1、等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式:2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾第1页/共24页一、常用数列的求和方法：一、常用数列的求和方法：222211 1+2+3+n=n n+12n+16 23333n n+12 1+2+3+n=2122334nn+11n+11111n+=a aa aa aa aa a(3)(3)裂项法：设裂项法：设aan n 是等差数列，公差是等差数列，公差d0d0nn+1nn+11111=-a ad aa其其中中新课讲授第2页/共24页 n1111S=+1 33 55 72n-12n+1求求和和n111 11
2、111S=1-+-+-+-233 55 72n-1 2n+111=1-=22n+1n2n 1 (4)(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。相等。第3页/共24页.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数有什么的函数，这个函数有什么特点？特点？2)1(1dnnnaSn S Sn n是关于是关于n n的二次式，常数项为的二次式，常数项为零。（零。（d d可以为零）可以为零）21()22nddSnan则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa新课讲授第4页/共24页 结论结论1：若数列：若数列
3、aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=pn=pn2 2+qn+qn，(p,q(p,q为常数为常数)是关于是关于n n的二次式，则数列的二次式，则数列aan n 是等差数列。是等差数列。aan n 是等差数列是等差数列S Sn n=pn=pn2 2+qn(p,q+qn(p,q为常数为常数,d=2p),d=2p)当当d00时时,S Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数若若C0，则数列，则数列an不是等差数列。不是等差数列。若若C=0，则，则an为等差数列；为等差数列；结论结论2：设数列：设数列an的前的前n项和为项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）是常
4、数）当当d=0=0时时,S Sn n=na=na1 1不不是二次函数是二次函数第5页/共24页第6页/共24页第7页/共24页第8页/共24页 例1 若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。13 例2 已知数列an中Sn=2n2+3n，求证：an是等差数列.第9页/共24页例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。，dada89219634214211解之得：15715181da解：设首项为a1，公差为d，则有：。n3043n307)157(1)n(n21n1518S2n 第10页/共24页 设 Sn=an2+bn
5、，依题意得：S4=2,S9=6,99644222baba即解之得：,3043307 ban。nSn30433072 另解：第11页/共24页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1)(2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.第12页/共24页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中
6、中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为31172n 7n113Sn第13页/共24页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.an=13+(n-1)(-2)=2n+15由由100nnaa 得
7、得152132nn 第14页/共24页a7+a8=0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80第15页/共24页解解:由由S3=S11得得d，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？第16页/共24页例2：已知数列an是等差数列，且a1=21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。
8、S11最大为121的前n项和为 ,当n n为何值时，最大，s22最大数列 的通项公式 an=-8n+48ns nans na已知 求：例3设等差数列0,24113sa第17页/共24页求等差数列前求等差数列前n项的最大项的最大(小小)的方法的方法方法方法1:由由 利用二次函利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值的值.21()22nddSnan方法方法2:利用利用an的符号的符号当当a10,d0时时,数列前面有若干项为正数列前面有若干项为正,此此时所有正项的和为时所有正项的和为Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求得求得.当当a1
9、0时时,数列前面有若干项为负数列前面有若干项为负,此此时所有负项的和为时所有负项的和为Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求得求得.第18页/共24页练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=26-2n,要使此数列的前要使此数列的前n项和项和最大最大,则则n的值为的值为()A.12 B.13 C.12或或13 D.14C第19页/共24页当当d00时时,S Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa 小结小结 S Sn n是关于是关于n n的二次式，常数项为的二次式，常数项为
10、零。（零。（d d可以为零）可以为零）第20页/共24页 结论结论1：若数列：若数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=pn=pn2 2+qn+qn，(p,q(p,q为常数为常数)是关于是关于n n的二次式，则数列的二次式，则数列aan n 是等差数列。是等差数列。aan n 是等差数列是等差数列S Sn n=pn=pn2 2+qn(p,q+qn(p,q为常数为常数,d=2p),d=2p)若若C0，则数列，则数列an不是等差数列。不是等差数列。若若C=0，则，则an为等差数列；为等差数列；结论结论2：设数列：设数列an的前的前n项和为项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C
11、是常数）是常数）小结小结第21页/共24页结论结论:3：等差数列前：等差数列前n项和不一定是关于项和不一定是关于n的二次的二次函数：函数：2)1(1dnnnaSn21()22nddSnan（1）当）当d0是，是，sn是项数是项数n的二次函数，且不的二次函数，且不含常数项；含常数项；（2）当）当d=0是，是，sn=na1,不是项数不是项数n 的二次函数。的二次函数。反之，关于反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数的二次函数也不一定是某等差数列的和。列的和。若若C0，则数列，则数列an不是等差数列。不是等差数列。若若C=0，则，则an为等差数列；为等差数列；Sn=An2+Bn+C，第22页/共24页第23页/共24页谢谢您的观看！第24页/共24页
