1、【压轴题】高中必修五数学上期末试卷及答案一、选择题1若函数yf(x)满足：集合Af(n)|nN*中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f(x)是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是()y2x1；ylog2x；y2x1；ysinA1B2C3D42已知正数、满足，且，则的最大值为（ ）ABCD3程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A
2、BCD4已知数列的通项公式是，则A110B100C55D05“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为A乙丑年B丙寅年C丁卯年D戊辰年6已知实数、满足约束条件，若目标函数的最小值为，则正实数的值为（ ）ABCD7若的三个内角满足，则（ ）A一定是锐角三角形B一定是
3、直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8已知点是平面区域内的动点, 点为坐标原点, 设的最小值为,若恒成立, 则实数的取值范围是（ ）ABCD9在中，是角的对边，则（ ）ABCD10已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（ ）ABCD11一个递增的等差数列，前三项的和，且成等比数列，则数列的公差为 ( )AB3C2D112已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）A20B24C28D32二、填空题13已知函数，等差数列的公差为，若，则_.14若实数满足约束条件，则的最小值等于_15在数列中，“，又，则数列的前n项和为_16已知为数列的前项和，且，则_.17若无穷
4、等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为_.18设，则对任意实数，“”是“”的_条件（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）19如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为_20已知是数列的前项和，若，则_三、解答题21若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.22已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）在中，为边的中点，为边上一点，且，求的面积.23在等差数列中，且前7项和.(1)求数列的通项公式；(2)令
5、，求数列的前项和.24已知数列中，.（1）求证：数列是等比数列;（2）求数列的前项和.25的内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，点在边上，求的面积26已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，（1）求B；（2）若，求的取值范围【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【解析】y2x1，nN*，是等差源函数；因为log21，log22，log24构成等差数列，所以ylog2x是等差源函数；y2x1不是等差源函数，因为若是，则2(2p1)(2m1)(2n1)，则2p12m2n，所以2p1n2mn1，左边是偶数，右边是奇数，故y2x1不是等差源函数；ysin是周期函数，显然是等
6、差源函数.答案：C.2B解析：B【解析】【分析】由已知条件得，对代数式变形，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值.【详解】正数、满足，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则.因此，实数的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3B解析：B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，设首项为，结合等差数列前n项和公式有：，解得：，则.即第八个孩子分得斤数为.本题选择B
7、选项.点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4C解析：C【解析】【分析】由已知条件得ann2sin（） ，所以a1+a2+a3+a102212+4232+10292，由此能求出结果【详解】 =n+，nN*，ann2sin（），a1+a2+a3+a102212+4232+102921+2+3+10 故选C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题5C解析：C【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第
8、四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.故选C.6D解析：D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.【详解】目标函数，设，则的几何意义是区域内的点与定点连线的斜率，若目标函数的最小值为，即的最小值是，由，得，即的最小值是，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过的直线经过时，直线的斜率最小，此时，得，得.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7C解析：C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大
9、角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8C解析：C【解析】试题分析：直线恒过定点，当时，约束条件对应的可行域如图，则的最小值为，满足，当时，直线与轴重合，平面区域为图中轴右侧的阴影区域，则的最小值为，满足，当时，由约束条件表示的可行域如图，点与点重合时，的最小值为，联立，解得，所以，由，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选C.
10、考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.9A解析：A【解析】试题分析：由得，又，由正弦定理可得.考点：同角关系式、正弦定理10C解析：C【解析】正项等比数列的公比为3，且，当且仅当时取等号.故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立（2）若不直接满足
11、基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号11C解析：C【解析】【分析】【详解】解：成等比数列，数列为递增的等差数列，设公差为d，即，又数列前三项的和，即，即d2或d2（舍去），则公差d2故选：C12A解析：A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型即可得出.详解：均为正实数，且，则 当且仅当时取等号. 的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题13【解析】【分析】根据指数
12、运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等解析：【解析】【分析】根据指数运算出，再利用等差中项的性质得出，并得出，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出的值.【详解】依题意有，且.则，而，因此，.故答案为.【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.14【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影
13、部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：【解析】【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最大因为解得，所以的最小值【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值15【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法
14、对项进行分解然后重新组合最终达解析：【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得，可得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】解：，则，可得数列的前n项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题16853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比数列可得令即可得到的值【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式考查由与的关解析：853【解析】【分析】由与的关系可得,即,进而得到是以为首项,为公比的等比数列,可得,令,即可得
15、到的值【详解】由题,即,则,是以为首项,为公比的等比数列,即当时,故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式,考查由与的关系求,根据,可构造数列为等比数列,公比为17【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析：.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，当时，所
16、以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.18充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如为真则是的充分条件2等价法：利用与非非与非非解析：充要【解析】 ，所以为奇函数，又为单调递增函数，所以 ，即“”是“”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的
17、等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件196【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668n（2a1+n-1）=5336=232329得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668n（2a1+n-1）=解析：6【解析】【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，n（2a1+n-1）=5336=232329，得出满足题意的组数，即可得出结论【详解】由题意，公差d=1，na1+=2668，n（2a1+n-1）=5336=232329，n2a1+n-1，且二者一奇一偶，（n，2a1+n-1
18、）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=-1时，也有三组综上所述，共6组故答案为6【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题20【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：【解析】【分析】由题意首先求得，然后结合递推关系求解即可.【详解】由题意可知：，且：，整理可得：，由于，故.【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、
19、解答题21（1）；（2）不存在.【解析】【分析】（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在【详解】（1）由，得，且当时取等号故，且当时取等号所以的最小值为；（2）由（1）知，由于，从而不存在，使得成立【考点定位】基本不等式22(1) (2) 【解析】【分析】（1）由余弦定理得，再由正弦定理得，进而得，即可求解（2）在中，求得，再中由正弦定理得，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由余弦定理有，化简得，由正弦定理得， ，又由，.（2）在中，为边的中点，且，在中，所以，中由正弦定理得
20、，得，所以【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.23（1）；（2）Sn3n+1+【解析】【分析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；（2）求得bn2n3n，由数列的错位相减法求和即可【详解】（1）等差数列an的公差设为d，a36，且前7项和T756可得a1+2d6，7a1+21d56，解得a12，d2，则an2n；（2）bnan
21、3n2n3n，前n项和Sn2（13+232+333+n3n），3Sn2（132+233+334+n3n+1），相减可得2Sn2（3+32+33+3nn3n+1）2（n3n+1），化简可得Sn3n+1+【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题24（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)根据求得,化简成含的表达式再得即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列的通项公式,再代入即可求得数列的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】（1）证明：因为所以, 又因为,则, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.（
22、2）由（1）知,所以, 所以【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.25（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：，结合范围，可得，进而可求A的值（2）在ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面积公式即可计算得解【详解】（1），由正弦定理可得：，可得：，可得：，可得：，可得：（2），点D在边上，在中，由正弦定理，可得：，可得：，可得：，【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题26（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出的值后即可求出的值；（2）根据余弦定理先求解出的取值范围，然后根据求解的取值范围.【详解】（1）已知得，由正弦定理得，即，解得（2）由余弦定理得，【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件的使用；（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.
