1、本章主要内容 21控制系统微分方程的建立 22传递函数 23控制系统的框图和传递函数 24非线性方程的线性化 预备知识基尔霍夫定律基尔霍夫定律 1 1 基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律 2 2 基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律，是用以分析和计算电路的基本依据。基本规律，是用以分析和计算电路的基本依据。KCLKCL适用于电路中的任一适用于电路中的任一“节点节点”，KVLKVL适用于电路中的任一适用于电路中的任一“回路回路”。有关术语有关术语（1 1）支路支路：二端元件：二端元件（2 2）节点节点：元件
2、的端点：元件的端点 （3 3）回路回路：电路中任一闭合路经：电路中任一闭合路经（4 4）网孔网孔：内部不含组成回路以外支路的回路：内部不含组成回路以外支路的回路（5 5）网络网络：含元件较多的电路：含元件较多的电路1 1 基尔霍夫电流定律（基尔霍夫第一定律）基尔霍夫电流定律（基尔霍夫第一定律）KCLKCL 对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。于零。1()0nkki t KCL反映了电路中会合到任一节点的各电流反映了电路中会合到任一节点的各电流间相
3、互约束关系。间相互约束关系。对右图所示电路，取流对右图所示电路，取流出节点的支路电流为正，流出节点的支路电流为正，流入为负（或取流入为正，流入为负（或取流入为正，流出为负）则有：出为负）则有：节点节点 a -ia -i1 1+i+i2 2=0=0 节点节点 b -ib -i2 2+i+i3 3+i+i4 4=0=0 KCLKCL的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的表的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的表现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间间现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的，隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的，或在节点上
4、不可能有电荷的积累，即每个节点上电或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上电荷守恒。荷守恒。KCL KCL的重要性和普遍性还体现在该定律与电路中元件的重要性和普遍性还体现在该定律与电路中元件的性质无关，即不管电路中的元件是的性质无关，即不管电路中的元件是R R、L L、C C、M M、受、受控源、电源，也不管这些元件是线性、时变、定控源、电源，也不管这些元件是线性、时变、定常、常、KCLKCL的也适用于广义节点，的也适用于广义节点，即适合于一个闭合面。右即适合于一个闭合面。右图所示电路，根据图所示电路，根据KCLKCL设流设流入节点的电流为负，则：入节点的电流为负，则：-i-i1 1-i-i
5、2 2-i-i3 3=0=0 2 2 基尔霍夫电压定律（基尔霍夫第二定律）基尔霍夫电压定律（基尔霍夫第二定律）KVL 对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于零。零。1()0nkkv t KVL反映了回路中各支路电压间的相互约束反映了回路中各支路电压间的相互约束关系。关系。对右图所示电路，取支路电对右图所示电路，取支路电压方方向与回路方向一致时压方方向与回路方向一致时为正，否则为负，则有为正，否则为负，则有 回路回路 v4-v5+v6=0 回路回路 -v1+v5-v4-v3=
6、0 KVL实质上是能量守恒定律在集中参数电路实质上是能量守恒定律在集中参数电路中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出发点，它获得的能量（即电位升）必然等于发点，它获得的能量（即电位升）必然等于在同一过程中所失去的能量（即电位降）。在同一过程中所失去的能量（即电位降）。KVL的重要性和普遍性也体现在该定律的重要性和普遍性也体现在该定律与回路中元件的性质无关。与回路中元件的性质无关。KCL、KVL只对电路中各元件相互连接只对电路中各元件相互连接时，提出了结构约束条件。因此，对电时，提出
7、了结构约束条件。因此，对电路只要画出线图即可得方程。路只要画出线图即可得方程。例：例：右图所示电路中右图所示电路中Ec=12V，Rc=5k，Re=1 k，Ic=1mA，Ib=0.02mA，求：求：Vce及及c点、点、e点的电位。点的电位。解：解：KCL：Ie=Ib+Ic=0.02+1=1.02mA KVL：RcIc+Vce+ReIe-Ec=0 Vce=5.98Vc=Ec-RcIc=7V(或c=vce+e=7V)，e=ReIe=1.02V物理系统的数学模型物理系统的数学模型1 12 2数数学学模模型型的的定定义义建建立立数数学学模模型型的的基基础础 1 1 物理系统的数学模型物理系统的数学模型1
8、 12 23 3数数学学模模型型的的定定义义建建立立数数学学模模型型的的基基础础提提取取数数学学模模型型的的步步骤骤1 1 数学模型的定义数学模型的定义恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统1 1 数学模型的定义数学模型的定义系统框图系统框图 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态-稳定运动1 1 数学模型的定义数学模型的定义数学模型：数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能动态性能的运动方程运动方程 依据系统及元件各变
9、量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为建立数学模型的方法：数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域：微分方程差分方程状态空间模型冲激响应函数模型频率域：频率域：传递函数模型频率响应函数模型数学模型的准确性和简化2 2 建立数学模型的基础建立数学模型的基础差分方程差分方程 （离散系统）（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性(),dyy tdt(),()y kTy kTT电气系统三元件电气系统三元件电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。3 3 提取数学模型的步骤提取数学模型的步骤 划
10、分环节 写出每或一环节(元件)运动方程式 消去中间变量 写成标准形式注：列写微分方程的关键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律，而不是数学本身负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程）划分环节划分环节 按功能（测量、放大、执行）写出每或一环节写出每或一环节(元件元件)运动方程式运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。写成标准形式写成标准形式例如微分方程中，将与输入
11、量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。入变量的运动方程。(t)为输输入电压U(t)为输出变量和以压U试求出以输出电成的电路，如图所示.和电阻R组设有由电感L，电容C 例1ioL i(t)Uo(t)Ui(t)RCiooooooiCoLRCLRiUUdtdURC2dtU2dLC 代入（3）并整理得dtdUCi(t)即 i(t)C1dtdU 对（2）式求导得（3）UdtdiLRi(t)U（2）idtC1UUdtdiLURi(t)U（1）UUUU有解：根据基尔霍夫定律L i(t)Uo(t)Ui(t)RC解：系统的运动方程作用产生位移Y，求该物体受到
12、外力系统，图中质量为m的如图所示为一弹簧阻尼 例2，ymm0dtdyf F K）yfP2（mP 则有：2dt2d2P dtdP 记FKydtdyf2dty2dm dtdyffF KysF fFsFFFma 根据牛顿定律输出量：位移y 输入量：外力FyK 解：试建立其数学模型已知二串联液体储罐，例3，数阀1，阀2的阻力系2，R1R数储罐1，2的容量系2，C1C间）流出量的变化（单位时阀2开度改变引起的fQ（单位时间）的变化引起的流量变化2液位hhQ 1h1k11Q 2h2k1hQ dt2dh2C）fQh（Q-1Q dt1dh1C1QinQ f，QIN，输入量Q2输出量h dtfdQ2R1TfQ2
13、RinQ2R2hdt2dh）2T1（T2dt2h2d2T1TdtfdQ2R1R1C-fQ2R-inQ2R2hdt2dh）2R2C1R1（C2dt2h2d2R2C1R1C 之间的关系式：2输出参数h（干扰作用）与f（调节参数）和Qin参数Q消去中间变量可得输入 Ua 4解：解：的系统运动方程的系统运动方程为输出量时为输出量时及角位移及角位移动机输出轴角速度动机输出轴角速度为输入变量和分别以电为输入变量和分别以电以电枢电压以电枢电压统，如图所示，试列写统，如图所示，试列写设有带载直流电动机系设有带载直流电动机系例例 消去中间变量得：消去中间变量得：磁力矩为磁力矩为在恒定磁场中产生的电在恒定磁场中产
14、生的电电枢电流电枢电流，当电动机空载时，当电动机空载时，成正比，即成正比，即而电动机的反电动势与而电动机的反电动势与运动方程为：运动方程为：流电动机电枢回路的流电动机电枢回路的根据基尔霍夫定律，直根据基尔霍夫定律，直iCMi0MCeEUEiRMLaa fMdtdJdtdiLa可得相应运动方程。可得相应运动方程。为输出量，则根据关系为输出量，则根据关系若以若以）（）（，则由牛顿定律有，则由牛顿定律有时，时，当电动机输出轴带负载当电动机输出轴带负载）（）（dtdMRdtdMLUCCCfRdtdfLJRdtdJLdtLaLaaMeMaaaa 22LLaMeMaaa22aM-f-M dtdJ 0MUC
15、CCfRdtdfLJRdJL 将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差线性化。）处展开，进行线性化，在预期工作点（），（的非线性函数和，将具有两个自变量例001YXYXFZYXYYYXXYFXYYXXXFYXFYYYXXYFXYYXXXFYXFYXFYXYYYXXYFYXYYXXYXFYYYYFXXXXFYXFYXFZYX000000000020022002210|0|0000）（）（），（）（）（），（），（项有的二阶及二阶以上高阶，忽略
16、）（）（）（！），（），（）邻域有，在（XXfXdxdfXFXFXdXfdXdxdfXFXFYYXXFYXXXXXX ）（）（）（）（）（）（！）（）（）（），）线性化，工作点为（）线性化，工作点为（将将例例，0022200000021.2几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲线。说明：A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或偏导数存在,如图所示的继电器特性，的各界导数处处不存在，本质非线性；B.必须明确工作点的参数；C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，只能适用于变量的微小变化。1X.定义定义传递函数传递函数：初始条件为
17、初始条件为 零时，线性定常系统或零时，线性定常系统或元件输出信号的拉氏变换与输入元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。变换的比，称为该系统或元件的传递函数。)(1)1110()(2)12110(:txmbpmbmpbmpbtxnapnanpanpanp 为为设描述系统的微分方程设描述系统的微分方程解：网络的传递函数，试求例CLR1 1211212121212LCP RCSLCSSUSUSGSUSURCSLCPtUtURCP）（）（条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始）（）（）（由前面知 naSnanSanSmbmSbmSbSXSXSG 111
18、110)(1)(2则其传递函数为则其传递函数为二 传递函数的性质传递函数的性质1.线性定常系统或元件的运动方程与传递线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。系统或元件的描述。2.传递函数是表征线性定常系统或元件自传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式身的固有特性，它与其输入信号的形式无关无关，但和输入信号的作用位置及输出，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。信号的取出位置有关。).(2)(1P-(S).(2)(1Z-(SkG(S)nPSPSmZSZS3.传递函数是复变量S的
19、有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数N大于等于分子多项式的次数M，。MN 4.传递函数写成 的形式，则 和 为G(S)的零点和极点。mZZZZ321,nPPPP321,5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。G(S)X1(S)X2(S)X(S)X(S)X(S)(S)G(S)X(S)X 12三.方块图1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示 ；(3).分支点:信号分出的一点,称为分支点,通过分支点的信号都是相同的；(4).方框:对信号进行的数学变换；(S)X-(S)XE(S)212.常用符号及术语E(S)X1(S)X2(S)(2).相加点(比较点）(1).信号
20、线:带箭头的直线,箭头表示信号方向；G1(S)G2(S)X1(S)X3(S)X2(S)G1(S)G2(S)+X3(S)X1(S)X2(S)X4(S)G2(S)G1(S)+Y(S)X1(S)E(S)X2(S)（5）.方框图的串联、并联、反馈连接。G1(S)G2(S)X1(S)X3(S)X2(S)(S)(S)GGG(S)()()(X )()()(X 21113322SXSGSSXSGS3方框图的运算(1)串联连接的传递函数 结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传函之积。G1(S)G2(S)+X3(S)X1(S)X2(S)X4(S)(.)()()(21SGS
21、GSGSGn)()()()()(S)X(S)XG(S)2114312SGSGSXSXSX(2)并联连接的传递函数结论：二环节并联，其等效传函等于二环节传 函之和。推广：N环节并联，其等效传函等于各环节传 函之和。G2(S)G1(S)+Y(S)X1(S)E(S)X2(S)()(1)()(S)X(S)(S)(S)X(S)GG-(S)(S)XG(S)X (S)(S)XG-(S)(S)XG(S)X(4)(3)(4)Y(S)-(S)(S)XG(S)X (1)(2)(3)(S)(S)XGY(S)(2)Y(S)-(S)X(S)(1)()()(211122211122211211222112SGSGSGSXE
22、SESGSX代入代入(3)反馈回路传递函数的求取前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。反馈通道传函前向通道传函前向通道传函闭环传函1当为正反馈时 )()(1)()(211SGSGSGS结论：)1(:1递函数试求如图所示系统的传例G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)(S)(S)G(S)GG(S)(S)G(S)GG )()()()()(4314214321SGSGSGSGSG)()()()(1(S)(S)GG(S)432121SGSGSGSG(2)G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)()()()(1)()()()()(1)()()()()()()()(
23、)()()()()()()()()()(212212112211SFSHSGSGSGSRSHSGSGSGSGSCSFSXSXSXSGSCSCSHSYSYSRSSSGSX G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)Y(S)-C(S)(S)F(S)(1)若 则 定义：C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭 环传函，记为 ，即 开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积 称为开环传函，记为G(S)。单位反馈：若H(S)=1，则系统称为单位反馈系 统。)(S)()()(1)()()()()()()()(1)()()()(21212121SHSGSGSGSGSRSCSSHSGSGSGS
24、GSRSC0)(SF(2)若定义：C(S)/F(S)为被控信号对于扰动信号的闭环传函，记为 。(3)令 称为误差传函(S)-1(S)(S),)(1)()()()()()(2)(11)()()(2(S)H(S)2(S)G1G1R(S)(S)()()(2)(11)(2)()(0)(eeSGSRSRsSeSHSGSGSFSHSGSfSHSGSGSGSFSCSR)(Sf 控制系统方框图：应用函数方框把控制系统的全部变量联系起来以描述信号在系统中流通过程的图示。一.方框图的绘制 步骤:1.写出组成系统的各环节的运动方程 (传递函数)；2.根据传递函数画出相应的函数方框；3.按信号流向将函数方框一一连接起
25、来。:1解源网络的结构图试绘制如图所示无例式有式有由由(1)(4)(CS1(S)IR c1 (3)I(S)R(S)U (2)(S)U(S)RI(S)U (1)(S)I(S)II(S)2111122020011i0112121SIiRdtiiRuuRiuiiii Cii1i2R1R2UiU0I2(S)I1(S)I(S)+R1CSI1(S)I2(S)R2I(S)U0(S)()(1)()2(0i1SUSURSI式变换对U0(S)UI(S)I1(S)1/R+-)()()4(112SCSIRSI式变换对式有对)3(Ui(S)U0(S)I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)1/RR2CSR1+二.方框
26、图的简化G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)G(S)X2X1X1(1)分支点前移分支点等效移动规则分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。(2)分支点后移分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数的方框。G(S)1/G(S)X1X2X1G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3 (1)相加点前移2相加点等效移动规则相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框(2)相加点后移 相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。G1G2G3G4G5G7G6-BA并求其闭环传递函数。试对其进行简化图所
27、示设多环系统的方框图如例 ,1(1)前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；(2)各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变。3.方框图的简化原则处移至将分支点解BA:G1G2G3G4G4G5G7G6-点后移或者相加点后移另外亦可把则得将系统的闭环传函BGGGGGGGGGGGGGGGS6325437432114321)(x1x4x3x2abc1节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用“o”表示。传输：两节点间的增益或传递函数称为传输。支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段支路的增益即为传输。源点：只有输出支路而无输入支路的节点（与系统的输入信号相对应）。一.信号流图的常用术语:阱点：只有输
28、入支路而无输出支路的节点称为阱点或输 出节点，与输出信号相对应。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径。开通路：如通路与任意节点相交不多于一次，称为开通 路。闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其 它节点相交次数不多于一次，则称为闭通路或 回路。回路增益：回路中各支路传输的乘积。不接触回路：回路间没有任何共有节点，则称其为不接 触回路。前向通路：从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，称为前向通路，前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。二.信号流图的基本性质x1x4x3x2abc11以节点代表变量，源点代表输入量，阱点代表
29、输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于各支路信号的叠加。2以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。3增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。4对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。三.信号流图的简化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a4abX1X2X1X2aba1 (1)串联支路的总传输等于各支路传输之积;(2)并联支路的总传输等于各支路传输之和;(3)混合节点可以通过移动支路的方法消去
30、;(4)回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。四.梅森增益公式余子式。余子式。称为前向通道特征式的称为前向通道特征式的后的特征式后的特征式路路条前向通道相接触的回条前向通道相接触的回中除去与第中除去与第在在益乘积之和益乘积之和每三个互不接触回路增每三个互不接触回路增乘积之和乘积之和每两互不接触回路增益每两互不接触回路增益所有回路增益之和所有回路增益之和其中其中即即信号流图的特征式信号流图的特征式条前相通道的通路增益条前相通道的通路增益第第总增益总增益,L:.L-1,-1p aabcaa1KLLLLLLLLLLKpppkdeffedbccbdeffedcbknkkk。图所示系统的传递函数使用梅
31、森增益公式求下例 17432154363243211111743215436323217432135432321143211GGGGGGGGGGG1GGGGP1PR(S)C(S)(11)(1GGGGGL GG-GL ,)(R(S):接触接触三个回路均与三个回路均与不存在互不接触回路不存在互不接触回路各回路增益分别为各回路增益分别为信号流图共有三个回路信号流图共有三个回路间只有一条前向通路间只有一条前向通路与与解解PGGGGGGGGGGGLLLGGGLGGGGPSCR(S)11G1-G7-G6-G5G3G2C(S)G4例2.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数R(S)11G1G3G2C(S)G4-1-H1-H2CG1G2G3G4-H1H2R 4124232321121413212211212141242323211215432141524423233212121141232111GGGGGPP1PR(S)C(S)1 11)(1GGL HGLHGGL GG-GL ,)(R(S):GGHGHGGGGGHGGPPGGHGHGGGGGHGGLLLLLHGGLGGPGGGPSC 接触接触和和五个回路均与五个回路均与不存在互不接触回路不存在互不接触回路各回路增益分别为各回路增益分别为信号流图共有五个回路信号流图共有五个回路间有两条前向通路间有两条前向通路与与解解
