1、异方差的异方差的概念概念异方差的类型异方差的类型异方差性的后果异方差性的后果异方差性的检验异方差性的检验异方差的修正异方差的修正案例案例异方差性异方差性对于模型对于模型ikikiiiiXXXY2210如果出现Varii()2即对于不同的样本点对于不同的样本点，随机误差项的方差不再随机误差项的方差不再是常数是常数，而互不相同而互不相同，则认为出现了则认为出现了异方差性异方差性(Heteroskedasticity)。异方差的概念异方差的概念 同方差性假定：i2=常数常数 f(Xi)异方差时：i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型：i2随X的增大而
2、增大 (2)单调递减型：i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型：i2与X的变化呈复杂形式异方差的类型异方差的类型方差递增：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为方差递增：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+iYi:第第i个家庭的储蓄额个家庭的储蓄额 Xi:第第i个家庭的可支配收入个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化的方差呈现单调递增型变化异方差的类型异方差的类型以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+I将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。一般情况下，居
3、民收入服从正态分布一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。异方差的类型异方差的类型异方差的类型异方差的类型n方差递减：方差递减：errorlearning model：在：在学习过程中，行为误差随时间减少。如打学习过程中，行为误差随时间减少。如打字出错个数与打字练习时间的关系。随着字出错个数与打字练习时间的关系。随着打字练习时间的增加，不仅平均打错个数打字练习时间的增加，不仅平均打错个数下降，而且打错个数的方差也下降。下降，而且打错个数的
4、方差也下降。复杂异方差：复杂异方差：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量被解释变量：产出量Y 解释变量：资本解释变量：资本K、劳动、劳动L、技术、技术A，那么：那么：每个企业所处的每个企业所处的外部环境外部环境对产出量的影响被对产出量的影响被包含在随机误差项中。包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化
5、，呈现复杂型。观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。异方差的类型异方差的类型 计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采仍采用用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性仍然具有无偏性，但不具有有效性不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E()=2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性不具有渐近有效性。异方差性的后果异方差性的后果 2 2、变量的显著性检验失去意义、变量的显著性检验失去意义 变量的显著性检验中，构造了t统计量 其他如F检验也是如此。异方差性的后果异方差性的后果 3 3、模型
6、的预测失效、模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。异方差性的后果异方差性的后果n检验思路 异方差检验的坎坷：无法从一个异方差检验的坎坷：无法从一个Y值去推测方差。值去推测方差。在大多数情况下，异方差不过是一种直觉，深思熟虑的在大多数情况下，异方差不过是一种直觉，深思熟虑的猜测，或者经验。但存在一些正式和非正式的检验方法，猜测，或者经验。但存在一些正式和非正式的检验方法，思路如下。思路如下。由于由于异
7、方差性就是相对于不同的解释变量观测值，就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。异方差性的检验异方差性的检验 问题在于用什么来表示随机误差项的方差问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近近似似估估计计量量”，用ei表示。于是有VarEeiii()()22()eyyiiils0异方差性的检验异方差性的检验几种异方差的检验方法：几种异方差的检验方法
8、：1 1、图示法、图示法（1）用）用X-Y的散点图进行判断的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）异方差性的检验异方差性的检验(2 2)X X-ei2的的散散点点图图进进行行判判断断ei2 ei2 X X 同方差 递增异方差ei2 ei2 X X 递减异方差 复杂型异方差异方差性的检验异方差性的检验2 2、帕克、帕克(Park)(Park)检验与戈里瑟检验与戈里瑟(Gleiser)(Gleiser)检验检验 基本思想基本思想:建立方程：ijiiXfe)(2或ijiiXfe)(|选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存
9、在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。如：帕克检验常用的函数形式：ieXXfjiji2)(或ijiiXelnln)ln(22 若若 在统计上是显著的，表明存在异方差性在统计上是显著的，表明存在异方差性。异方差性的检验异方差性的检验异方差性的检验异方差性的检验戈里瑟检验：观念上类似于帕克检验。函数形式戈里瑟检验：观念上类似于帕克检验。函数形式如：如：iiiiiiiiiiiiiiiiiiXeXeXeXeXeXe221212121212111戈德菲尔德戈德菲尔德-匡特匡特指出误差项的指出误差项的若干问题，如若干问题，如非零期望，序非零期望，序列相关性，以列相关性，以及有讽刺意
10、味及有讽刺意味的的异方差性异方差性。3 3、戈德菲尔德、戈德菲尔德-匡特匡特(Goldfeld-Quandt)(Goldfeld-Quandt)检验检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。G-Q G-Q检验的思想检验的思想：先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。异方差性的检验异方差性的检验 G-Q检验的步骤：将将n对样本观察值对样本观察值(Xi,Yi)按观察值按观察值Xi的大小的大小排队
11、排队将序列中间的将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2对每个子样分别进行对每个子样分别进行OLS回归，并计算各回归，并计算各自的残差平方和自的残差平方和异方差性的检验异方差性的检验 在正态、同方差性假定下，构造如下满足在正态、同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量分布的统计量)12,12()12()12(2122kcnkcnFkcnekcneFii 给定显著性水平给定显著性水平，确定临界值，确定临界值F(v1,v2)，若F F(v
12、1,v2)，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。异方差性的检验异方差性的检验异方差性的检验异方差性的检验 省略省略c的目的：突出和激化小方差组的目的：突出和激化小方差组与大方差组的之间的差异。与大方差组的之间的差异。C-Q检验有赖检验有赖于于c的选择。对于一元模型，的选择。对于一元模型，C和和Q所作的所作的蒙特卡罗实验表明当样本大小为蒙特卡罗实验表明当样本大小为60时，时，c约为约为16。但。但Judge等人确提出，在实践等人确提出，在实践中发现当中发现当n30时取时取c4，n60时取时取c10为宜。为宜
13、。当自变量多于当自变量多于1个时，可以按照任意个时，可以按照任意一个一个X的大小顺序排列。的大小顺序排列。3 3、怀特（、怀特（WhiteWhite）检验）检验 怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差 怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：iiiiXXY22110然后做如下辅助回归iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102 可以证明，在同方差假设下：(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，异方差性的检验异方差性的检验注意：注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性
14、，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。异方差性的检验异方差性的检验 模型检验出存在异方差性，可用模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（Weighted Least Squares,WLS）进行估计。进行估计。加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。
15、在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。21102)(kkiiiiXXYWeW异方差的修正异方差的修正 例如例如，如果对一多元模型，经检验知：222)()()(jiiiiXfEVar ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1 ijikijikXfXXf)(1)(1 新模型中，存在 222)()(1)(1()(1(ijiijiijiEXfXfEXfVar即满足同方差性，可用OLS法估计。异方差的修正异方差的修正一般情况下一般情况下:对于模型 Y=X+存在 W2)()(0)(ECovEW wwwn12即存
16、在异方差性异方差性。异方差的修正异方差的修正 W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得 W=DD 用D-1左乘 Y=X+两边，得到一个新的模型：DXDYD111*XY该模型具有同方差性。因为 1211211111)()()(DDDDDDDDDD*EEEI2异方差的修正异方差的修正*1*)(YXXXYWXXWXYDDXXDDX11111111)()(这就是原模型 Y=X+的加权最小二乘估计量加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵2W。异方差的修正异方差的修正如何得到如何得到2W？从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项 的方差-协方
17、差矩阵。因此 仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量i，以此构成权矩阵的估计量，即2212neeW 这时可直接以|/1,|,|/1|,|/1211neeediagD作为权矩阵。异方差的修正异方差的修正注意：注意：在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：不对原模型进行异方差性检验，而是直接不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法异方差的修正异方差的修正异方差的修正异方差的修正 对比对比OLS与与WL
18、S，OLS对所有样本点的误对所有样本点的误差同等对待，而差同等对待，而WLS则对小的误差大的则对小的误差大的权重，大的误差小的权重。即紧密围绕其权重，大的误差小的权重。即紧密围绕其均值的观测值的权重大于远离其均值的观均值的观测值的权重大于远离其均值的观测值的权重。测值的权重。21102)(kkiiiiXXYWeW21102)(kkiiXXYe异方差的修正异方差的修正iiXY10中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。农村人均纯收入包括(1)从事农业经营的收入，(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收入、(4)财产收入(4)转移支付收入。考察从事农业经营的收入从事农业经营的收入(
19、X1 1)和其他收入其他收入(X2 2)对中国农村居民消费支出农村居民消费支出(Y)增长的影响:22110lnlnlnXXY案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数表表 4.1.1 中中国国 2001年年各各地地区区农农村村居居民民家家庭庭人人均均纯纯收收入入与与消消费费支支出出相相关关数数据据（单单位位：元元）地区 人均消费 支出 Y 从事农业经营 的收入 1X 其他收入 2X 地区 人均消费 支出 Y 从事农业经营 的收入 1X 其他收入 2X 北 京 3552.1 579.1 4446.4 湖 北 2703.36 1242.9 2526.9 天 津 2050.9 131
20、4.6 2633.1 湖 南 1550.62 1068.8 875.6 河 北 1429.8 928.8 1674.8 广 东 1357.43 1386.7 839.8 山 西 1221.6 609.8 1346.2 广 西 1475.16 883.2 1088.0 内蒙古 1554.6 1492.8 480.5 海 南 1497.52 919.3 1067.7 辽 宁 1786.3 1254.3 1303.6 重 庆 1098.39 764.0 647.8 吉 林 1661.7 1634.6 547.6 四 川 1336.25 889.4 644.3 黑龙江 1604.5 1684.1 59
21、6.2 贵 州 1123.71 589.6 814.4 上 海 4753.2 652.5 5218.4 云 南 1331.03 614.8 876.0 江 苏 2374.7 1177.6 2607.2 西 藏 1127.37 621.6 887.0 浙 江 3479.2 985.8 3596.6 陕 西 1330.45 803.8 753.5 安 徽 1412.4 1013.1 1006.9 甘 肃 1388.79 859.6 963.4 福 建 2503.1 1053.0 2327.7 青 海 1350.23 1300.1 410.3 江 西 1720.0 1027.8 1203.8 宁 夏
22、 2703.36 1242.9 2526.9 山 东 1905.0 1293.0 1511.6 新 疆 1550.62 1068.8 875.6 河 南 1375.6 1083.8 1014.1 普通最小二乘法的估计结果：21ln5084.0ln3166.0655.1lnXXY (1.87)(3.02)（10.04）2R=0.7831 2R=0.7676 DW=1.89 F=50.53 RSS=0.8232 异方差检验 案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数(1)G-Q检验检验 将原始数据按X2排成升序，去掉中间的7个数据，得两个容量为12的子样本。对两个子样本分别作OLS
23、回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2：子样本1：21ln119.0ln343.0061.4lnXXY (3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子样本2：21ln776.0ln138.0791.0lnXXY (0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.2729案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数计算计算F F统计量：统计量：F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31 查表查表 给定=5%，查得临界值 F0.05(9,9)=2.97判断判断 F F0.05(9,9)否定两组子样方差相同的假
24、设，从而该总体随机项存在递增异方差性。案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数（2 2）怀特检验）怀特检验 作辅助回归:2222112)(ln026.0ln055.0)(ln015.0ln102.017.0XXXXe （-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)21lnln043.0XX (-1.11)R2=0.4638似乎没有哪个参数的t检验是显著的。但 n R2=31*0.4638=14.38=5%下，临界值 20.05(5)=11.07，拒绝同方差性拒绝同方差性 案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数去掉交叉项后的辅助回归结果 2
25、222112)(ln039.0ln539.0)(ln042.0ln570.0842.3XXXXe (1.36)(-0.64)(064)(-2.76)(2.90)R2=0.4374X2项与X2的平方项的参数的t检验是显著的，且 n R2=31 0.4374=13.56 =5%下，临界值 20.05(4)=9.49 拒绝同方差的原假设拒绝同方差的原假设 案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数 原模型的加权最小二乘回归原模型的加权最小二乘回归 对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵2W的估计量；再以1/|i|为权重进行WLS估计，得 21ln527.0ln319.0497.1lnXXY (5.12)(5.94)（28.94）2R=0.9999 2R=0.9999 DW=2.49 F=924432 RSS=0.0706 各项统计检验指标全面改善各项统计检验指标全面改善案例案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数
