1、10.3 自感与互感现象 本节介绍线圈的电磁感应现象及其一般规本节介绍线圈的电磁感应现象及其一般规律律,并导出磁场能量密度表达式并导出磁场能量密度表达式.自感现象与自感系数自感现象与自感系数互感现象与互感系数互感现象与互感系数磁场能量密度磁场能量密度1.自感现象与自感系数自感现象与自感系数(1)自感现象自感现象:若线圈中电流发生变化若线圈中电流发生变化,通过线圈通过线圈包围面积的磁通量随之变化包围面积的磁通量随之变化,于是在线圈中便产于是在线圈中便产生自感电动势和感应电流生自感电动势和感应电流.自感电动势的方向自感电动势的方向可由楞次定律确定可由楞次定律确定.IL电流电流感应感应增加增加电流增
2、大电流增大,磁通量增加磁通量增加,感应电流磁场阻止磁通量增加感应电流磁场阻止磁通量增加,自感电动势与电流方向相反自感电动势与电流方向相反.电流减小电流减小,磁通量减小磁通量减小,感应电流磁场阻止磁通量减小感应电流磁场阻止磁通量减小,自感电动势与电流方向相同自感电动势与电流方向相同.IL电流电流感应感应减小减小自感电动势自感电动势总是阻碍线圈中电流的变总是阻碍线圈中电流的变化化.合上开关合上开关K时时,S2比比S1先亮先亮:线圈线圈L中自感电动势阻碍中自感电动势阻碍S1所在支路电流的增加所在支路电流的增加.LR1S2SK电源电源LR1S2SK电源电源断开开关断开开关K时时,S2比比S1先灭先灭:
3、线圈线圈L中自感电动势阻碍中自感电动势阻碍S1所在支路电流的降低所在支路电流的降低.结论结论:电流变化时电流变化时,会在线圈中产生自感电动势会在线圈中产生自感电动势,其方向可由楞次定律判断其方向可由楞次定律判断.自感电动势和电流变化率之间的关系自感电动势和电流变化率之间的关系？(2)自感系数自感系数已知密绕细已知密绕细、长长、直螺线管长度直螺线管长度、匝数匝数、截面积截面积分别为分别为 l、N、S,通有电流通有电流 i,那么那么每匝线圈的磁通每匝线圈的磁通量为量为 .由法拉第电磁感应定律可知螺线管中自由法拉第电磁感应定律可知螺线管中自感电动势为感电动势为LddNdtdt（）且知且知0NiBl0
4、NiBSSl20N SNil螺线管全磁通为螺线管全磁通为可见可见,螺线管的全磁通和电流强度成正比螺线管的全磁通和电流强度成正比.定义自感系数定义自感系数 L20N SLil显然显然,自感系数自感系数(简称简称自感自感)在数值上等于单位电在数值上等于单位电流在线圈中产生的流在线圈中产生的全磁通全磁通,且只与线圈的且只与线圈的几何参几何参数数及及周围环境周围环境有关有关.LddiLdtdt 可见可见,自感电动势与电流强度的变化率成反比自感电动势与电流强度的变化率成反比,且两者方向相反且两者方向相反,而而自感系数在数值上又等于单自感系数在数值上又等于单位电流变化率在线圈中产生的自感电动势位电流变化率
5、在线圈中产生的自感电动势.若周围存在磁介质若周围存在磁介质220rN SN SLill LLdi dt 又由又由可得可得有磁介质存在时有磁介质存在时0rLLL0:无介质时线圈的自感无介质时线圈的自感,:介质的相对磁导率介质的相对磁导率.r(3)传输线的自感系数传输线的自感系数 在高频信号传输中在高频信号传输中,传输线上存在着传输线上存在着分布电分布电容容和和分布电感分布电感.(a)双线式传输线双线式传输线(b)同轴传输线同轴传输线RRdiil0rrrd(a)双传输线的自感系数双传输线的自感系数在距导线在距导线 I 的的轴线轴线 r 处处,取面积元取面积元 dS:dS=ldr导线导线 I 中中电
6、流在面元处的磁感应强度电流在面元处的磁感应强度:riB20则通过面积元的磁通量为则通过面积元的磁通量为:0I2idB dSl drr 导线导线 I 中中电流磁场通过两线间面积的磁通量电流磁场通过两线间面积的磁通量(忽略忽略导线内部的磁通导线内部的磁通)为：为：00II00002ln2d rSrilddrrildrr000IIIln2rrdil通过回路间面积的总磁通为通过回路间面积的总磁通为:000IIIlnrrdil导线导线中电流磁场通过该面积中电流磁场通过该面积的磁通的磁通 等于等于 :那末那末,长为长为 l 双传输线双传输线的的自感系数自感系数为为:000lnrrdliL0dr单位长度双传
7、输线的单位长度双传输线的自感系数自感系数(分布电感分布电感)为为:000lnLdLlr通常通常,di/dt 很小很小,双传输线中自感电动势可忽略双传输线中自感电动势可忽略不计不计;而高频时而高频时 di/dt 很大很大,其自感电动势不能忽其自感电动势不能忽略略.00LdiLdt 单位长度双传输线的单位长度双传输线的自感电动势自感电动势为为(b)同轴传输线的自感系数同轴传输线的自感系数对长为对长为 l 的一段同轴传输线的一段同轴传输线,两圆筒两圆筒导体间的磁感应强度为导体间的磁感应强度为riB20方向与内部导体中电流方向与内部导体中电流 i 成右手螺成右手螺旋关系旋关系.通过如图所示矩形回路通过
8、如图所示矩形回路ABCD的磁通量为的磁通量为22011200211ddd2dln22RRSRRRRiBSBl rl rrililRrrRliiiABCDrrd1R2RB于是于是,长度长度 l 的一段同轴传输线的自感系数为的一段同轴传输线的自感系数为:120ln2RRliL因此因此,单位长度同轴传输线的单位长度同轴传输线的分布电感分布电感为为:0201ln2RLR2.互感现象与互感系数互感现象与互感系数 当一线圈中的电流变化时当一线圈中的电流变化时,会引起附近另一会引起附近另一线圈中的磁通量变化线圈中的磁通量变化,从而产生感生电动势从而产生感生电动势互互感电动势感电动势.(1)互感现象互感现象互
9、感电动势方向互感电动势方向同样可由同样可由楞次定律楞次定律确定确定.(2)互感系数互感系数互感电动势和电流变化率之间的关系？互感电动势和电流变化率之间的关系？N1:密绕线圈密绕线圈 I 的匝数的匝数N2:密绕线圈密绕线圈的匝数的匝数i1:流经线圈流经线圈 I 的电流的电流12:线圈线圈 I 的磁场穿过线圈的磁场穿过线圈每一匝的磁通量每一匝的磁通量2:线圈线圈 I 的磁场穿过线圈的磁场穿过线圈的的全磁通全磁通1iIII1N2N线圈线圈 I I 的磁场通过线圈的磁场通过线圈的全磁通为的全磁通为221212 1N M i互感系数互感系数 M12:线圈线圈对线圈对线圈 I 的互感系数的互感系数.线圈线
10、圈 I I 的电流变化的电流变化在线圈在线圈中产生的中产生的互感电动互感电动势势:21212MddiMdtdt 可见可见,线圈线圈中产生的互感电动势与线圈中产生的互感电动势与线圈 I 的的电流变化率电流变化率 di1/dt 成正比成正比.同样同样,线圈线圈在线圈在线圈 I I 中引起的互感电动势为中引起的互感电动势为:12121MddiMdtdt 互感系数互感系数M21:线圈线圈 I I 对于线圈对于线圈的互感系数的互感系数.理论和实验都证明理论和实验都证明:1221MMM1M 22M1diMdtdiMdt 互感电动势互感电动势3.自感系数与互感系数的关系自感系数与互感系数的关系 两相互靠近的
11、线圈两相互靠近的线圈,各自有其自感系数各自有其自感系数,相互相互间又存在互感系数间又存在互感系数.无漏磁无漏磁:两线圈中每一匝都具有相同的磁通量两线圈中每一匝都具有相同的磁通量.无漏磁情形无漏磁情形:两线圈并排密绕两线圈并排密绕III无漏磁时无漏磁时21212112N N Mii互感互感自感自感111222121122NN LLiiii，12212112NNMii2211212N N ML Lii12ML L12,MKL L一般情况下一般情况下耦合系数耦合系数 K:两线圈平行时两线圈平行时 K=1,垂直时垂直时 K=0.01K4.磁场能量磁场能量在讨论静电场能量时在讨论静电场能量时:与电容器类
12、似与电容器类似,通电线圈通电线圈也储存一定也储存一定的磁场能量的磁场能量.断开开关断开开关 K 时时,S1 还会突亮还会突亮一下一下:说明线圈中储存的磁说明线圈中储存的磁场能量通过负载转化为其它场能量通过负载转化为其它形式的能量形式的能量(如光能如光能).LR1S2SK电源电源 电容器储能电容器储能 ,电场能量密度电场能量密度 .212WCU212ewE线圈在通电过程中线圈在通电过程中:在在dt时间内时间内,电源电动势反抗自感电动势的元功为电源电动势反抗自感电动势的元功为LLdAdqidt LL di dt 而自感电动势而自感电动势dAL i di 故有故有所以所以,在建立电流过程中在建立电流
13、过程中,电源做功为电源做功为2012ImAdALidiLIW该功转化成线圈周围的磁场能量该功转化成线圈周围的磁场能量.通电线圈周围通电线圈周围储存的储存的磁场磁场能量能量能量转化能量转化电源电动势电源电动势 反抗反抗自感电动势自感电动势 做功做功L对长直螺线管对长直螺线管lNIB022020N SB lSLlI22220220011221122mB lSWLIIIBBlSVV=lS 螺线管内磁场的体积螺线管内磁场的体积.磁场能量密度磁场能量密度2012mmWBwV2201122mrBBw 21dd2mmVVBWwVV磁场能量密度磁场能量密度任意磁场任意磁场的总能量的总能量类似地类似地,有磁介质
14、存在时有磁介质存在时121d2BBVwBHWBHV其矢量形式为其矢量形式为磁场具有能量体现了磁场具有能量体现了磁场的物质属性磁场的物质属性.例例1.矩形截面螺绕环共有矩形截面螺绕环共有 N 匝线圈匝线圈、通有电流通有电流 I、其铁芯的相对磁导率为其铁芯的相对磁导率为 r,几何尺寸如图所示几何尺寸如图所示.求求:(1)螺绕环储存的磁场能量螺绕环储存的磁场能量;(2)螺绕环的自感系数螺绕环的自感系数.解解:方法方法1 取半径为取半径为r的磁感应线的磁感应线作为积分回路作为积分回路,其绕行方向与电其绕行方向与电流符合右手螺旋关系流符合右手螺旋关系(俯视图中为俯视图中为逆时针方向逆时针方向).由安培环
15、路定理得由安培环路定理得0dLHlINIrH2rNIH2又由又由HBrNIB2可得可得bha磁能密度磁能密度2222282rINBwm取高度取高度 h、半径半径 r、厚度厚度 dr 的薄壁的薄壁圆筒为体积元圆筒为体积元 dV.体积元内磁场能量为体积元内磁场能量为2222222dd2d28d4mBN IWwVdVrh rrN I hrr总磁场能总磁场能2222220dln44ln4barN I hrN I hbWraN I hba rrdrdh又由又由212WLIabhNIWLrln22202求得自感系数求得自感系数方法方法2:先求自感系数先求自感系数,再求磁场能量再求磁场能量.INIL求通过每
16、一匝线圈的磁通量求通过每一匝线圈的磁通量:2NIBr在半径在半径 r 处取高度处取高度 h、宽度宽度 dr 的面积元的面积元 dS.通过该面积元的磁通量通过该面积元的磁通量2NIdB dShdrr已知已知rrdh通过每一匝线圈的磁通量通过每一匝线圈的磁通量为为ln22bSaNINIhbdhdrra20ln2rN hNbLIa 自感系数自感系数再由再由212WLI求出求出220ln4rN hIbWa 10.4 麦克斯韦方程组变化电磁场的性质和规律可用一组方程完变化电磁场的性质和规律可用一组方程完全描述全描述麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组.变化电场产生磁场变化电场产生磁场位移电流位移电流麦克斯韦方程
17、组麦克斯韦方程组电磁波电磁波1.位移电流与感应磁场位移电流与感应磁场变化电场与它激发的磁场间的变化电场与它激发的磁场间的定量关系？定量关系？LH dli考察电容器充电过程中变化电考察电容器充电过程中变化电流流 i0 在其周围激发的磁场在其周围激发的磁场:若取若取积分回路积分回路L所包围曲面为所包围曲面为 S1:0LH dli若取积分回路若取积分回路L所包围曲面为所包围曲面为 S2:0LH dl于是于是,得到自相矛盾的结果得到自相矛盾的结果.q-q0i0iL1S2S+0iq由此说明由此说明:稳恒电流的安培环路定理并不适用于稳恒电流的安培环路定理并不适用于非稳恒情况非稳恒情况.虽然通过曲面虽然通过
18、曲面 S2 的传导电的传导电流流 i0=0,但其电位移通量的但其电位移通量的时间变化率并不等于零时间变化率并不等于零:DDSS00DdddqSidtdtdtDDddqidtdt定义定义位移电流位移电流上式表明上式表明:电容器极板间的位移电流电容器极板间的位移电流 iD 等于导线等于导线中的传导电流中的传导电流 i0.q-0i0iL1S2S+0IDqq全电流全电流:位移电流与传导电流之和位移电流与传导电流之和.普遍的安培环路定理普遍的安培环路定理:磁场强度沿闭合环路的积磁场强度沿闭合环路的积分等于通过该环路所包围任意曲面的全电流分等于通过该环路所包围任意曲面的全电流.00DDLdH dliiid
19、t0Diii物理意义物理意义:除除传导电流激发磁场外传导电流激发磁场外,反映电场变反映电场变化的位移电流同样激发磁场化的位移电流同样激发磁场.因此因此,全电流在空间是连续的全电流在空间是连续的.传导电流与位移电流的异同传导电流与位移电流的异同1.相同点相同点:同样会激发磁场同样会激发磁场.2.相异点相异点:a.位移电流实质上是变化的电场位移电流实质上是变化的电场,而传导电流是而传导电流是自由电荷的定向流动自由电荷的定向流动;b.位移电流与导体回路无关位移电流与导体回路无关,传导电流只能在导传导电流只能在导体中流动体中流动;c.位移电流不产生位移电流不产生焦耳热焦耳热,而传导电流会产生而传导电流
20、会产生焦焦耳热耳热.变化磁场在空间产生涡旋电场变化磁场在空间产生涡旋电场蓝线蓝线:磁场磁场红线红线:电场电场变化电场在空间产生感应磁场变化电场在空间产生感应磁场蓝线蓝线:磁场磁场红线红线:电场电场例例1.圆形平行板电容器极板半径圆形平行板电容器极板半径 R,间距间距 d.若两极板间电压随时间按若两极板间电压随时间按 Uab=Ua-Ub=kt 规律增规律增加加,求极板间的感应磁场求极板间的感应磁场.解解:变化变化电场在两极板间激发电场在两极板间激发感应磁场感应磁场,其其磁感应线在水平磁感应线在水平面内是一组同心圆面内是一组同心圆.在两极板之间在两极板之间,取半径为取半径为 r 的磁感应线为积分回
21、的磁感应线为积分回路路,由安培环路定理有由安培环路定理有:dDDLdHlidtabrEBLSBddlE dSdtLSBEdldSt2:2BErRrrt2rEBt有有abUktEdd由由2rkBd得得将将 与与 代入代入 可得可得 DEBHDLdH dldt2:2BErRrRt22REBrtabUktEdd22R kBrd2,)2,)2rkrRdBR krRrd（有有同样有同样有得得ROErBRrB2Rkd2.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组现在现在,有可能总结电磁感应的基本规律有可能总结电磁感应的基本规律.1860年年,麦克斯韦麦克斯韦通过引入通过引入涡涡旋电场旋电场和和位移电流位移电流的概念的概
22、念,总总结出麦克斯韦方程组结出麦克斯韦方程组,形成体形成体系完整的电磁场理论系完整的电磁场理论.(1)电场电场00iSSSqEdS0SLEdl0KSEdSKLSBEdldSt KSEEE静电场静电场 :由静止电荷所激发由静止电荷所激发.SE涡旋电场涡旋电场 :由变化磁场所激发由变化磁场所激发.KE空间总电场空间总电场 :静电场与涡旋场的叠加静电场与涡旋场的叠加.ESKDDD00)iSKSSSqE dSEEdS（KLLSBE dlEdldSt 0diSSDSq有介质存在时有介质存在时()SKLLSBE dlEEdldSt(2)磁场磁场00SBdS000LLiBdlI00LLiHdlI有介质时有介
23、质时:0iSB dSDiDLSdDHdlIdSdtt稳恒磁场稳恒磁场 :由传导电流所激发由传导电流所激发.0B感应磁场感应磁场 :由变化电场由变化电场(位移电流位移电流)所激发所激发.iB空间总磁场空间总磁场:稳恒磁场与感应磁场的叠加稳恒磁场与感应磁场的叠加.磁场分布的磁场分布的一般规律一般规律:0iBBB00SLSB dSDH dlIdSt0iHHH 00.I.II0.III.IViSSLSSLSD dSqBE dldStB dSDH dlIdSt(3)麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组的积分形式积分形式:麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组不仅描述了电场和磁场的一般不仅描述
24、了电场和磁场的一般规律规律方程方程()与与(),而且反映了两者间的内在而且反映了两者间的内在联系联系方程方程()与与().000.I.II0.III.IVeDDBEtBDHjjjt 麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组的微分形式微分形式:自由电荷体密度自由电荷体密度;传导电流密度传导电流密度;位移电流密度位移电流密度.0e：0j：DDjt：介质性能方程介质性能方程:00.V.VI.VIIrrDEBHjE 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组(),以及描述介质性质的方以及描述介质性质的方程程()全面总结了电磁学的基本规律全面总结了电磁学的基本规律,是宏观是宏观电动力学的基本方程电动力学的基本方程.3.电磁波电
25、磁波麦克斯韦麦克斯韦方程组的一个重要结论是方程组的一个重要结论是预言了电磁预言了电磁波的存在波的存在.20年后年后,1887年年赫兹赫兹(H.Hertz)首先在首先在实验上获得了电磁波实验上获得了电磁波.变化的电场变化的电场变化的磁场变化的磁场电磁场可独立于电荷和电流、电磁场可独立于电荷和电流、并以波动的形式在空间传播并以波动的形式在空间传播激发激发电磁波电磁波是求解麦克斯韦方程组的必然结果是求解麦克斯韦方程组的必然结果.自由空间中的电磁场满足麦克斯韦方程自由空间中的电磁场满足麦克斯韦方程:2222222222,1,1,ttzBcztzBttzEcztzEyyxx）（）（）（）（这类偏微分方程
26、称为这类偏微分方程称为波动方程波动方程,表示电场强度矢表示电场强度矢量与磁感应强度矢量分别沿量与磁感应强度矢量分别沿 x 和和 y 向向,并共同沿并共同沿 z方向传播方向传播.001c,),)EE x y z tBB x y z t（麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组求解求解上述波动方程的解为上述波动方程的解为000 EE fzctiBB fzctjEfzctjc（）（）（）00cBE）（）（）（）（ctzfBtzBctzfEtzEyx00,矢量形式解矢量形式解自由空间电磁场的性质自由空间电磁场的性质:(1)电场与磁场相互垂直电场与磁场相互垂直BE(2)电场强度与磁感应强度成比例电场强度与磁感应强度
27、成比例001cBE(3)沿沿 z 轴正方向传播的电磁波速度为轴正方向传播的电磁波速度为m/s1000.31800c(4)电磁波是横波电磁波是横波(5)可以证明可以证明000 EE f zctiBB f zctjEf zctjc （）（）（）是波动方程的解是波动方程的解,它所表示的电磁波沿它所表示的电磁波沿 z 方向方向传播传播.传播方向传播方向EB4.电磁波的能量电磁波的能量、能流与动量能流与动量(1)能量密度能量密度电磁波在空间某点的能量密度为电磁波在空间某点的能量密度为022022BEwwwME001ccBE，因为因为所以所以MEww 0220BEw(2)能量能量电磁波在空间某一区域的能量
28、为电磁波在空间某一区域的能量为22001dddVVVWw VEVBV(3)玻印亭矢量玻印亭矢量能量密度能量密度 :电磁波传播时电磁波传播时,能量也同时在传播能量也同时在传播.单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的能量能量,称为电磁波的能流密度称为电磁波的能流密度,它是矢量它是矢量,其方向其方向是电磁波传播的方向是电磁波传播的方向.SBES01能流密度也称为能流密度也称为玻印亭矢量玻印亭矢量,它是反映电磁波传它是反映电磁波传播特性的物理量播特性的物理量.电磁波的强度电磁波的强度I :电磁波能流密度的时间平均值电磁波能流密度的时间平均值.2max02max
29、020221BcEcEcSI(4)动量密度动量密度cwp BEcSp02电磁波的辐射压力电磁波的辐射压力:电磁波被介质反射时存在辐电磁波被介质反射时存在辐射压力射压力.正入射且全反射时的辐射压强为正入射且全反射时的辐射压强为:EBcP0动量密度动量密度 :单位体积内的电磁场动量单位体积内的电磁场动量.P5.单色波单色波）（）（kttBjBkztEiEsinsin00简谐波简谐波(单色波单色波):它是电磁波最简单它是电磁波最简单、最基本的最基本的形式形式.沿沿 z 轴正方向传播的单色平面波轴正方向传播的单色平面波波数波数波长波长周期周期频率频率圆频率圆频率2kcc212T2ck2k电磁波谱电磁波谱
