检验. 21 （12 分）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明： 21.答案： （1）见解析； （2）见解析. 解答： （1） 1 ( )lnf xxax x ， 2 2 1 ( ) xax fx x ，当22a 时， 0， ( )0fx ，此时 ( )f x在(0,)上为单调递增. 0 ，即2a或2a，此时方程 2 10xax 两根为 22
20、12 44 , 22 aaaa xx ，当2a时，此时两根均为负， ( )fx 在 (0,)上单调递减.当 2a时，此时在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递 减.综上可得，时，在上单调递减；时，在 ，上单调递减，在 上单调递增. （2）由（1）可得，两根得，令 ， .，要证 1 ( )lnf xxax x ( )f x ( )f x 12 ,x x 12 12 2 f xf x a xx 0 ( )f x 2 4 (0,) 2 aa ( )f x 22 44 (,) 22 aaaa ( )f x 2 4 (,) 2 aa 2a ( )f x(0,) 2a ( )f x 2 4 (0,) 2
21、 aa 2 4 (,) 2 aa ( )f x 22 44 (,) 22 aaaa 2 10xax 12 ,x x2a 1212 ,1xxa x x 12 0xx 1 2 1 x x 121122 12 11 ()()ln(ln)f xf xxaxxax xx 2112 2()(lnln)xxaxx 1212 1212 ( )()lnln 2 f xf xxx a xxxx 成立， 即要证成立， ， 即要证() 令， 可得在上为增函数， ， 成立，即成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程
22、（10 分） 在直角坐标系中， 曲线的方程为.以坐标原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的直角坐标方程； （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程. 22.答案： （1） 22 (1)4xy； （2） 4 2 3 yx 解答： （1）由 2 2 cos3 0 可得： 22 230xyx ，化为 22 (1)4xy. （2） 1 C与 2 C有且仅有三个公共点， 说明直线2(0)ykxk与圆 2 C相切， 圆 2 C 圆心为( 1,0) ，半径为2，则 2 2 2 1 k k ，解得 4 3 k ，故 1 C的方程为 4 2 3 yx . 23选修 45：不等
23、式选讲（10 分） 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若时不等式成立，求的取值范围. 23.答案： （1） 1 | 2 x x ； （2）(0,2. 解答： （1）当1a 时， 21 ( ) |1|1|211 21 x f xxxxx x ， ( )1f x 的解集为 1 | 2 x x . （2）当0a时， ( ) |1| 1f xx ，当 (0,1)x 时， ( )f xx 不成立. 12 12 ()() 2 f xf x a xx 12 12 lnln 1 xx xx 1 12 2 2 12 ln 0(1) x xx x x xx 22 2 12 1 2ln 0 xx x xx
24、 22 2 1 2ln0xx x 2 1x 1 ( )2ln(1)g xxx x x ( )g x(1,)( )(1)0g xg 12 12 lnln 1 xx xx 12 12 ()() 2 f xf x a xx xOy 1 C| |2yk xx 2 C 2 2 cos30 2 C 1 C 2 C 1 C ( ) |1|1|f xxax 1a ( )1f x (0,1)x( )f xxa 当0a时， (0,1)x ， ( )1 (1)(1)f xxaxaxx ，不符合题意. 当01a时， (0,1)x ， ( )1 (1)(1)f xxaxaxx 成立. 当1a 时， 1 (1) ,1 (
25、 ) 1 (1)2, axx a f x a xx a ，(1 ) 121a ，即2a. 综上所述，a的取值范围为(0,2. 参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14. 15.16 16. 17.（12 分） 解： （1）在中，由正弦定理得. 由题设知，所以. 由题设知，所以. （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 63 3 3 2 ABD sinsin BDAB AADB 52 sin45sinADB 2 sin 5 ADB 90ADB 223 cos1 255 ADB 2 cossin 5
26、 BDCADB BCD 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 2582 5 2 2 5 25 所以. 18.（12 分） 解： （1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF. 又平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD. （2）作 PHEF，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，的方向为 y 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系 Hxyz. 由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=.又 PF=1，EF=2，故 PEPF. 可得. 则为平面 ABFD 的法向量. 设 DP 与平面 ABFD 所成角为，
27、则. 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为. 19.（12 分） 解： （1）由已知得，l 的方程为 x=1. 由已知可得，点 A 的坐标为或. 所以 AM 的方程为或. （2）当 l 与 x 轴重合时，. 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以. 当l与x轴不重合也不垂直时， 设l的方程为， 则，直线 MA，MB 的斜率之和为. 由得 . 将代入得 . 5BC BF HF|BF 3 33 , 22 PHEH 3333 (0,0,0), (0,0,),( 1,0),(1,), 2222 HPDDP 3 (0,0,) 2 HP 3 3 4 sin| 4|3 HP
28、DP HPDP 3 4 (1,0)F 2 (1,) 2 2 (1,) 2 2 2 2 yx 2 2 2 yx 0OMAOMB OMAOMB (1)(0)yk xk 1221 ( ,), (,)AyxyxB 12 2,2xx 2 12 1 22 MAMB xx yy kk 1122 ,ykkxykxk 1212 12 ( 23 ()4 2)(2) MAMB x xxxkk xx k kk (1)yk x 2 2 1 2 x y 2222 (21)4220kxk xk 所以，. 则. 从而，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以. 综上，. 20.（12 分） 解： （1）20 件产品中恰有 2 件不
29、合格品的概率为.因此 . 令， 得.当时，； 当时，. 所以的最大值点为. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知， ，即. 所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 21.（12 分） 解:（1）的定义域为，. （i） 若， 则， 当且仅当，时， 所以在 单调递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，.所以在 单调递减，在单调递 增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则 .由于 ， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单
30、调递减，又，从 而当时，. 2 1 2 21 2 2 2 422 , 2121 xxx kk k x k 3 1 3 1 3 22 2 441284 23 ()40 21 kkkkk kkk k x xxx 0 MAMB kkOMAOMB OMAOMB 2218 20 ( )C(1)f ppp 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp ( )0fp0.1p (0,0.1)p( )0fp(0.1,1)p( )0fp ( )f p 0 0.1p 0.1p Y(180,0.1)YB: 20 225XY 4025XY (4025 )40
31、25490EXEYEY 400EX ( )f x(0,) 2 22 11 ( )1 axax fx xxx 2a( )0fx 2a1x ( )0fx ( )f x(0,) 2a( )0fx 2 4 2 aa x 2 4 2 aa x 22 44 (0,)(,) 22 aaaa x U( )0fx 22 44 (,) 22 aaaa x ( )0fx ( )f x 22 44 (0,),(,) 22 aaaa 22 44 (,) 22 aaaa ( )f x2a ( )f x 12 ,x x 2 10xax 12 1x x 12 xx 2 1x 1212122 12121212 2 2 ()()
32、lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 12 12 ()() 2 f xf x a xx 22 2 1 2ln0xx x 1 ( )2lng xxx x ( )g x(0,)(1)0g (1,)x( )0g x 所以，即. 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 解:（1）由，得的直角坐标方程为 （2）由（1）知是圆心为，半径为的圆由题设知，是过点且 关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为由于在 圆的外面， 故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与 有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点 当与只有一
33、个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故 或 经检验，当时， 与没有公共点；当时， 与只有一个公共点， 与有两个公共点 当与只有一个公共点时， 到所在直线的距离为， 所以， 故 或 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点 综上，所求的方程为 23选修 45：不等式选讲（10 分） 解： （1）当时，即 故不等式的解集为 （2）当时成立等价于当时成立 若，则当时； 若，的解集为，所以，故 综上，的取值范围为. 22 2 1 2ln0xx x 12 12 ()() 2 f xf x a xx cosxsiny 2 C 22 (1)4xy 2 C( 1,0)A 2 1 C(0,2)B yy
34、1 l y 2 l B 2 C 1 C 2 C 1 l 2 C 2 l 2 C 2 l 2 C 1 l 2 C 1 l 2 C A 1 l 2 2 |2| 2 1 k k 4 3 k 0k 0k 1 l 2 C 4 3 k 1 l 2 C 2 l 2 C 2 l 2 C A 2 l 2 2 |2| 2 1 k k 0k 4 3 k 0k 1 l 2 C 4 3 k 2 l 2 C 1 C 4 | 2 3 yx 1a ( ) |1|1|f xxx 2,1, ( )2 , 11, 2,1. x f xxx x ( )1f x 1 | 2 x x (0,1)x|1|1|xaxx(0,1)x|1| 1ax 0a (0,1)x|1| 1ax 0a |1| 1ax 2 0x a 2 1 a 02a a (0,2
