1、空间向量的夹角和距离公式空间向量的夹角和距离公式向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算则设),(),(321321bbbbaaaa);,(332211babababa);,(332211babababa);(),(321Raaaa;332211babababa);(;,/332211Rbabababa;0332211babababa夹角、夹角、|,cosbababa;332211babababa2322212|aaaaaa2322212|bbbbbb;232221232221332211bbbaaabababa空间两点间的距离公式、空间两点间的距离公式、;)()()(|),(),(A212212
2、212222111zzyyxxABABABzyxBzyx则已知在空间直角坐标系中，例题：书本例题：书本p40：例：例3、4、5。求证：的值；求的长；求的中点，、分别为、，棱，中，底面：直三棱柱如图MCBA3)CB,cos2)BN1)AABANM2AA90BCA1CBCAABC,11111111o111BACBAABCBCC1A1B1ANM例题：。的面积方法求用向量（、（已知SABC),5,1,1(),6,1,2B)3,2,0AC例题：用向量方法）的距离。到直线求点求的中点，分别是、，正方体(EFA)2,1)ADCCFEABCDDCBA1111111EFABC1D1B1A1CDABHomewor
3、k:o P43：7、8、9棱锥、圆锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。2、V柱体Sh V圆柱r2 h 3、柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平面所截截面面积始终相等体积相等V长方体abcV柱体Sh V圆柱r2 h问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？锥体体积是否具有相似的结论？定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h平行于平面的任一平面去截截面面积始终相等两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两
4、个锥体体积相等。h1S1h1S1hShShhSShhSS22122211，SSSS21SS21证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个锥体放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平面内，用平行于平面的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，那么 根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACBBCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA与三棱柱相对照
5、，请猜想三棱锥体积公式。BCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA31CB把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31ABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23定理二：如果三棱
6、锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31BCAB2CACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S
7、S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31CACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2三棱锥2、3的底BCB、CBC的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的
8、体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、C CB BC C的面积相等。的面积相等。高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是A A）。）。高高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2V1V2V3 V三棱锥31定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么
9、 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥 Sh证明:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底ABA1、B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底 BCB1、C1B1C 的面积相等，高也相等 （顶点都是A1）V1V2V3 V三棱锥。V三棱柱 Sh。V三棱锥 Sh。31313131ABCACB23任意锥体的体积公式：定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是
10、V锥体 Sh31 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h31小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h31313131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 证明
11、：在平面BCD内，作DE BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。根据三垂线定理，AE BC。AED。V三棱锥 SB CD AD31 SAB C ADcos31 BC ED AD2131 BC AEcos AD213131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 问题1、ADcos有什么几何意义？F 结论：V三棱锥 SAB C d 3131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D
12、 B CE 结论：V三棱锥VC-AE DVB-AE D 问题2、解答过程中的 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示意思？212131AEcosEDSAED EDAD 21又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题1、你能有几种 解法？问题2、如果这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到 一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的 几
13、分之几？C D AB 问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种 解法？解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。解二、利用体积公式 V四面体 SBCDh31 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：（一个锥体的体积计算可以间接求得）、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面
14、，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。小结：小结：4、定理及推论 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h313131作业：1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。2、三棱锥P-ABC中，已知PABC，PABCa，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EFh，求 三棱锥的体积。
