1、第第12章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理*主讲人主讲人:12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴转动刚体的轴承动约束力12.4 静平衡与动平衡简介静平衡与动平衡简介 小结小结第第12章章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理12.1.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理FNFRFaxzyOmA非自由质点 A；m 质量；sS 运动轨迹。FN 约束力；F 主动力；根据牛顿定律m a F+FNF+FN m a 0令 FI m
2、 aF+FN FI 0 作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系，即非自由质点的达朗贝尔原理(dAlembert principle)动静法(methods of kinetics and statics)质点的惯性力 (inertial force)FI应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法：应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法：3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力；、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力；非自由质点达朗贝尔原理的投影形式非自由质点达朗贝尔原理的投影形式0INizzzzFFFF4、应用达朗贝尔原理表达式求解。、应用达朗贝尔原
3、理表达式求解。1、分析质点所受的主动力和约束力；、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；、分析质点的运动，确定加速度；0INixxxxFFFF0INiyyyyFFFF12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 图示质量为m的小球，以匀角速度绕铅垂线回转，绳长l，绳与铅垂线成q 角 求：绳中的拉力和小球的速度。12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理【例【例12-1】建立图示自然坐标系：以小球为研究对象，进行受力分析和运动分析 naqsin2lv法向惯性力：nIFnqsin2lvm 0bF0cosTmgFqqcosTmgF 0nF0sinnITFFq0sinsincos2qqqlvmm
4、gqqcossin2glv 12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理【例【例12-1】解】解 图示半径为R的光滑球顶上放一小物块。设物块沿铅垂面内的大圆自球面顶点静止滑下 求：此物块脱离球面时的角j。12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理【例【例12-2】如图建立自然坐标系：以物块为研究对象受力分析切向惯性力tIFttvmdd法向惯性力nIFnRvm2列动平衡方程 0tF0ddsintvmmgj 0nF0cos2NRvmFmgj12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理【例【例12-2】解】解 由于svvtssvtvdddddddd0ddsintvmmgj改写为jddRs jjddsinRvvg两边积分vvvg
5、R00ddsinjjjjcos122gRv代入0cos2NRvmFmgj计算得到2cos3NjmgF物块脱离球面时，FN=032cosj1148j12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理【例【例12-2】解】解 a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2主动力系主动力系约束力系约束力系惯性力系惯性力系niF,F,F,F21niNN2N1NF,F,F,FniII2I1IF,F,F,F对质系中的每个质点对质系中的每个质点i :0INiiiFFFiiim aFI式中主动力系、约束力系、惯性力系组主动力系、约束力系、惯性力系组成形式上的平衡力系，则：成形式上的平衡力系，则：0R
6、INFFFFiiiiii0)()()(INiiOiOiOiiOMFMFMFM12.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0IeiiiFF0)()(IeiOiiOFMFM作用于质点系的力也可分为外力与内作用于质点系的力也可分为外力与内力，内力成对出现，且等值反向，则力，内力成对出现，且等值反向，则质点系的质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理0IieiiiFFF对质系中的每个质点对质系中的每个质点i :0)()()(IiieFFFOiOiOMMM0IieiiiFFF而对质系：而对质系：a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim212.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理12.2 刚体惯性力系
7、的简化刚体惯性力系的简化12.2.1 刚体作平移刚体作平移12.2.2 刚体作定轴转动刚体作定轴转动12.2.3 刚体作平面运动刚体作平面运动12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 刚体惯性力刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。绝对加速度有关。FIimiai 对于平面问题对于平面问题(或者可以简化为平面问题或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系为面积力，组成平面力系。对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般力系力系。刚体惯性力系特
8、点刚体惯性力系特点aCa1a2anmm2mnm1FInFI1FI2FICmaFI 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。刚体作平移时，每一瞬时刚体内各质点的加速度相同，刚体作平移时，每一瞬时刚体内各质点的加速度相同，都等于质心的加速度即都等于质心的加速度即Ciaa CiiiiimmaaFF)(II12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 仅讨论转动刚体具有质量对称平面、且转轴垂直于质量仅讨论转动刚体具有质量对称平面、且转轴垂直于质量对称平面的情形对称平面的情形(如转子如转子)。此惯性力系可简化为对称平面的平面力系。此惯性力系可简化为对
9、称平面的平面力系。OniatiatIiFnIiFmiCnIFtIFIFMIO)(ntICCCmmaaaF),(2ntiiiirmrm),(),(ntnItIIiiiiiiimmaaFFFOiiiOOJrmMM)()(2tIIFCiiiiimmaaFF)(II主矩：主矩：主矢：主矢：（转轴垂直于对称面）（转轴垂直于对称面）12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化OCIFMIO)(ntICCCmmaaaF 具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，惯性力系惯性力系向固定轴向固定轴简化结果简化结果，得到，得到一个合力和一个合力偶一个合力
10、和一个合力偶。合力合力的矢量即为的矢量即为惯性力系的主矢惯性力系的主矢其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反OiiiOOJrmMM)()(2tIIF合力偶合力偶的力偶矩即为的力偶矩即为惯性力系的主矩惯性力系的主矩大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向大小等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。相反。OniatiatIiFnIiFmiCnIFtIFIFMIO12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化（平行于对称平面）（平行于对称平面）C aCr
11、imiaCtrianr ia 将刚体的空间惯性力系向将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内质量对称平面内简化，得到该平简化，得到该平面内的平面惯性力系，再对平面惯性力系作进一步简化。面内的平面惯性力系，再对平面惯性力系作进一步简化。C aCrimiaCtr ia 以质心以质心C 为基点，将平面运动分解为跟随基点的平移和绕为基点，将平面运动分解为跟随基点的平移和绕基点的转动。刚体上的任意质点基点的转动。刚体上的任意质点 miaC 牵连加速度牵连加速度tria相对切向加速度相对切向加速度nr ianr ia相对法向加速度相对法向加速度iCIFnrIiFtrIiF12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力
12、系的简化),(2ntaiiiiCirmrmm),(nrItrIIIiiiCiFFFF CaCIFCMICmaFIiiCiiCiiCCCMMMM)()()(nrItrIIIFFFCiiiiCJrmM)()(2itrIFCCJM ICaCrimiaCtrianr iaiCIFnrIiFtrIiF12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化CaCIFCMICmaFICCJM I 具有质量对称平面的刚体作平面运动，且运动平具有质量对称平面的刚体作平面运动，且运动平面与质量对称平面互相平行时，惯性力系向面与质量对称平面互相平行时，惯性力系向质心简化质心简化成位于质量对称平面内的成位于质量对称平面内的一
13、个合力和一个合力偶一个合力和一个合力偶。合力合力的矢量即为的矢量即为惯性力系的主矢惯性力系的主矢大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。合力偶合力偶的力偶矩即为的力偶矩即为惯性力系的主矩惯性力系的主矩大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。加速度方向相反。12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 图示复摆位于铅直面内，由匀质杆OB 与匀质圆盘C 固结而成。已知：杆长2r，圆盘半径r，质量均为
14、m，杆与铅直线夹角为q。求：当E 处绳被剪断时，（1）复摆的角加速度；（2）支座O的约束力。12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-3】将圆盘与匀质细杆作为质点系进行受力分析惯性力系向点O简化设剪断瞬时角加速度为质点系质量为2m质心位置rmrmrmrG223质心位于点BraB212.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-3】解】解初瞬时法向加速度为零，法向惯性力为零切向惯性力mrFO4tIBOmaF2tI惯性力偶矩OOJMI222221231rrmmrrm2665mr12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-3】解】解列动力学平衡方程 0
15、xF0cosIxOFFq 0yF0sinImgmgFFOyq 0OM0sin3sinIqqrmgmgrMO由第3式0sin46652qmgrmrrg65sin24q由第一式qqcos4cosImrFFOx65cossin96qqmgFx由第二式qsin42mrmgFy65sin9622qmgmgFy12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-3】解】解 图示系在绳子上的物体 A 质量为m1，绳子跨过固定滑轮D并绕在半径为r的鼓轮 O上。重物下降，带动半径为R 的滚轮C，使它沿水平轨道纯滚动。鼓轮O与滚轮C固连在一起，总质量为m，对于水平轴O的回转半径为r，求：（1）重物A的加速
16、度，（2）地面对轮C的摩擦力。12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-4】以轮C为研究对象，做受力分析和运动分析RaO惯性力系向质心O简化mRmaFOOIr2ImJMOrRaaBArRmamFAA11I选择重物A为研究对象12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-4】解】解对轮C列动力学平衡方程 0 xF0sITFFFO 0EM0TIIrRFRFMOO对轮A列动力学平衡方程 0yF01TIgmFFA12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-4】解】解代入惯性力 0sTFmRF0T22rRFmRmr01T1gmFrRm联立可求得 21221
17、rRmRmrRgmr12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-4】解】解2122121222211srRmRmrRgRmmrRmRmrRgmgmFrrrRa212221rRmRmrRgmar12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-4】解】解 图示均质圆盘质量为m，半径为R。均质细长杆长l=2R，质量为m2。杆端A与轮心为光滑铰接。如在A处加一水平拉力F，使轮A沿水平面作纯滚动。问：力F为多大方能使杆的B端刚好离开地面？又为保证轮A作纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦因数应为多大？12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-5】取杆为研究对象分析
18、细杆刚好离开地面时仍为平移，则地面对B处的约束力为零，设其加速度为aamFC2I 0AM030cos30sin22gRmaRmga3 12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-5】解】解取整体为研究对象分析amFA1IAMIRaRm212121Ram列动平衡方程 0DM030cos30sin2IIIgRmRFMRFFRCAA将各惯性力和惯性力偶矩代入上式得gmmF32321 12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化【例【例12-5】解】解 0 xF021sammFFgmF1s23gmmfFfF21sNss211s23mmmf12.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化
19、【例【例12-5】解】解12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴转动刚体的轴承动约束力12.3.1 一般状况下惯性力系的简化一般状况下惯性力系的简化12.3.2 轴承动约束力轴承动约束力 12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴转动刚体的轴承动约束力刚体作定轴转动，角速度为刚体作定轴转动，角速度为 ，角加速度为，角加速度为 Oxyz建立坐标系建立坐标系 与刚体固结，在刚体的各与刚体固结，在刚体的各点加上假想的惯性力。点加上假想的惯性力。将此惯性力系向转轴上的点将此惯性力系向转轴上的点O 简化简化，得到，得到主矢、主矩主矢、主矩：CiiimmaaFFIIiiivraiiiOOmMMarF)(Ii
20、Iiirvkjirzyxi式中：式中：kjiMzxzyzyzxzoJJJJJ)()(22I式中：式中：刚体对轴刚体对轴z的的惯性积惯性积)(22yxmJiz刚体对轴刚体对轴z的的转动惯量转动惯量yzmJJzxmJJizyyzixzzxCiiimmaaFFII12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴转动刚体的轴承动约束力 为求轴承处的的约束力，列平衡方程：为求轴承处的的约束力，列平衡方程：0,0IRxxBxAxxFFFFF0,0IRyyByAyyFFFFF0,0RzFFFBzz0,0IxxAyByxMMOAFOBFM0,0IyyBxAxyMMOBFOAFM12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴
21、转动刚体的轴承动约束力解上述方程组得解上述方程组得轴承处除由主动力引起的轴承处除由主动力引起的静约束力静约束力外，由刚体质量分布不均衡，外，由刚体质量分布不均衡，会因转动引起附加约束力，此附加部分称为会因转动引起附加约束力，此附加部分称为轴承动约束力轴承动约束力。OBFMOBFMABFxyxyAxIIR1 OBFMOBFMABFyxyxAyIIR1 OAFMOAFMABFxyxyBxIIR1 OAFMOAFMABFyxyxByIIR1zBzFFR12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴转动刚体的轴承动约束力要使动约束力为零，必须满足：要使动约束力为零，必须满足：0IIyxFF0IIyxMM而而
22、 0ICxxmaF0ICyymaF02IyzxzxJJM02IxzyzyJJM要满足惯性力等于零，必须有要满足惯性力等于零，必须有 ，即，即转轴必须通过质心转轴必须通过质心。0Ca 要满足惯性力偶矩等于零，必须有要满足惯性力偶矩等于零，必须有 ，即，即刚体对刚体对 转轴转轴z的惯性积必须等于零的惯性积必须等于零。0yzxzJJ若刚体对于过某点的轴若刚体对于过某点的轴z 的惯性积的惯性积 和和 为零，则称此轴为为零，则称此轴为过该点的过该点的惯性主轴惯性主轴。通过质心的惯性主轴称为。通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴中心惯性主轴。xzJyzJ12.3 定轴转动刚体的轴承动约束力定轴转动刚体的轴承
23、动约束力12.4 静平衡与动平衡简介静平衡与动平衡简介转轴过刚体质心时，惯性力为零。转轴过刚体质心时，惯性力为零。刚体对转轴的惯性积为零时，惯性力对转轴产生的力偶矩为零。刚体对转轴的惯性积为零时，惯性力对转轴产生的力偶矩为零。因此为了因此为了消除轴承的动约束力，消除轴承的动约束力，应设法应设法消除转动刚体的质量偏心，消除转动刚体的质量偏心，使质心过转轴，使质量分布对称于转轴使质心过转轴，使质量分布对称于转轴。对于一个刚体，若转轴过其质心，除重力外，刚体不受其他主对于一个刚体，若转轴过其质心，除重力外，刚体不受其他主动力的作用，则刚体不论转到什么位置，它都能静止。这种现动力的作用，则刚体不论转到
24、什么位置，它都能静止。这种现象称为象称为静平衡静平衡。刚体的转轴过质心且为惯性主轴时，刚体转动时，不出现轴承刚体的转轴过质心且为惯性主轴时，刚体转动时，不出现轴承动约束力，这种现象称为动约束力，这种现象称为动平衡动平衡。小小 结结重点：重点：（1）掌握惯性力的概念，掌握刚体平移、对称面刚）掌握惯性力的概念，掌握刚体平移、对称面刚 体作定轴转动和平面运动时惯性力系简化结果。体作定轴转动和平面运动时惯性力系简化结果。（2）掌握用达氏原理求解动力学问题。）掌握用达氏原理求解动力学问题。难点：难点：（1）惯性力系的简化。）惯性力系的简化。（2）惯性积和惯性主轴的概念。）惯性积和惯性主轴的概念。作作 业：业：12-3，4，8，912-10，11，13，14谢谢 谢！谢！
