1、第十三章函数列与函数项级数13.1 函数项级数及一致收敛性一一 点态收敛点态收敛二二 函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题三三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性四四 一致收敛性判别一致收敛性判别 五五 小结小结问题的提出问题问题:（一）函数项级数的一般概念1.1.定义定义:,120 xxxnn例如级数例如级数一一 点态收敛点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:如果如果Ix 0,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点,
2、否否则则称称为为发发散散点点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:)()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?),(xsn例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收
3、敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,111)1(x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛.,11 x,111)2(x当当,11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;).,0)2,(故级数的收敛域为故级数的收敛域为,1|1|)3(x当当,20 xx或或4.函数项级数与其部分和函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。二二 函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交
4、换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题1.函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性 三三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性2.函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数设有函数项级数 1)(nnxu如果对于任意如果对于任意给定的正数给定的正数，都存在着一个只依赖于，都存在着一个只依赖于 的自的自然数然数N，使得当，使得当Nn 时，对区间时，对区间I上的一切上的一切x，都有不等式，都有不等式 )()()(xsxsxrnn成立，则成函数项级数成立，则成
5、函数项级数 1)(nnxu在区间在区间I上一致上一致收敛于和收敛于和)(xs，也称函数序列，也称函数序列)(xsn在区间在区间I上上一致收敛于一致收敛于)(xs定义定义 只要只要n充分大充分大)(Nn ,在区间在区间I上所有曲上所有曲线线)(xsyn 将位于曲线将位于曲线 )(xsy与与 )(xsy之间之间.xyoI )(xsy )(xsy)(xsy )(xsyn 几何解释几何解释:研究级数研究级数 111112111nxnxxxx在区间在区间),0上的一致收敛性上的一致收敛性.例例2 2解解,1)(nxxsn )0(01lim)(lim)(xnxxsxsnnn余项的绝对值余项的绝对值)0(1
6、1)()(xnnxxsxsrnn对于任给对于任给0 ，取自然数，取自然数 1 N，则当则当Nn 时，对于区间时，对于区间,0上的一切上的一切x，有有 )(xrn根根据据定定义义，所所给给级级数数在在区区间间,0 上上一一致致收收敛敛于于.0)(xs例例3 3研究级数研究级数 )()()(1232nnxxxxxxx在区间在区间(0,1内的一致收敛性内的一致收敛性.解解 该级数在区间该级数在区间(0,1)内处处收敛于和内处处收敛于和0)(xs，但并不一致收敛但并不一致收敛对于任意一个自然数对于任意一个自然数,n取取nnx21，于是，于是,21)(nnnnxxs,0)(nxs但但.21)()()(n
7、nnnnxsxsxr从而从而只要取只要取21 ，不论，不论n多么大，在多么大，在(0,1)总存在总存在点点nx，,)(nnxr使得使得因此级数在因此级数在(0,1)内不一致连续内不一致连续说明说明:从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列nnxxs)(在在(0,1)内处处内处处,0)(xs)(xsn在在(0,1)内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收敛一致收敛上上，这级数在，这级数在注意：对于任意正数注意：对于任意正数,01rr 小结小结一致收敛性与所
8、讨论的区间有关一致收敛性与所讨论的区间有关3.内闭一致收敛内闭一致收敛（1）概念（2）性质四四.一致收敛性判别一致收敛性判别 定理定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）()()nmfxfx2.一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则1用定义用定义 2)()(xfxfn22)()()()()()(xfxfxfxfxfxfmnmn)()(xfxfn0)()(suplimxfxfnDxn()()nfxf x由上确界的定义，亦有)()(supxfxfnDx)()(supxfxfnDx)()(sup)()(xfxfxfxfnDxn11,0121,22210,2)(22xnnxnxnnnxxnxfn,2,1
9、nnnfxfxfnnx)21()()(sup 1,0)(n定理定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）)()(xSxSnpnlimsup()limsup()()0.nnnnx Dx DRxS xSx定理定理13.513.5（WeierstrassWeierstrass判别法）判别法）如如果果函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间I上上满满足足条条件件:(1)(1)3,2,1()(naxunn;(2)(2)正项级数正项级数 1nna收敛收敛,4.一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：证证 由由条条件件(2)，对对任任意意给给定定的的0 ，根根据据柯柯西西审审敛敛原原理理存
10、存在在自自然然数数N，使使得得当当Nn 时时，对对于于任任意意的的自自然然数数p都都有有.221 pnnnaaa由由条条件件(1)，对对任任何何Ix，都都有有)()()(21xuxuxupnnn )()()(21xuxuxupnnn ,221 pnnnaaa令令 p,则则由由上上式式得得 2)(xrn.因因此此函函数数项项级级数数 1)(nnxu在在区区间间I上上一一致致收收敛敛.例例4 4证明级数证明级数 22222sin22sin1sinnxnxx在在),(上一致收敛上一致收敛.证证在在),(内内),3,2,1(1sin222 nnnxn 级级数数 121nn收收敛敛，由由魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法，所给级数在所给级数在),(内一致收敛内一致收敛（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛绝对一致收敛的.5.五、小结点态收敛点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性判别一致收敛性判别 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性作业：P35 1-6.
