1、揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.答案第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（A） （B）
2、 （C） （D）2.复数的实部与虚部的和为（A） （B） （C） （D）3.在等差数列中，已知，则此数列的公差为（A） （B） （C） （D）4.如果双曲线经过点，且它的一条渐近线方程为，那么该双曲线的方程式（A） （B） （C） （D）5.利用计算机在区间（0,1）上产生随机数a,则不等式成立的概率是（A） （B） （C） （D）6.设是两个非零向量，则“”是 “”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件7.已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（A）3 （B）0 （C）-3 （D）8.函数的最大值和最小正周期分别为（A） （B） （C）
3、（D）9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4时，最后输出的S的值为（A）9.6 （B）7.68 （C）6.144 （D）4.915210.如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）54 （B）162 （C） （D）11.已知直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且，则实数a的值为（A）或 （B）或 （C）或 （D）或12.若函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（A） （B） （C） （D）第卷本卷包括必答题和选考题两部分，第13题第21题为必答题，每个试
4、题考生都必须作答，第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：（本大概题共4小题，每小题5分,共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上）13已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为 14.在的展开式中，的系数是 15.已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为 16.设是数列的前n项和，且，则数列的通项公式 三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知a,b,c分别是ABC内角A，B，C的对边，且（）求的值（）若，求ABC的面积18. （本小题满分12分）某商场销售某种品牌的空
5、调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。（）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，）的函数解析式；（）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望。19. （本小题满分12分）如图3，在三棱柱中，底面A
6、BC是边长为2的等边三角形，D为AB的中点。（）求证：/平面（）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。20. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于。（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值。21. （本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为（）求a、b的值；（）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分。22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图4，四边形ABCD内接于，
7、过点A作的切线EP交CB的延长线于P，已知。（）若BC是的直径，求的大小；（）若,求证：23. （本题满分10分） 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是（）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求的值。24. （本题满分10分） 选修45：不等式选讲已知函数。（I）解不等式：（II）若，求证：揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解
8、答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：D D A B A C C B C D C D解析：7.由函数的图象关于直线对称得，则.8.，故9.依题意知，设汽车年后的价值为,则，结合程序框图易得当时，10.依题意知该几何体如右图示：故其表面积为.11.圆即，所以，由得,所以圆心C到直线的距离，故或.1
9、2. 函数存在唯一的零点，即方程有唯一的实根直线与函数的图象有唯一的交点，由，可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值，故当时，直线与函数的图象有唯一的交点.或因由得或，若显然存在唯一的零点，若，在和上单调递减，在上单调递增，且故存在唯一的零点，若，要使存在唯一的零点，则有解得，综上得.二、填空题：13. 9；14. 20；15.；16. 解析：15设正方体的棱长为，把半球补成全球，则问题为长、宽、高分别为、的长方体内接于球，解得，所以正方体的体积为16.由，. 三、解答题：17解：（I）、为的内角，由知，结合正弦定理可得：-3分,-4分 .-5分（II）解法1：，由余
10、弦定理得：，-7分整理得： 解得：（其中负值不合舍去）-9分，由得的面积-12分【解法2：由结合正弦定理得：，-6分， , ,-7分=,-9分由正弦定理得：，-10分的面积-12分】18.解：（I）当时，-2分当时，-4分所以-5分（II）由（1）得-6分-7分-9分 的分布列为-12分19.（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点，-2分D为AB的中点，DEBC1，-4分BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-5分BC1平面A1CD. -6分【证法2：取中点，连结和，-1分平行且等于 四边形为平行四边形 -2分平面，平面平面,-3分同理可得平面-4分
11、平面平面又平面BC1平面A1CD. -6分】(II) -7分又 ，又 面-8分法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.-9分则，.-10分平面的一个法向量所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为-12分【法二：取的中点，连结，则-7分面，故,面-9分延长、相交于点，连结，则为直线与平面所成的角. -10分因为为的中点，故，又即直线与平面所成的角的正弦值为.-12分】【法三：取的中点，连结，则-7分面，故,平面-9分取中点M，连结BM，过点M作，则平面，连结BN，,为直线与平面所成的角，-10分,即直线与平面所成的
12、角的正弦值为.-12分】20.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知-2分解得，-4分椭圆C的方程为 -5分（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为，易知F点的坐标为（2，0）. -6分显然直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线l的方程是，-7分将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得-9分 -10分又-12分【证法二：设点A、B、M的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）. -6分-7分将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 -9分同理，由可得-10分05510202=-+yll即 是方程 的两个根，-12分】21解：（I）且直线的斜率为0，又过点，-2分即解得-3分（II）
13、当时，不等式-5分令，-7分令，当即时，在单调递增且，所以当时，在单调递增，即恒成立-9分当即时，在上上单调递减，且，故当时，即所以函数在单调递减，-10分当时，与题设矛盾,综上可得的取值范围为-12分22.解：（I）EP与O相切于点A，-1分又BC是O的直径，-3分四边形ABCD内接一于O，-5分（II）-7分-8分又-10分23.解：（I）直线的普通方程为，-2分曲线C的直角坐标系方程为-4分（II）C的圆心（0，0）到直线的距离-6分 -8分故-10分24.解：（I）由题意，得，因此只须解不等式 -1分当x1时，原不式等价于-2x+32，即；-2分当时，原不式等价于12，即；-3分当x2时，原不式等价于2x-32，即.-4分综上,原不等式的解集为. -5 分（II）由题意得-6分=-8分-9分所以成立-10分
