1、（易错题精选）初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及解析一、选择题1下列方程中，是一元二次方程的为（ ）Ax2+3x=0B2x+y=3CDx（x2+2）=0【答案】A【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【详解】A. 符合一元二次方程定义，正确；B. 含有两个未知数，错误；C. 不是整式方程，错误；D. 未知数的最高次数是3，错误故选:A.【点睛】考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键
2、.2已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）A6或8B10或C10或8D【答案】B【解析】【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.【详解】解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8当8为直角边时，第三边当8为斜边长时，第三边故选B. 考点：解一元二次方程，勾股定理点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意.3将方程的形式，指出分别是（ ）A1和3 B-1和3C1和4D-1和4【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方
3、法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数【详解】移项得x2-2x=3，配方得x2-2x+1=4，即（x-1）2=4，m=1，n=4故选C【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方4对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），下列说法：若b2，则方程ax2+bx+c0一定有两个相等的实数根；若方程ax2+bx+
4、c0有两个不等的实数根，则方程x2bx+ac0也一定有两个不等的实数根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac+b+10成立；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，则b24ac（2ax0+b）2，其中正确的（）A只有B只有CD只有【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了难度较大，用到了求根公式表示【详解】解：若，方程两边平方得b24ac，即b24ac0，所以方程ax2+bx+c0一定有两个相等的实数根；若方程ax2+bx+c0有两个不等的实数根，则b24ac0方程x2bx+ac0中根的判别式也是b24ac0，所以也一定有两个不等的实
5、数根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac2+bc+c0成立，当c0时ac+b+10成立；当c0时ac+b+10不成立；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，可得，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b24ac（2ax0+b）2，综上所述其中正确的故选：B【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用尤其是难度较大，用到了求根公式表示，整体代入求总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根5某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为，那么应满足的方程是（
6、 ）ABCD【答案】C【解析】【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案【详解】解：设平均每次增长的百分数为x，某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，商品现在的价格为：，某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，商品现在的价格为：，整理得：，故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解
7、题的关键6已知一元二次方程（a0，x1x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由x=x1是方程（a0，x1x2）与的一个公共解可得x=x1是方程的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x1=，整理后即可得答案【详解】（a0，x1x2）与有一个公共解x=x1，x=x1是方程的一个解，一元二次方程有两个相等的实数根，x1+x1=，a(x2-x1)=d，故选：B【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2=，x1x2=；熟练掌握韦达定理是解题关
8、键7某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）A100（1+x）2=282B100+100（1+x）+100（1+x）2=282C100（1+2x）282D100+100（1+x）+100（1+2x）=282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程【详解】五月份的产量=100（1+x），六月份的产量=100，根据题意可得：100+100（1+x）+100=282.故选：
9、B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量8关于的方程有实数根，则满足（ ）AB且C且D【答案】A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a5时，根据判别式的意义得到a1且a5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-；当a5时，=（-4）2-4（a-5）（-1）0，解得a1，即a1且a5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a1故选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的
10、判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义9下列方程中，有实数根的是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可【详解】Ax2+22， ，故不正确；Bx-20且2-x0，x=2，故不正确；C，故不正确；Dx+10，-x0，-1x0 ，x+1=x2，x2-x-1=0，=1+4=50，x1=，x2=（舍去），有实数根，符合题意故选D【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键10新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它
11、成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A7B8C9D10【答案】C【解析】试题分析：设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x1）个人贺卡，则共有（x1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x1）x=72，解得：x1=9，x2=8（舍去）故选C11若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）AB且CD且【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0，关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
12、解得：且k2故选D【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键12若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定【答案】A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k0，b0，再判断出=k2-4b0，即可求解.【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，方程有两个不相等的实数根故选：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.13欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使
13、，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（ ）A的长B的长C的长D的长【答案】B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得： AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.14已知关于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列说法正确的是（ ）A方程有两个相等的实数根B方程有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出=4243（5）=760，即可判定方程有两个不相等的实数根故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式1
14、5如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式=b2-4ac0，即可得到关于p的不等式，从而求得p的范围【详解】a=1，b=-1，c=p，=b2-4ac=（-1）2-41p=1-4p0，解得：；故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根16如果关于x的一元二次方程的两个根分别是，那么p，q的值分别是（ ）A3，4B-7，12C7，12D7，-12【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算
15、即可【详解】关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为，3+4=-p，34=q，p=-7，q=12，故选：B【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算17深圳沙井某服装厂2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2019年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为（）A8（1x）5.12B8（1+x）25.12C8（1x）25.12D5.12（1+x）28【答案】C【解析】【分析】一般用降低后的量=降低前的量（1-降低率），降低前的价格设为1，则第一次降价后的价格是（1-x），第二次降价后的价格是（1-x）2，可得
16、出方程【详解】设平均每次降价的百分比为x，则根据题意可得出方程为：8（1x）25.12；故选C【点睛】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b（当增长时中间的“”号选“+”，当降低时中间的“”号选“-”）18若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键19关于x的方程(2-a)x2+5x-3=0有实数解,则整
17、数a的最大值是()A1B2C3D4【答案】D【解析】【分析】由于关于x的方程（2-a）x2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；当2-a0即a2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值【详解】解：关于x的方程(2a)x2+5x3=0有实数根，当2a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；当2a0即a2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，=25+12(2a)0，解之得a，整数a的最大值是4.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.20关于x的方程x2+2kx+k1=0的根的情况描述正确的是（ ）Ak为任何实数，方程都没有实数根Bk为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫Ck为任何实数，方程都有两个相等的实数根D根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】关于x的方程x2+2kx+k1=0中=（2k）24（k1）=4k24k+4=（2k1）2+30k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B
