1、 和平区 20192020 学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学试卷 温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分. 考试时间 120 分钟.祝同学们考试顺利！ 第卷 选择题（共 45 分） 注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号.答在试卷上的无效. 3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 如果事件A，B互斥，那么 P ABP AP B 如果事件A，B相互独立，那么 P ABP A P B 锥
2、体的体积公式 1 3 VSh. 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 球体 3 4 3 VR 其中R为球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设复数2zai aR的共轭复数为z，且2zz，则复数 z zai 在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设xR，则“ 3 1x ”是“ 11 22 x”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知： 11 ln 4 a ， 1 1 3 e b ， 1 1 log 3 e c ，则a，
3、b，c的大小关系为（ ） A. cab B. cba C. bac D. abc 4. 已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为 1、2、3 元）.甲、乙租车费用为 1 元的概率分别是 0.5、0.2，甲、乙租车费用为 2 元的概率分别是 0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同 的概率为（ ） A. 0. 18 B. 0.3 C. 0.24 D. 0.36 5. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a ，2 3c ，sinsin 3 bAaB ， 则sinC （ ） A. 3 7 B. 21 7 C. 21 12 D. 57 19 6. 已知双曲线C：
4、 22 2 1(0) 3 xy a a 的右焦点为F，圆 222 xyc（c为双曲线的半焦距）与双曲线C 的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的方程是（ ） A. 22 1 43 xy B. 22 1 33 xy C. 22 1 23 xy D. 2 2 1 3 y x 7. 把函数( )sin 2(0) 6 f xAxA 的图象向右平移 4 个单位长度，得到函数 g x的图象，若函数 0g xmm是偶函数，则实数m的最小值是（ ） A. 6 B. 5 6 C. 5 12 D. 12 8. 已知,0a b ， 2 1b a ba ，则当 1 a b 取最
5、小值时， 2 2 1 a b 的值为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数 2 1 ,0 ( )1 21,0 x x f xx xxx ，函数 1 1 2 g xfxkxk恰有三个不同的零点，则k的取 值范围是（ ） A. 9 22,0 2 B. 9 22,0 2 C. 1 22,0 2 D. 1 22,0 2 第卷 非选择题（共 105 分） 注意事项： 1. 用黑色水笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2. 本卷共 11 小题，共 105 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上. 10. 已知全集为R，集合1
6、,0,1,5M ， 2 |20Nx xx，则 R MC N _. 11. 6 2 1 2 x x 的展开式中， 2 1 x 项的系数为_. 12. 已知 f x是定义在R上的偶函数， 且在区间,0上单调递增， 若实数a满足 3 log 2(2) a ff， 则a的取值范围是_. 13. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，古称“角黍” ，是端午节 大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的 纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则 该六面体的体积为_；
7、若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_. 14. 设抛物线 2 20ypx p的焦点为1,0F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别 过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若4AFBF，则p _； CDF S _. 15. 已知平行四边形ABCD的面积为9 3， 2 3 BAD ，E为线段BC的中点.则AD DC_； 若F为线段DE上的一点，且 5 6 AFADAB，则AF的最小值为_. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所 示： 组
8、别 性别 数学 英语 男 5 1 女 3 3 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取 3 名同学进行测试. （）求从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率； （）记为抽取的 3 名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图， 四边形ABCD为平行四边形，90ABD，EB 平面ABCD，/EFAB，2AB ，3EB ， 1EF ，13BC ，且M是BD的中点. （）求证：/EM平面ADF； （）求二面角DAFB的大小； （）线段EB上是否存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30？若存在，求出BP的长；若不 存在，请说明理由. 18. 已知椭圆
9、 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且过点 3 1, 2 .F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上 关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点. （）求椭圆的标准方程； （）若AFFC，求 BF FD 的值； （）设直线AB，CD的斜率分别为 1 k， 2 k，是否存在实数m，使得 21 kmk，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由. 19. 已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列，1 3 2 a ， 数列 n b是等比数列， 且 11 ba，2 3 ba ，3 4 ba， 数列 n b的前n项和为 n S. （）求数列 n b的通项公式； （）设 *
10、 ,5 8,6 n n n b n cnN a n ，求 n c的前n项和 n T； （）若 1 n n ASB S 对 * nN恒成立，求BA的最小值. 20. 已知函数( )sin xx f xeex，0, 2 x （e为自然对数的底数）. （）求函数 f x的值域； （）若不等式( )(1)(1 sin )f xk xx对任意0, 2 x 恒成立，求实数k的取值范围； （）证明： 2 1 13 1 22 x ex . 和平区 20192020 学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学学科参考答案 一、选择题： （45 分） 1-5：ABABB 6-9：DCCD 二、填空题： （30 分
11、） 10. 0,1 11. 240 12. 0, 3 13. 2 6 ； 8 6 729 14. 2；5 15. -9；5 三、解答题： 16. 解： （）两小组的总人数之比为8:42:1，共抽取 3 人， 所以数学组抽取 2 人，英语组抽取 1 人. . 从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有：1 名男同学、1 名女同学；2 名女同学. 所以所求概率 112 353 2 8 9 14 C CC P C . （）由题意可知，的所有可能取值为 0，1，2，3， 21 33 21 84 9 (0) 112 CC P CC ， 11121 35331 2121 8484 483 (1) 1
12、127 C CCCC P CCCC ， 11211 35531 2121 8484 45 (2) 112 C CCCC P CCCC ， 21 51 21 84 105 (3) 11256 CC P CC . 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 9 112 3 7 45 112 5 56 934553 ( )0123 1127112562 E . 17. 解： （）证明：因为EB 平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.由已知可得各点坐标为： 0,0,0B，0,2,0A，3,0,0D，3, 2,0C，0,0, 3E，0,1, 3F， 3 ,0,0 2 M
13、， 3 ,0,3 2 EM ，3, 2,0AD ， 0, 1, 3AF ， 设平面ADF的一个法向量是, ,nx y z， 由 0 0 n AD n AF ，得 320 30 xy yz ， 令3y ，则 2,3, 3n ， 又因为 3 ,0,3(2,3, 3)3030 2 EM n ， 所以EMn，又EM 平面ADF， 所以/EM平面ADF. （）由（）可知平面ADF的一个法向量是 2,3, 3n . 因为EB 平面ABD，所以EBBD， 又因为ABBD，所以BD 平面EBAF. 故3,0,0BD 是平面EBAF的一个法向量. 所以 1 cos, 2 BD n BD n BD n ，又二面角
14、DAFB为锐角， 故二面角DAFB的大小为60. （）假设线段EB上存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30， 不妨设 0,0,03Ptt ，则3, 2,PCt， 0, 1, 3AF ， 所以 2 23 cos, 213 tPC AF PC AF PCAFt ， 由题意得 2 23 3 2 213 t t ， 化简得4 335t， 解得 35 0 4 3 t ， 因为03t ，所以无解. 即在线段EB上不存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30. 18. 解： （）设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ，由题意知： 22 1 2 19 1 4ab c a ， 解之得：
15、2 3 a b ，所以椭圆方程为： 22 1 43 xy . （）若AFFC，由椭圆对称性，知 3 1, 2 A ，所以 3 1, 2 B ， 此时直线BF方程为3430xy， 由 22 1 4 4 3 330 xy xy ，得 2 76130xx，解得 13 7 x （1x舍去） ， 故 1 ( 1)7 13 3 1 7 BF FD . （）若直线AF的斜率不存在.则直线AF的方程为：1x ， 此时： 3 1, 2 A ， 3 1, 2 B ， 3 1, 2 C ， 13 9 , 7 14 D . 1 33 322 1 ( 1)2 k ， 2 93 5142 13 2 1 7 k . 21
16、5 3 kk，即存在 5 3 m 满足题意. 若直线AF的斜率存在.设 00 ,A x y，则 00 ,Bxy， 直线AF的方程为 0 0 (1) 1 y yx x ，代入椭圆方程 22 1 43 xy 得： 222 0000 15 6815240xxy xxx， 因为 0 xx是该方程的一个解，所以C点的横坐标 0 0 85 52 C x x x ， 又, CC C xy在直线 0 0 (1) 1 y yx x 上，所以 00 00 3 1 152 CC yy yx xx ， 同理，D点坐标为 00 00 853 , 5252 xy xx ， 所以 00 000 21 00 0 00 33
17、525255 8585 33 5252 yy xxy kk xx x xx ， 即存在 5 3 m ，使得 21 5 3 kk. 综合知存在 5 3 m 满足题意. 19. 解： （）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 则由题意可得 2 33 2 22 33 3 22 dq dq ，解得 1 2 3 8 q d 或 1 0 q d ， 数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2 q ， 数列 n b的通项公式 1 3 2 n n b ； （）由（）知 33153 (1) 288 n n an ， 当5n时， 12 31 1 22 1 1 12 1 2 n n nn
18、 Tbbb ， 当6n时， 567567 8 nnn TTcccTaaa 5 6 5 315 3 (5) (5)1 88 818 222 n n n naa T 2 327927 2232 nn . 2 1 1,5 2 327927 ,6 2232 n n n T nnn . （）由（）可知 31 1 22 1 1 12 1 2 n n n S ， 令 1 n n tS S ，0 n S ，t随着 n S的增大而增大， 当n为奇数时， 1 1 2 n n S 在奇数集上单调递减， 3 1, 2 n S ， 5 0, 6 t ， 当n为偶数时， 1 1 2 n n S 在偶数集上单调递增， 3
19、,1 4 n S ， 7 ,0 12 t ， min 7 12 t ， max 5 6 t， 1 n n ASB S 对 * nN恒成立， 75 , , 12 6 A B ， BA的最小值为 5717 61212 . 20. 解： （）( )(sincos )(1 sincos ) xxx fxeexxexx12sin 4 x xe 2 2sin 42 x ex . 0, 2 x ， 3 , 444 x ， 2 sin 42 x ， 所以 0fx ，故函数 f x在0, 2 上单调递减， 故 00 max ( )(0)sin01f xfee； 22 min ( )sin0 22 f xfee
20、， 所以函数 f x的值域为0,1. （）原不等式可化为(1 sin )(1)(1 sin ) x exk xx * 因为1 sin0x恒成立，故 *式可化为1 x ek x. 令 x g xekxk，则 x gxek， 当0k 时， 0 x gxek，所以函数 g x在0, 2 上单调递增， 故 010g xgk ，所以10k ； 当0k 时，令 0 x gxek，得lnxk， 当0,lnxk时， 0 x gxek；当ln ,xk时， 0 x gxek. i）当ln 2 k ，即 2 0ke 时， 函数 min ( )(ln )2ln(2ln )0g xgkkkkkk， ii）当ln 2 k
21、 ，即 2 ke 时，函数 g x在0, 2 上单调递减， 2 min ( )0 22 g xgekk ，解得 2 2 1 2 e ek ， 综上， 2 1 1 2 e k . （）令 2 1 13 ( )1 22 x h xex ，则 1 3 ( ) 2 x h xex . 由 1 2 1 10 2 he ， 1 4 33 0 44 he ， 故存在 0 1 3 , 2 4 x ，使得 0 0h x即 0 1 0 3 2 x ex . 且当 0 ,xx 时， 0h x ；当 0, xx时， 0h x . 故当 0 xx时，函数 h x有极小值，且是唯一的极小值， 故函数 0 2 1 min00 13 ( )1 22 x h xh xex 2 2 000 313133 11 222222 xxx 2 0 153 222 x ， 因为 0 1 3 , 2 4 x ，所以 22 0 1531 3531 0 2222 42232 x ， 故 2 1 13 ( )10 22 x h xex ， 所以 2 1 13 1 22 x ex .
