1、第4章因式分解请请把把12、15因因数数分分解解：1 12 2=2 22 23 3；1 15 5=3 35 512、15这这两两数数有有公公因因数数吗吗？如如图图，由由一一个个边边长长为为a a的的小小正正方方形形与与一一个个长长、宽宽分分别别为为a a、b b的的小小长长方方形形拼拼接接成成一一个个大大长长方方形形A AB BC CD D。aabaAabBDCa请请用用两两种种不不同同的的方方法法表表示示长长方方形形A AB BC CD D面面积积,写写出出一一个个等等式式。a a(a a+b b)=a a2 2+a ab ba a2 2+a ab b=a a(a a+b b)mambmc+
2、mambmcm(abc)+=+探探索索发发现现解解:公公因因式式多多项项式式中中各各项项都都含含有有的的相相同同因因式式,称称之之为为公公因因式式提提公公因因式式法法这这个个多多项项式式中中有有相相同同的的因因式式么么？你你能能将将以以上上方方法法用用于于多多项项式式2 2a ab b+4 4a ab bc c的的因因式式分分解解吗吗？应应提提取取的的公公因因式式为为:_ _ _ _ _ _ _ _ _议议一一议议：多多项项式式有有公公因因式式吗吗？是是什什么么？2336ax yx yz 233ax ya x x y 362 3x yzx x x y z 23x y如如果果一一个个多多项项式式
3、的的各各项项含含有有公公因因式式，那那么么就就可可以以把把这这个个公公因因式式提提取取出出来来进进行行因因式式分分解解，这这种种分分解解因因式式的的方方法法叫叫做做提提取取公公因因式式法法。2 2a ab b+4 4a ab bc c=2 2a ab b(1 1+2 2c c)为为了了提提取取公公因因式式后后，使使多多项项式式余余下下的的各各项项不不再再含含有有公公因因式式！如如何何确确定定应应提提取取的的公公因因式式？定定义义：2 2.字字母母:提提取取相相同同字字母母最最低低次次幂幂。1 1.系系数数:提提取取最最大大的的公公约约数数;方方法法:1 1.3 3x x2 2-3 3y y_
4、_ _ _ _ _ _ _2 2.2 2a a+3 3a ab b_ _ _ _ _ _ _ _3 3a a公公因因式式3 3.3 30 0m mb b2 2+5 5n nb b3 3；5 5b b2 24 4.多多项项式式3 3a a(b b-c c)+8 8(b b-c c)的的公公因因式式是是；（b b-c c）5 5.多多项项式式1 15 5a a2 2b b3 3-6 6a a3 3b bc c的的公公因因式式是是；3 3a a2 2b b1 1.3 3x x2 2-3 3y y_ _ _ _ _ _ _ _2 2.2 2a a+3 3a ab b_ _ _ _ _ _ _ _3 3
5、.1 12 2s st t-1 18 8t t_ _ _ _ _ _ _ _ _4 4.2 2x xy y+4 4y yx xz z1 10 0y yz z_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 5.3 3a ax x3 3y y+6 6x x4 4y yz z_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _6 6.7 7a a2 2b b3 3-2 21 1a ab b2 2c c_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _公公因因式式2y6t3x3y7ab23a找找一一找找：多多项项式式中中的的公公因因式式可可以以是是单单项项式式，也也可可以以是是多多项项式式。7、7(a3)b(a3
6、)；（a a-3 3）9x2+6xy的的公公因因式式。系系数数：最最大大公公约约数数。-3字字母母：相相同同字字母母x所所以以，公公因因式式是是指指数数：最最低低次次幂幂1-3x分分解解因因式式：-9x2+6xy=-3x()3x-y找找一一找找：解解:(2 2)多多项项式式3 3m mx x6 6n nx x2 2的的公公因因式式是是例例1 1、(1 1)多多项项式式8 8a a3 3b b2 2+1 12 2a ab b3 3c c的的公公因因式式是是(2 2)3 3m mx x6 6n nx x2 2=4 4a ab b2 22 2a a2 2+4 4a ab b2 23 3b bc c=
7、4 4a ab b2 2(2 2a a2 2+3 3b bc c)(1 1)8 8a a3 3b b2 2+1 12 2a ab b3 3c c=3 3x xm m3 3x x2 2n nx x=3 3x x(m m2 2n nx x)其其中中因因式式2 2a a2 2+3 3b bc c中中的的2 2a a2 2和和3 3b bc c是是相相当当于于将将多多项项式式8 8a a3 3b b2 2+1 12 2a ab b3 3c c的的每每一一项项分分别别除除以以4 4a ab b2 2而而得得到到的的。4 4a ab b2 23 3x x(3 3)-4 4x x3 3+1 16 6x x2
8、 2-3 30 0 x x=(-2 2x x)(2 2x x2 2)+(-2 2x x)(-8 8x x)+(-2 2x x)1 15 5=-2 2x x(2 2x x2 2-8 8x x+1 15 5)=a ab b(6 6a ac c3 3-7 7b b)=a ab b6 6a ac c3 3-a ab b7 7b b(2 2)6 6a a2 2b bc c3 3-7 7a ab b2 2=3 3x x2 2(1 1+3 3x x2 2)=3 3x x2 21 1+3 3x x2 23 3x x2 2(1 1)3 3x x2 2+9 9x x4 4解解：(3 3)-4 4x x3 3+1
9、16 6x x2 2-3 30 0 x x(2 2)6 6a a2 2b bc c3 3-7 7a ab b2 2(1 1)3 3x x2 2+9 9x x4 4例例2 2、把把下下列列各各式式分分解解因因式式例例3 3、把把8 8a a3 3b b2 21 12 2a ab b3 3c c+a ab b分分解解因因式式.解解：8 8a a3 3b b2 21 12 2a ab b3 3c c+a ab b当当多多项项式式的的某某一一项项和和公公因因式式相相同同时时，提提公公因因式式后后剩剩余余的的项项是是1。=a ab b 8 8a a2 2b b-a ab b 1 12 2b b2 2c
10、c+a ab b 1 1=a ab b(8 8a a2 2b b-1 12 2b b2 2c c+1 1)（1 1）2 2x x2 2+3 3x x3 3+x x=x x(2 2x x+3 3x x2 2)（2 2）a a2 2c c-6 6a a3 3c c=3 3a a2 2(c c-2 2a ac c)（3 3）-2 2s s3 3+4 4s s2 2-6 6s s=-s s(2 2s s2 2+4 4s s-6 6)（4 4）a a2 2b b+6 6a ab b2 2-8 8a a=-2 2a ab b(2 2a a-3 3b b)-8 8a a下下列列的的分分解解因因式式对对吗吗？
11、如如不不对对，请请指指出出原原因因:应应为为:原原式式=x x(2 2x x+3 3x x2 2+1 1)应应为为:原原式式=-2 2s s(s s2 2-2 2s s+3 3)应应为为:原原式式=a a(a ab b+6 6b b2 2-8 8)应应为为:原原式式=a a2 2c c(1 1-2 2a a)1 1、2 21 1x2y+7 7x xy y2 2、-4 4x x2 2+8 8a ax x+2 2x x把把下下列列各各式式分分解解因因式式:练练一一练练：4 4、4 4a a2 2b b+1 10 0a ab b-2 2a ab b2 23 3、2 2a ax x2 2+a ay y
12、5 5、-3 3x x2 2y y+1 12 2x xy y2 2-2 27 7x xy ya a(2 2x x2 2+y y)2 2a ab b(2 2a a+5 5-b b)-3 3x xy y(x x-4 4y y+9 9)7xy（3x+1）-2 2x x（2 2x x-4 4a a-1 1）6 6、8 8a a2 2b bc c-4 4a ab b4 4a ab b(2 2a ac c-1 1)7 7、x x2 2+3 3x x-x x(x x+3 3)你你能能概概括括出出提提取取公公因因式式法法的的一一般般步步骤骤吗吗？反反思思回回顾顾1 1.确确定定应应提提取取的的公公因因式式；2
13、 2.用用公公因因式式去去除除这这个个多多项项式式，所所得得的的商商作作为为另另一一个个因因式式3 3.把把多多项项式式写写成成这这两两个个因因式式的的积积的的形形式式。提提取取不不尽尽疏疏忽忽变变号号只只提提取取部部分分公公因因式式,整整个个式式子子未未成成乘乘积积形形式式。(2 2).提提取取公公因因式式要要彻彻底底;注注意意易易犯犯的的错错误误:漏漏项项(1 1).当当首首项项系系数数为为负负时时,通通常常应应提提取取负负因因数数,在在提提取取“”号号时时,余余下下的的各各项项都都变变号号。（5 5）(2 2a a-b b)2 2+2 2a ab b=(2 2a ab b)2 2+()（
14、6 6）a a(s s+t t)s st t=a a(s s+t t)()回回顾顾去去括括号号法法则则，完完成成下下列列填填空空：（1 1）1 1-x x=+();（2 2）-x x+1 1=-()（3 3）x x-y y=+();（4 4）-x x-y y=-()你你能能概概括括出出添添括括号号法法则则吗吗？1 1-x xx x-1 1x x-y yx x+y y括括号号前前面面是是“+”号号，括括到到括括号号里里的的各各项项都都不不变变号号；括括号号前前面面是是“-”号号，括括到到括括号号里里的的各各项项都都变变号号。知知识识准准备备2 2a a-b bs s+t t注注意意：提提取取公公
15、因因式式时时，有有时时需需要要将将因因式式经经过过符符号号变变换换、字字母母位位置置重重新新排排列列或或添添括括号号后后，才才能能看看出出公公因因式式。=(a a-b b)(2 2a a-2 2b b-1 1)=(a a-b b)2 2(a a-b b)-1 1=2 2(a a-b b)2 2-(a a-b b)2 2(a a-b b)2 2a a+b b解解:例例3 3、把把2 2(a a-b b)2 2-a a+b b分分解解因因式式【例例3 3】:把把下下列列各各式式分分解解因因式式:(1 1)a a(x x-y y)x x+y y(2 2)2 2a a(x x-8 8)+b bn n(
16、8 8-x x)(2 2)(x x-8 8)(2 2a a-b bn n)(1 1)(x x-y y)(a a-1 1)练练一一练练：(3 3)(a a+2 2)2 22 2a a(a a+2 2)(2 2+a a)(2 2-a a)或或-(a a+2 2)(a a-2 2)（4 4）7 7(x x3 3)x x(3 3x x)（5 5）4 4x x2 2+8 8a ax x+2 2x x（6 6）3 3a ab b+6 6a ab bx x9 9a ab by y2 25 5x x-5 53 3x x3 3-3 3x x2 29 9x x8 8a a2 2c c+2 2b bc c-4 4a
17、 a3 3b b3 3+6 6a a2 2b b-2 2a ab ba a(x x-y y)+b by y-b bx x把把下下列列各各式式分分解解因因式式：=5(5x-1)=3x(x2-x-3)=2c(4a2+b)=-2ab(2a2b2-3a+1)=(x-y)(a-b)=a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)练练一一练练：1、确确定定公公因因式式的的方方法法：(1 1)、公公因因式式的的系系数数是是多多项项式式各各项项系系数数的的最最大大公公因因数数。(2 2)、字字母母取取多多项项式式各各项项中中都都含含有有的的相相同同的的字字母母。(3 3)、相相同同字字母母的的指指数数
18、取取各各项项中中最最小小的的一一个个，即即最最低低次次幂幂小小结结2、提提取取公公因因式式法法分分解解因因式式当当为为奇奇数数时时当当为为偶偶数数时时nnnn(xy)(yx)(xy)(yx)、整整体体的的思思想想1 1、分分解解因因式式计计算算（-2 2）1 10 01 1+（-2 2）1 10 00 02 2、利利用用简简便便方方法法计计算算：4 4.3 3x x1 19 99 9.8 8+0 0.7 76 6x x1 19 99 98 8-1 1.9 9x x1 19 99 9.8 83 3、已已知知a a+b b=3 3,a ab b=2 2,求求代代数数式式a a2 2b b+2 2a
19、 a2 2b2+a ab2的的值值.4 4、把把9 9am+12 21 1am+7 7a am-1分分解解因因式式.5 5、填填一一填填：32(1)32()aaaa 32(2)1022()6pppp 2321aa2351pp（3 3）-2 24 4x31 12 2x2+2 28 8x x=-4 4x x（）6 6x x2 2+3 3x x-7 76 6、若若多多项项式式-6 6a ab b+1 18 8a ab bx x+2 24 4a ab by y的的一一个个因因式式是是-6 6a ab b，那那么么另另一一个个因因式式是是（）（A A）-1 1-3 3x x+4 4y y（B B）1 1+3 3x x-4 4y y（C C）-1 1-3 3x x-4 4y y（D D）1 1-3 3x x-4 4y yD D7 7、若若多多项项式式(a a+b b)x xy y+(a a+b b)x x要要分分解解因因式式,则则要要提提的的公公因因式式是是.(a a+b b)x x
