1、2019 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题一、选择题共共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的）的） 1 （4 分）2019 的倒数是（ ） A2019 B C D2019 2 （4 分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片现在中国 高速铁路营运里程将达到 23000 公里，将 23000 用科学记数法表示应为（ ） A2.3 104 B23 103 C2.3 103 D0.23 105 3 （4 分
2、）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （4 分） 在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中， 甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲的成绩方差是 15， 乙的成绩方差是 3，下列说法正确的是（ ） A甲的成绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人的成绩一样稳定 D无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 5 （4 分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ） A B C D 6 （4 分）已知三角形的两边长分别为 1 和 4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ） A7 B8 C9 D10 7 （4 分）实数 m，n 在数轴上对应点的位置
3、如图所示，则下列判断正确的是（ ） A|m|1 B1m1 Cmn0 Dm+10 8 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 无实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 9 （4 分）一次函数 yax+b 与反比列函数 y的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx+c 的大致图象是 （ ） A B C D 10 （4 分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示， 则该容器是下列四个中的（ ） A B C D 11 （4 分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能
4、 形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆） ，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 （ ） A B C D 12 （4 分）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0） 、 （0，8） ，点 C、F 分别是直线 x5 和 x 轴上 的动点， CF10， 点 D 是线段 CF 的中点， 连接 AD 交 y 轴于点 E， 当 ABE 面积取得最小值时， tanBAD 的值是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，ABCD，1120 ，则2 14
5、 （4 分）在一次有 12 人参加的数学测试中，得 100 分、95 分、90 分、85 分、75 分的人数分别是 1、3、 4、2、2，那么这组数据的众数是 分 15 （4 分）分解因式：2x22y2 16 （4 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的单价比足球的单价多 4 元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组 为 17 （4 分）如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，AB10，BC6，CDAB，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，DE 18（4分） 如图， 在由10个完全相同的正
6、三角形构成的网格图中， 、 如图所示， 则cos （+） 三、解答題（共三、解答題（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算：|3|4sin45 +（3）0 20 （8 分）解方程：1 21 （8 分）如图，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD、BC 求证： （1）； （2）AECE 22 （8 分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛 收集教据：现随机抽取了初一年级 30 名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分） ： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89
7、85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据： 成绩 x（单位：分） 频数（人数） 60x70 1 70x80 80x90 17 90x100 （1）请将图表中空缺的部分补充完整； （2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在 90 分及其以上的同学根据上面统计结果估计该校初一年级 360 人中，约有多少人将获得表彰； （3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章， 她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 23 （10 分）如图，在平面直角坐标
8、系中，一次函数 y1kx+b（k0）的图象与反比例函数 y2（m0） 的图象相交于第一、象限内的 A（3，5） ，B（a，3）两点，与 x 轴交于点 C （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 y 轴上找一点 P 使 PBPC 最大，求 PBPC 的最大值及点 P 的坐标； （3）直接写出当 y1y2时，x 的取值范围 24 （10 分）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S1+2+22+22017+22018 则 2S2+22+22018+22019 得 2SSS220191 S1+2+22+22017+22018220191
9、 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+29 ； （2）3+32+310 ； （3）求 1+a+a2+an的和（a0，n 是正整数，请写出计算过程） 25 （12 分） （1）如图 1，E 是正方形 ABCD 边 AB 上的一点，连接 BD、DE，将BDE 绕点 D 逆时针旋 转 90 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G 线段 DB 和 DG 的数量关系是 ； 写出线段 BE，BF 和 DB 之间的数量关系 （2）当四边形 ABCD 为菱形，ADC60 ，点 E 是菱形 ABCD 边 AB 所在直线上的一点，连接 BD、 DE，将BDE 绕点 D 逆时针旋转
10、120 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G 如图 2，点 E 在线段 AB 上时，请探究线段 BE、BF 和 BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图 3，点 E 在线段 AB 的延长线上时，DE 交射线 BC 于点 M，若 BE1，AB2，直接写出线段 GM 的长度 26 （14 分）如图，已知直线 AB 与抛物线 C：yax2+2x+c 相交于点 A（1，0）和点 B（2，3）两点 （1）求抛物线 C 函数表达式； （2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB， 当平行四边形 MANB 的面积最大时，
11、求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y 的距离？若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 2019 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题共共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的）的） 1 （4 分）2019 的倒数是（ ） A2019 B C D2019
12、 【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案 【解答】解：2019 的倒数是 故选：B 【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键 2 （4 分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片现在中国 高速铁路营运里程将达到 23000 公里，将 23000 用科学记数法表示应为（ ） A2.3 104 B23 103 C2.3 103 D0.23 105 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是
13、 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：230002.3 104， 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （4 分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正
14、确 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重 合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180 后与原图重合 4 （4 分） 在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中， 甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲的成绩方差是 15， 乙的成绩方差是 3，下列说法正确的是（ ） A甲的成绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人的成绩一样稳定 D无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【分析】根据方差的意义求解可得 【解答】解：乙的成绩方差甲成绩的方差， 乙的成绩比甲的成绩稳定， 故选：B 【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大
15、小的一个量方差越大，则平均值的离散程 度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 5 （4 分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状 【解答】解：从上面观察可得到： 故选：C 【点评】 本题考查了三视图的概简单几何体的三视图， 本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线 表示 6 （4 分）已知三角形的两边长分别为 1 和 4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围
16、；再 根据第三边是整数，从而求得周长 【解答】解：设第三边为 x， 根据三角形的三边关系，得：41x4+1， 即 3x5， x 为整数， x 的值为 4 三角形的周长为 1+4+49 故选：C 【点评】此题考查了三角形的三边关系关键是正确确定第三边的取值范围 7 （4 分）实数 m，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A|m|1 B1m1 Cmn0 Dm+10 【分析】利用数轴表示数的方法得到 m0n，然后对各选项进行判断 【解答】解：利用数轴得 m01n， 所以m0，1m1，mn0，m+10 故选：B 【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总
17、比左边的数大 8 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 无实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】利用判别式的意义得到 （2）24m0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得 （2）24m0， 解得 m1 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与 b24ac 有如下关系： 当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根 9 （4 分）一次函数 yax+b 与反比列函数 y的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx+c 的大致图象是 （
18、 ） A B C D 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出 a、b、c 的正负，再根据抛物线的对称轴为 x， 找出二次函数对称轴在 y 轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论 【解答】解：一次函数 y1ax+c 图象过第一、二、四象限， a0，b0， 0， 二次函数 y3ax2+bx+c 开口向下，二次函数 y3ax2+bx+c 对称轴在 y 轴右侧； 反比例函数 y2的图象在第一、三象限， c0， 与 y 轴交点在 x 轴上方 满足上述条件的函数图象只有选项 A 故选：A 【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次 函数与反比例函数的图
19、象找出 a、b、c 的正负本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关 系是解题的关键 10 （4 分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示， 则该容器是下列四个中的（ ） A B C D 【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解 【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细由图可得 上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径 故选：D 【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象 11 （4 分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，
20、将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能 形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆） ，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 （ ） A B C D 【分析】连接 AC，根据正方形的性质得到B90 ，根据圆周角定理得到 AC 为圆的直径，根据正方 形面积公式、圆的面积公式计算即可 【解答】解：连接 AC， 设正方形的边长为 a， 四边形 ABCD 是正方形， B90 ， AC 为圆的直径， ACABa， 则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：， 故选：C 【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键 12 （4 分）如图，已知 A、B 两点的
21、坐标分别为（8，0） 、 （0，8） ，点 C、F 分别是直线 x5 和 x 轴上 的动点， CF10， 点 D 是线段 CF 的中点， 连接 AD 交 y 轴于点 E， 当 ABE 面积取得最小值时， tanBAD 的值是（ ） A B C D 【分析】如图，设直线 x5 交 x 轴于 K由题意 KDCF5，推出点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心， 5 为半径的圆，推出当直线 AD 与K 相切时， ABE 的面积最小，作 EHAB 于 H求出 EH，AH 即 可解决问题 【解答】解：如图，设直线 x5 交 x 轴于 K由题意 KDCF5， 点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心，5 为半径的圆，
22、 当直线 AD 与K 相切时， ABE 的面积最小， AD 是切线，点 D 是切点， ADKD， AK13，DK5， AD12， tanEAO， ， OE， AE， 作 EHAB 于 H S ABEABEHS AOBS AOE， EH， AH， tanBAD， 故选：A 【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解 题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（共二、填空题（共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，ABCD，112
23、0 ，则2 60 【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案 【解答】解：1120 ， 3180 120 60 ， ABCD， 2360 故答案为：60 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出23 是解题关键 14 （4 分）在一次有 12 人参加的数学测试中，得 100 分、95 分、90 分、85 分、75 分的人数分别是 1、3、 4、2、2，那么这组数据的众数是 90 分 【分析】根据众数的定义求解可得 【解答】解：这组数据的众数是 90 分， 故答案为：90 【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都 是最多且相同，此时众
24、数就是这多个数据 15 （4 分）分解因式：2x22y2 2（x+y） （xy） 【分析】先提取公因式 2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案 【解答】解：2x22y22（x2y2）2（x+y） （xy） 故答案为：2（x+y） （xy） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意 分解要彻底 16 （4 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的单价比足球的单价多 4 元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为 【分析】根据题意可得等量关系：4 个
25、篮球的花费+5 个足球的花费466 元，篮球的单价足球的 单价4 元，根据等量关系列出方程组即可 【解答】解：设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，由题意得： ， 故答案为：， 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量 关系 17 （4 分）如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，AB10，BC6，CDAB，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，DE 【分析】由 CDAB，DABE，DCBE，所以 CDBC6，再证明 AEBCED，根据 相似比求出 DE 的长 【解答】解：ACB90 ，AB10，BC6， AC8， BD 平分A
26、BC， ABECDE， CDAB， DABE， DCBE， CDBC6， AEBCED， ， CEAC 83， BE， DEBE， 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键 18 （4 分）如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，、 如图所示，则 cos（+） 【分析】给图中各点标上字母，连接 DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出30 ， 同理，可得出：CDECED30 ，由AEC60 结合AEDAEC+CED 可得出AED 90 ，设等边三角形的边长为 a，则 AE2a，DEa，利用勾股定理可得出 AD 的长，
27、再结合余弦 的定义即可求出 cos（+）的值 【解答】解：给图中各点标上字母，连接 DE，如图所示 在 ABC 中，ABC120 ，BABC， 30 同理，可得出：CDECED30 又AEC60 ， AEDAEC+CED90 设等边三角形的边长为 a，则 AE2a，DE2sin60aa， ADa， cos（+） 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角 等于+ 的直角三角形是解题的关键 三、解答題（共三、解答題（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算：|3|4sin45 +（3）0 【分析】原式第一项利用绝对
28、值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二 次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式34+2+132+2+14 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （8 分）解方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：x22x+2x2x， 解得：x2， 检验：当 x2 时，方程左右两边相等， 所以 x2 是原方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 21 （8 分）如图，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点
29、 E，ABCD，连接 AD、BC 求证： （1）； （2）AECE 【分析】 （1）由 ABCD 知，即+，据此可得答案； （2）由知 ADBC，结合ADECBE，DAEBCE 可证 ADECBE，从而得出答 案 【解答】证明（1）ABCD， ，即+， ； （2）， ADBC， 又ADECBE，DAEBCE， ADECBE（ASA） ， AECE 【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中， 圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等 22 （8 分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全
30、体同学参加了知识竞赛 收集教据：现随机抽取了初一年级 30 名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分） ： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据： 成绩 x（单位：分） 频数（人数） 60x70 1 70x80 2 80x90 17 90x100 10 （1）请将图表中空缺的部分补充完整； （2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在 90 分及其以上的同学根据上面统计结果估计该校初一年级 360 人中，约有多少人将获得表彰； （3）“
31、创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章， 她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 【分析】 （1）由已知数据计数即可得； （2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得； （3）根据题意先画出树状图，得出共有 12 种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得 【解答】解： （1）补全图表如下： （2）估计该校初一年级 360 人中，获得表彰的人数约为 360120（人） ； （3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为 A、B、C、D， 画树状图如下： 则共有 12 种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚
32、纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为 6， 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选 出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1kx+b（k0）的图象与反比例函数 y2（m0） 的图象相交于第一、象限内的 A（3，5） ，B（a，3）两点，与 x 轴交于点 C （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 y 轴上找一点 P 使 PBPC 最大，求 PBPC 的最大值及点
33、 P 的坐标； （3）直接写出当 y1y2时，x 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据一次函数 y1x+2，求得与 y 轴的交点 P，此交点即为所求； （3）根据 AB 两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求 x 的取值范围 【解答】解： （1）把 A（3，5）代入 y2（m0） ，可得 m3 515， 反比例函数的解析式为 y2； 把点 B（a，3）代入，可得 a5， B（5，3） 把 A（3，5） ，B（5，3）代入 y1kx+b，可得， 解得， 一次函数的解析式为 y1x+2； （2）一次函数的解析式为 y1x+2，令 x0，则
34、y2， 一次函数与 y 轴的交点为 P（0，2） ， 此时，PBPCBC 最大，P 即为所求， 令 y0，则 x2， C（2，0） ， BC3 （3）当 y1y2时，5x0 或 x3 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， 待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式， 根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键 24 （10 分）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S1+2+22+22017+22018 则 2S2+22+22018+22019 得 2SSS220191 S1+2+22+22017+2201822
35、0191 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+29 2101 ； （2）3+32+310 ； （3）求 1+a+a2+an的和（a0，n 是正整数，请写出计算过程） 【分析】 （1）利用题中的方法设 S1+2+22+29，两边乘以 2 得到 2S2+22+29，然后把两式相减 计算出 S 即可； （2）利用题中的方法设 S1+3+32+33+34+310 ，两边乘以 3 得到 3S3+32+33+34+35+311 ，然 后把两式相减计算出 S 即可； （3）利用（2）的方法计算 【解答】解： （1）设 S1+2+22+29 则 2S2+22+210 得 2SSS2101 S1
36、+2+22+292101； 故答案为：2101 （2）设 S1+3+32+33+34+310 ， 则 3S3+32+33+34+35+311 ， 得 2S3111， 所以 S， 即 1+3+32+33+34+310； 故答案为：； （3）设 S1+a+a2+a3+a4+an， 则 aSa+a2+a3+a4+an+an+1， 得： （a1）San+11， 所以 S， 即 1+a+a2+a3+a4+an， 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决 这类问题的方法 25 （12 分） （1）如图 1，E 是正方形 ABCD 边 AB 上的一点，连接
37、BD、DE，将BDE 绕点 D 逆时针旋 转 90 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G 线段 DB 和 DG 的数量关系是 DBDG ； 写出线段 BE，BF 和 DB 之间的数量关系 （2）当四边形 ABCD 为菱形，ADC60 ，点 E 是菱形 ABCD 边 AB 所在直线上的一点，连接 BD、 DE，将BDE 绕点 D 逆时针旋转 120 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G 如图 2，点 E 在线段 AB 上时，请探究线段 BE、BF 和 BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图 3，点 E 在线段 AB 的延长线上时，DE 交射线 BC
38、于点 M，若 BE1，AB2，直接写出线段 GM 的长度 【分析】 （1）根据旋转的性质解答即可； 根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； 先同理得：BGBD，计算 BD 的长，从而得 BG 的长，根据平行线分线段成比例定理可得 BM 的 长，根据线段的差可得结论 【解答】解： （1）DBDG，理由是： DBE 绕点 B 逆时针旋转 90 ，如图 1， 由旋转可知，BDEFDG，BDG90 ， 四边形 ABCD 是正方形， CBD45 ， G45 ， GCBD45 ， DBDG； 故答案为：DBDG； BF+BEBD，理由如下
39、： 由知：FDGEDB，GDBE45 ，BDDG， FDGEDB（ASA） ， BEFG， BF+FGBF+BEBC+CG， Rt DCG 中，GCDG45 ， CDCGCB， DGBDBC， 即 BF+BE2BCBD； （2）如图 2，BF+BEBD， 理由如下：在菱形 ABCD 中，ADBCDBADC 60 30 ， 由旋转 120 得EDFBDG120 ，EDBFDG， 在 DBG 中，G180 120 30 30 ， DBGG30 ， DBDG， EDBFDG（ASA） ， BEFG， BF+BEBF+FGBG， 过点 D 作 DMBG 于点 M，如图 2， BDDG， BG2BM，
40、在 Rt BMD 中，DBM30 ， BD2DM 设 DMa，则 BD2a， DMa， BG2a， ， BGBD， BF+BEBGBD； 过点 A 作 ANBD 于 N，如图 3， Rt ABN 中，ABN30 ，AB2， AN1，BN， BD2BN2， DCBE， ， CM+BM2， BM， 由同理得：BE+BFBGBD， BG6， GMBGBM6 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方 形和菱形的性质，直角三角形 30 度的角性质等知识，本题证明 FDGBDE 是解本题的关键 26 （14 分）如图，已知直线 AB 与抛物线 C：yax2
41、+2x+c 相交于点 A（1，0）和点 B（2，3）两点 （1）求抛物线 C 函数表达式； （2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB， 当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y 的距离？若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法，将 A，B 的坐标代入 yax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； （2）过点 M 作 MHx
42、 轴于 H，交直线 AB 于 K，求出直线 AB 的解析式，设点 M（a，a2+2a+3） ， 则 K（a，a+1） ，利用函数思想求出 MK 的最大值，再求出 AMB 面积的最大值，可推出此时平行四边 形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3）设抛物线对称轴与直线 y交于点 E，抛物线顶点为 Q，作点 E 关于点 Q 的对称点 F，此时抛 物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y的距离，可分别先求出 Q，F 的坐标，由对称性 可求出 F 的坐标 【解答】解： （1）由题意把点（1，0） 、 （2，3）代入 yax2+2x+c， 得， 解得 a1，b2， 此抛物线 C
43、 函数表达式为：yx2+2x+3； （2）如图 1，过点 M 作 MHx 轴于 H，交直线 AB 于 K， 将点（1，0） 、 （2，3）代入 ykx+b 中， 得， 解得，k1，b1， yABx+1， 设点 M（a，a2+2a+3） ，则 K（a，a+1） ， 则 MKa2+2a+3（a+1） （a）2+， 根据二次函数的性质可知，当 a时，MK 有最大长度， S AMB最大S AMK+S BMK MKAH+MK（xBxH） MK（xBxA） 3 ， 以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB，当平行四边形 MANB 的面积最大时， S最大2S AMB最大2，M（，） ； （3）如图 2，设抛物线对称轴与直线 y交于点 E，抛物线顶点为 Q， 作点 E 关于点 Q 的对称点 F， 此时抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y的距离， yx2+2x+3 （x1）2+4， Q（1，4） ，E（1，） ， 点 F 与点 E 关于点 Q 对称， F（1，） 【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平 行四边形 MANB 的面积最大时， ABM 的面积最大，且此时线段 MK 的长度也最大
