1、2019-2020学年度第二学期高三最后一卷 数学 2020.06 一、 填空题 （本大题共14小题， 每小题5分， 共70分， 请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1. 已知集合A=-1,0,a2， B=-1,1， 则AB=B， 则实数a的值是 2. 已知复数z满足 3+4i z =i(i为虚数单位)， 则|z|= 3. 某校在高一、 高二、 高三三个年级中招募志愿者 50人， 现用分层抽样的方法分配三个年 级的志愿者人数， 已知高一、 高二、 高三年级的学生人数之比为 4:3:3， 则应从高三年级 抽取 名志愿者 4. 一个算法的伪代码如图所示， 执行此算法， 最后输出的S的值为 5. 已
2、知抛物线的准线也是双曲线 x2 m - y2 3 =1的一条准线， 则该双曲线的两条渐近线方程 是 6. 某校机器人兴趣小组有男生3名， 女生2名， 现从中随机选出3名参加一个机器人大赛， 则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 7. 已知数列 an是等比数列， Tn是其前n项之积， 若a5a6=a7， 则T7的值是 8. 已知f(x)=cosx+e x ， 则f(3-x)- f(3x+1)0的解集为 9. 如图， 已知正 ABC 是一个半球的大圆 O 的内接三角形， 点 P 在球面上， 且 OP 面 ABC， 则三棱锥P-ABC与半球的体积比为 10.已知sin( 2 - 8 )= 3 3 ，
3、 则sin+cos= . 11.设t表示不超过实数t的最大整数(如-1.3=-2， 2.6=2)， 则函数f(x)= 2x-1 - x的零点个数为 . 12.已知点M是边长为2的正ABC内一点， 且AM =AB +AC ， 若+= 1 3 ， 则MB MC 的最小值为 . 13.已知等腰梯形 ABCD 中， A = B = 60， AB = 2， 若梯形上底 CD 上存在点 P， 使得 PA=2 PB， 则该梯形周长的最大值为 . 14.锐角 ABC 中， a, b, c 分别为角 A,B, C的对边， 若 acosB= b(1 + cosA)， 则 a2 b2 + b c 的 取值范围为 .
4、 二、 解答题：（本大题共 6 道题， 计 90 分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步 骤） 15. （本小题满分14分） 设函数f(x)=cosxsin(x+ 3 )- 3 cos2x+ 3 4 ， xR. (1) 求f(x)的最小正周期和对称中心； (2) 若函数g(x)= f(x+ 4 )， 求函数g(x)在区间- 6 , 6 上的最值 16. （本小题满分14分） 如 图 ，四 面 体 ABCD 被 一 平 面 所 截 ，平 面 与 四 条 棱 AB, AC, CD, BD 分别相交于 E， F， G， H 四点， 且截面 EFGH 是 一个平行四边形， AD平面BCD， .
5、 求证： (1) EFBC； (2) EF平面ACD. A B C D E F G H 17. （本小题满分14分） 如图， 边长为 1的正方形区域 OABC 内有以OA为半径的圆弧AEC. 现决定从 AB 边上一点 D 引一条线段 DE 与圆弧 AEC 相切于点 E， 从而将正方形区域 OABC 分成三块： 扇形 COE 为区域 I， 四边形 OADE为区域II， 剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树， 区域II内 种花， 区域 III 内植草 . 每单位平方的树、 花、 草所需费用分别为 5a、 4a、 a， 总造价是W， 设AOE=2. (1) 分别用表示区域I、 II、 III的面
6、积； (2) 将总造价W表示为的函数， 并写出定义域； (3) 求为何值时， 总造价W取最小值？ 18. （本小题满分16分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的右准线为直线 x = 4， 左顶点为 A， 右焦点为 F. 已知斜率为 2 的 直线 l 经过点 F， 与椭圆 E 相交于 B, C 两点， 且 O 到直线 l 的距离 为 25 5 . (1) 求椭圆E的标准方程； (2) 若过 O 的直线 m : y = kx 与直线 AB, AC 分别相交于 M, N 两 点， 且OM=ON， 求k的值. A B C O E
7、 I II III Ox y A B C M N 19. （本小题满分16分） 已知函数f(x)=ex-ax2(aR). (1) 若曲线f(x)与直线l:y=(e-2)x+b(bR)在x=1处相切. 求a+b的值； 求证： 当x0时， f(x)(e-2)x+b； (2) 当a=0且x(0,+)时， 关于的x不等式x2f(x)mx+2lnx+1有解， 求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分16分） 已知数列 an的各项均为非零实数， 其前n项和为Sn， 且 Sn Sn+1 = an an+2 . (1) 若S3=3， 求a3的值； (2) 若a2021=2021a1， 求证： 数列 an是
8、等差数列； (3) 若a1=1， a2=2， 是否存在实数， 使得 2an-2am a2n-a2m对任意正整数m ， n恒 成立， 若存在， 求实数的取值范围， 若不存在， 说明理由. 2019-2020学年度第二学期高三最后一卷 参考答案 一、 填空题 1. 12. 53. 154. 155. y=3 x 6. 3 5 7. 18. -2, 1 2 9. 33 8 10. 2 3 11. 2 12. 1 3 13. 3+5 14. 3， 7 2 二、 解答题 15解： (1) 由已知， f(x)=cos x( 1 2 sin x+ 3 2 cos x)- 3 cos2x+ 3 4 = 1 2
9、 sin xcos x - 3 2 cos2x + 3 4 = 1 4 sin 2x - 3 4 (1 + cos 2x) + 3 4 = 1 4 sin 2x - 3 4 cos 2x = 1 2 sin(2x - 3 ) 4 分来 最小正周期为T=， 对称中心为 （k 2 + 6 ,0)kZ.7分 (2) g(x)= 1 2 sin(2x+ 6 ) 8分 g(x)在区间 6 , 6 上单调递增 .10分 g(x)max=g( 6 )= 1 2 12分 g(x)min=g(- 6 )=- 1 4 14分 16. 证明： (1) 因为四边形EFGH为平行四边形， 所以EFHG， 又EF平面BC
10、D，HG平面BCD， 所以EF平面BCD， .4分 又EF平面ABC， 平面ABC平面BCD=BC， 所以EFBC. .7分 (2) 因为AD平面BCD，BC平面BCD， 所以ADBC， 由(1)知EFBC， 所以EFAD. .10分 因为BCCD， 所以EFCD. .12分 又ADCD=D，AD、CD平面ACD， 所以EF平面ACD. .14分 17. 解： (1)如图，S1= 1 2 ( 2 -2)1= 4 - 2分 连接OD， 则ODEODA，DA=tan，S2=2 1 2 1tan=tan， 4分 S3=1-tan- 4 +. 5分 (2) W=5aS1+4aS2+aS3=a(3tan
11、-4+1)， 7分 由2 0, 2 ， 知(0, 4 )， 所以函数的定义域为(0, 4 ) 9分 (3) W=a( 3 cos2 -4)， 11分 由W=0， 得cos= 3 2 或cos=- 3 2 （舍去） 又(0, 4 )， 所以= 6 当00, x1+x2= 32 19 , x1x2= 4 19 . .6分 由A(-2,0)，B(x1,y1)可知AB:y= y1 x1+2 (x+2)， 由 y=kx, y= y1 x1+2 (x+2) 得xM= 2y1 k(x1+2)-y1 ， .9分 同理xN= 2y2 k(x2+2)-y2 ， 因为OM=ON， 所以1+k2 xM=1+k2 xN
12、， 由图可知xM+xN=0， .12分 所以2y1k(x2+2)-y2+2y2k(x1+2)-y1=0， 即(x1-1)k(x2+2)-2(x2-1)+(x2-1)k(x1+2)-2(x1-1)=0， 所以k= 4(x1-1)(x2-1) (x1-1)(x2+2)+(x2-1)(x1+2) = 4x1x2-(x1+x2)+1 2x1x2+(x1+x2)-4 .14分 = 4 4 19 - 32 19 +1 2 4 19 + 32 19 -4 = 4(4-32+19) 8+32-419 =1. .16分 19. 解： (1) 因为f x=ex-ax2， 所以fx=ex-2ax. 因为曲线f x与
13、直线l:y=(e-2)x+b在x=1处相切， 所以f1=e-2a=e-2， 所以a=1. 所以f x=ex-x2， 所以f 1=e -1. 又切点(1,e-1)在直线l上， 所以e -1=e-2+b， 所以b=1， 所以a+b=2； 4分 由知a=1,b=1， 可设h x=ex-x2- e-2x-1 x0， 则g(x)=hx=ex-2x- e-2,gx=ex-2， 当x0， 所以hx在0,ln2上单调递减， 在ln2,+上单调递增， 由h0=3-e0,h1=0,02n，m2n2， 所以2m-2nm2-n2， 即2m-m22n-n2对任意正整数m ， n（mn） 恒成立， 则2n+1- （n+1
14、） 22n-n2， 即2n-2n-0对任意正整数n恒成立， 设Cn=2n-n2， 则Cn+1-Cn=2n+1- n+1 2-2n+n2=2n-2n-1， 设Dn=2n-2n-1， 则Dn+1-Dn=2n+1-2(n+1)-1-2n+2n+1=2n-2， 当n5时，Dn+1-Dn0， 所以DnD50， 所以CnC50， 所以2nn2， 所以2n-2n-n2-2n-， 当n5且n+2+ 时，2n-2n-0， 所以不存在满足条件的实数. 16分 三、 加试题 21. 解： 设矩阵A的逆矩阵为 ab cd ， 则 -10 02 ab cd = 10 01 ， 即 -a-b 2c2d = 10 01 ，
15、 故a=-1，b=0，c=0，d= 1 2 . 所以矩阵A的逆矩阵为A-1= -10 0 1 2 . 5分 矩阵A-1的特征多项式为f = +10 0- 1 2 = +1- 1 2 令f =0， 解得A-1的特征值为1=-1,2= 1 2 10分 22. 解： 曲线C的直角坐标方程为x2+ y-m 2=4， 表示圆心为 0,m， 半径为2的圆 由cos + 3 =1， 得 1 2 cos- 3 2 sin=1， x-3 y-2=02分 设圆心到直线l的距离为d， 则d= |0-3 m-2| 1+3 2 = |3 m+2| 2 ， 4分 所以PQ=24- 3 m+2 2 4 ， 令24- 3 m
16、+2 2 4 =23 ， 得 m=0或m=- 43 3 10分 23. 解： 连接CE， 因为BCD为正三角形， 所以AEDB 又因为AE平面BCD，CE平面BCD， 所以AECE 以EB ,EC ,EA 为正交基底建立如图空间直角坐标系， 则A 0,0,3 ,B 1,0,0,C 0,3 ,0 ,D(-1,0,0)， 因为F为线段AB上一动点， 且 BF BA =， 则BF =BA = -1,0,3 =(-,0,3 )， 所以F(1-,0,3). （1） 当= 1 4 时， F( 3 4 ,0, 3 4 )， DF =( 7 4 ,0, 3 4 ),CB =(1,-3 ,0)， 所以cos=
17、7 4 ( 7 4 )2+( 3 4 )2 12+(-3 )2 = 713 52 ； 4分 （2）DF =(2-,0,3 )， DC = 1,3 ,0 设平面CDF的一个法向量为n1 = x,y,z 由n1 DF, n1 DC 得 x,y,z 2-,0,3 =0 x,y,z 1,3 ,0 =0 ， 化简得 2-x+3 z=0 x+3 y=0 ， 取n1 = 3 ,-1,1-2 又平面BCD的一个法向量为n2 = 0,0,1 设平面BCD与平面ACD所成角为， 则cos = | cos | = 1- 2 3+1+ 1- 2 2 1 = 313 13 . 解得= 1 2 或=-1（舍去） ， 所以
18、= 1 2 . 10分 24. 解： (1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A， 则P A= 3!7!8 10! = 1 15 答： 三只黑猫挨在一起出笼的概率为 1 15 3分 (2) X的取值为： 1、 2、 3、 4. 其中X=1时， 7只白猫相邻， 则P X=1= 4!7! 10! = 1 30 ； X=2时，P X=2= (62+62+62)7!3! 10! = 3 10 ； P X=3= 7! 2C1 3A 2 6+C 1 3A 2 6A 2 2 10! = 1 2 ； P X=4= 7!A36 10! = 1 6 ； 所以E X= 1 1 30 + 2 3 10 + 3 1 2 + 4 1 6 = 14 5 . 10分
