1、 文科数学 第 1 页（共 14 页） 文科数学 第 2 页（共 14 页） 绝密绝密 启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文文 科科 数数 学学（一）（一） 注意事项：注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2 回答第卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷（选择题）（选择题） 一、选择题：本大题共一
2、、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设集合 1 | 2 Ax y x ， 1,0,1,2,3B ，则()AB R （ ） A2 B 1,0,1,2 C2,3 D 1,0,1 【答案】C 【解析】由题意得 |2Ax x， |2Ax x R ，()2,3AB R 2i是虚数单位，复数 1i 1i z - = + ，则|1|z （ ） A1 B2 C3 D2 【答案】B 【解析】 1i =i 1i z - =- + ，|1|1 i|2z 3 31 (
3、)lg cos x f x xx - =+的定义域为（ ） A(0,3) B |3x x且 2 x C (0,)(,3) 22 U D |0x x 【答案】C 【解析】由题得 303 0 0 2, cos0 2 xx xx xkk x Z - 揶 眄 镲 ? 镲 镲 或 3 2 x的部分图象如图所示， 点(0, 3)A， (,0) 3 B， 则下列说法中错误的是（ ） A直线 12 x =是( )f x图象的一条对称轴 B( )f x的图象可由( )2sin2g xx=向左平移 3 个单位而得到 C( )f x的最小正周期为 D( )f x在区间 (,) 3 12 -上单调递增 【答案】B 【
4、解析】由(0)3f=，可得 3 sin 2 =， 又0，所以 3 =或 2 3 ， ( )0 3 f=， 文科数学 第 5 页（共 14 页） 文科数学 第 6 页（共 14 页） 当 3 =时， 31 33 kk+=?-，kZ； 当 2 3 =时， 2 32 33 kk+=?-，kZ， 由图可知， 3 ( ,3) 432232 TT ?尬， 故 2( )2sin(2) 3 f xx=?+，易知 A，C，D 正确，B 错误 11设 n S为数列 n a的前n项和，已知 1 2a ，对任意p， * qN，都有 p qpq aaa ， 则 11 (4)260 nn n SS a （1n ， * n
5、N）取得最小值时，n（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】当1q 时， 11 2 ppp aaaa ，数列 n a是首项为2，公比为2的等比数列， 2n n a ， 1 2(21) 22 2 1 n n n S ， 1 22 n n S ， 2 11 (4)(22) (22)24 nnn nn SS ， 2 11 (4)2602256256 22 25632 22 n n nn nn n SS a ， 当且仅当216 n ，即4n时，等号成立 12在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D-中，E，F分别为 11 AD， 11 C D的中点，则过B，E， F三点的平面截该正
6、方体，所得截面的周长为（ ） A5 2 B6 2 C22 13+ D24 13+ 【答案】C 【解析】过B作lAC，分别交DA，DC的延长线于G，H，连接EG交 1 AA于M，连接FH 交 1 CC与N，连接BM，BN，则所得截面为五边形EMBNF 1 AEAD， 11 1 2 AEAM AGMA =， 1 2 3 AM =， 4 3 AM =， 413 1 93 EM =+=， 22 42 13 2( ) 33 MB=+=， 同理有 13 3 FN =， 2 13 3 NB=，周长为22 13+ 第第卷卷（非选择题非选择题） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每
7、小题 5 分，分，共共 20 分分 13已知 322 ( )3f xxaxbxa在1x时有极值0，则ab的值为 【答案】7 【解析】函数 322 ( )3f xxaxbxa， 2 ( )36fxxaxb， 又函数 322 ( )3f xxaxbxa在1x处有极值0， 2 3 60 1 30 ab aba ， 1 3 a b 或 2 9 a b ， 当 1 3 a b 时， 22 ( )363(1)0fxxaxbx，函数在R上单调递增，不满足题意； 当 2 9 a b 时， 2 ( )363(1)(3)fxxaxbxx，满足题意， 7a b 14 已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，
8、 它们的底面边长为2， 体积的比值为 1 2 ， 则该球的表面积为_ 【答案】9 【解析】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为 1 2 ， 所以两个棱锥的高之比也为 1 2 ， 设两个棱锥的高分别为x，2x，球的半径为R，则232xxxR，即 3 2 x R ， 所以球心到公共底面的距离是 2 x ， 文科数学 第 7 页（共 14 页） 文科数学 第 8 页（共 14 页） 又因为底面长为2，所以 2222 3 ()( )( 2) 22 xx R ，解得1x ， 所以得到 3 2 R ，所以该球的表面积 2 49SR 15已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB
9、C的面积为 222 4 3 abc+- ， 且coscosaAcC=，则B =_ 【答案】 2 3 或 2 【解析】 222 22 1 sin2 3sin2cos 24 3 ABC abc SabCabcabCabC +- =?-=? 3 3sincostan 36 CCCC=?， 又coscossin2sin2aAcCAC=? 2 63 ACB p =?， 22 ACB+=? 16已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线分别交双曲线 的两条渐近线于点P，Q，若P是线段 1 FQ的中点，且 12 QFQF，则双曲线的离心率为
10、 【答案】2 【解析】由图和对称性可知，OP是线段 1 FQ的垂直平分线， 又OQ是 12 FQFRt斜边中线，所以 12 60FOPPOQQOF，所以2e 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入x（万元）与该产品 年销售利润y（万元）的近5年具体数据，如下表： 年宣传费用投入x（万元） 1 3 5 7 9 年销售利润y（万元） 2 4 8 11 15 （1）求线性回归方程ybxa=+ $ ； （2）如
11、果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为多少？参考公式：回归直 线方程ybxa=+ $ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xx yyx ynx y b xxxnx = = -? = - 邋 邋 $ ，aybx=- $ ，x，y为样本平均值 【答案】 （1）1.650.25yx=- $ ； （2）17.9万元 【解析】 （1）因为 13579 5 5 x + =， 2481115 8 5 y + =， 所以 1 2 1 ()() 66 1.65 40 () n ii i n i i xx yy
12、b xx = = - = - $ ， 又因为8 1.65 50.25aybx=-=-?- $ ，故线性回归方程为1.650.25yx=- $ （2）当11x=时，1.65 110.2517.9y=?= $ ， 故可预测该产品明年销售利润为17.9万元 18 （12 分）已知等比数列 n a满足 1nn aa ， 234 28aaa，且 3 2a 是 2 a， 4 a的等差中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 2 log nnn baa， 12nn Sbbb对任意正整数n， 1 ()0 nn Snm a 恒成立，试求 m的取值范围 【答案】 （1）2n n a ； （2）(, 1
13、 【解析】 （1）设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q， 依题意，有 324 ()22aaa，代入 234 28aaa，得 3 8a ， 文科数学 第 9 页（共 14 页） 文科数学 第 10 页（共 14 页） 因此 24 20aa，即有 3 11 2 1 20 8 a qa q a q ，解得 1 2 2 q a 或 1 1 2 32 q a ， 又 n a数列单调递增，则 1 2 2 q a ，故2n n a （2） 1 2 2 log 22 nnn n bn ， 23 1 22 23 22 n n Sn ， 2341 21 22 23 2(1) 22 nn n Snn ， ，
14、得 231111 2(1 2 ) 222222222 1 2 n nnnnn n Snnn ， 1 ()0 nn Snm a ， 1111 222220 nnnn nnm ， 对任意正整数n恒成立， 11 222 nn m 对任意正整数n恒成立，即 1 1 2n m 恒成立， 1 11 2n ，1m，即m的取值范围是(, 1 19（12 分） 如图所示， 在几何体ABCDE中，ABAC，DC平面ABC，BECD，3AB， 2ACBE， 1 2 CDBE （1）求多面体ABCDE的体积； （2）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l平面BCDE 【答案】 （1）3； （2）证明见解析
15、【解析】 （1）过点A作BC的垂线交BC于点F，则AFBC， 又因为DC 平面ABC，AF 平面ABC， 所以AFCD，CDBCC，所以AF 平面BCDE， 由ABAC，3AB，2ACBE， 1 1 2 CDBE， 22 13BCACAB， 11 22 ABC SAB ACBC AF ，解得 6 13 AB AC AF BC ， ()3 13 22 BCDE CDBE BC S 四边形 ， 四棱锥ABCDE的体积 113 136 3 33213 BCDE VSAF 四边形 （2）因为CDBE ，CD平面ABE，BE 平面ABE， 所以CD平面ABE，l 平面ABE平面ACD，则CDl， 又l
16、平面BCDE，CD平面BCDE， 所以l平面BCDE 20 （12 分）已知函数( )cos x f xex的导函数为( )g x （1）证明：( )g x在区间( ,0)存在唯一零点； （2）若对任意xR，( )cosf xaxx恒成立，求a的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2）0, e 【解析】（1）( )( )sin x g xfxex，则( )cos x g xex， 因为cosyx与 x ye在( ,0)均为增函数，故( )g x在( ,0)为增函数， 又 ( )10ge ，且(0)20 g ，则( )(0)0gg， 结合零点存在性定理知( )g x在区间( ,0)存在唯一零点
17、 （2）构造函数( ) x F xeax，xR，由题意知( )0F x 当0a时， 1 1 ( )10 a Fe a ，与题意矛盾，舍去； 当0a 时，( )0 x F xe，符合题意； 当0a 时，( ) x F xea，( )F x为增函数， 当(,ln )xa 时，( )0F x，即( )F x在(,ln )a单调递减； 当(ln ,)xa时，( )0F x，即( )F x在(ln ,)a 单调递增， 文科数学 第 11 页（共 14 页） 文科数学 第 12 页（共 14 页） 则 ln min ( )(ln )ln(1 ln ) a F xFaeaaaa， 要使( )0F x 对任意
18、xR恒成立， 即需使 min ( )0F x，即(1ln )0aa，解得ae， 综上所述，a的取值范围为0, e 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab）经过点(0, 1)M，长轴长是短轴长的2倍 （1）求椭圆C的方程； （2） 设直线l经过点(2,1)N， 且与椭圆C相交于A，B两点 （异于点M） ， 记直线MA的斜率为 1 k， 直线MB的斜率为 2 k，证明： 12 kk为定值 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）证明见解析 【解析】 （1）椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab）经过点(0, 1)M，1b， 又24ab，2a， 椭
19、圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为2x， 此时直线与椭圆相切，不符合题意； 设直线AB的方程为1(2)yk x ，即21ykxk， 联立 2 2 1 4 21 x y ykxk ，得 222 (1 4)8 (21)16160kxkkxkk， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 8 (21) 14 kk xx k ， 2 12 2 1616 1 4 kk xx k ， 122112 12 1212 112222()()yyx kxkx kxk kk xxx x 121212 1212 2(22)()(22)()
20、 2 kx xkxxkxx k x xx x (22) 8 (21) 22(21)1 16 (1) kkk kkk k k ， 12 kk为定值，且定值为1 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，曲线 1 2cos : 3sin x C y （为参数） ，在以O为极点，x轴的非负半轴为极 轴的极坐标系中，曲线 2 (cosn:si)3 7C （1）写出曲线 1 C和 2 C的普通方程； （2）若曲线 1 C上有一动点M，曲线
21、 2 C上有一动点N，求|MN的最小值 【答案】 （1） 22 1: 1 43 xy C， 2: 3 70Cxy； （2）14 【解析】 （1） 22 1: 1 43 xy C， 2: 3 70Cxy （2）设(2cos , 3sin )M， 结合图形可知：|MN最小值即为点M到直线 2 C的距离的最小值， M到直线 2 C的距离 |2cos3sin3 7 |7sin()3 7 | 22 d ， 当sin()1时，d最小，即 min |14MN 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知0a，0b，0c ，函数( ) |f xaxxbc （1）当1abc时，求不等式( )3f x 的解集； （2）当( )f x的最小值为3时，求 111 abc 的最小值 【答案】 （1） |1x x 或1x ； （2）3 【解析】 （1）( ) |1|1| 1f xxx， ( )3f x ， 1 1 23 x x 或 11 33 x 或 1 213 x x ， 解得 |1x x 或1x 文科数学 第 13 页（共 14 页） 文科数学 第 14 页（共 14 页） （2）( ) |3f xxaxbcaxxbcabcabc ， 11111111 ()()3()()() 33 bacacb abc abcabcabacbc 1 (3222)3 3 ， 当且仅当1abc时取得最小值3
