1、【好题】高一数学下期末一模试题附答案一、选择题1已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）ABCD2已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是ABCD3莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）ABCD4已知函数y=f（x）定义域是-2，3，则y=f（2x-1）的定义域是（）ABCD5是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）ABCD6已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a
2、的取值范围是（ ）AB CD7已知的内角、的对边分别为、，且，若，则的外接圆面积为（ ）ABCD8设函数，则，则（）A在单调递增，其图象关于直线对称B在单调递增，其图象关于直线对称C在单调递减，其图象关于直线对称D在单调递减，其图象关于直线对称9函数的图象大致为（ ）ABCD10如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()ABCD11已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A7B6C5D412如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）A，且直线是相交直线B，且直线是相交直线C，且直线是异面直线D，且直线是异面直线二、填空
3、题13设是数列的前项和，且，则_14一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是_15若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是_16如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.17已知点是的重心，内角、所对的边长分别为、，且，则角的大小是_18在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为的点共有_个19已知，命题：，命题：，若命题为真命题，则实数的取值范围是_20在ABC中，面积为12，则=_三、解答题21某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示组号分组频数频率第1
4、组5第2组第3组30第4组20第5组10（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率22已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值23在中，、分别是角、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.24如图所示，为美化环境，拟在四边形空
5、地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分点处（靠近点），百米，百米，.（1）求区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长25在中，.（）求的值；（）求的值26某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在和的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在的留言者
6、每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，设，则，所以，所以当时，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2D解析：D【解析】【分析】利用已知条件推出x+y1，然后利用x，y的范围，
7、利用基本不等式求解xy的最值【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：则xy的取值范围是：故选D【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力3A解析：A【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应
8、用是解题的关键，属于中档题.4C解析：C【解析】函数y=f(x)定义域是2,3，由22x13，解得x2，即函数的定义域为，本题选择C选项.5D解析：D【解析】试题分析：,由题意知故D正确考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直6B解析：B【解析】【分析】作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，作出函数的图像如下，由图像可得， 关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，有两个根，不妨设为；且， 又 故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属
9、于中档题.7D解析：D【解析】【分析】先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积.【详解】由题得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圆面积为.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8D解析：D【解析】,由得，再由,所以.所以y=f(x)在在单调递减,其图象关于直线对称,故选D.9A解析：A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。【详解】由题函数定义域为，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，则函数图像大致为A选项所示.故选：A【点睛】此类题目通
10、常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。10A解析：A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）平移AB1至A2B，连接A2M，MBA2即为AB1与BM所成的角，在A2BM中， 故选A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做11B解析：B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点
11、：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12B解析：B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】如图所示， 作于，连接，过作于连，平面平面平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为2，易知，故选B【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性二、填空题13【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为
12、首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.14【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为的直角三角形，高为的棱柱，所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力
13、，属基础题15【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数解析：【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.162米【解析
14、】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用解析：2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（2，-2）代入，得m=-2，代入B得，故水面宽为米，故答案为米考点：抛物线的应用17【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件解析：【解析】由向量的平行四边形法则可得，代入可得，故，则由余弦定理可得，故，应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设
15、中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系，最后运用余弦定理求出，使得问题获解183【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）28即圆心（1-2）半径r2圆心到直线x+y+1解析：3【解析】【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）28，即圆心（1，-2），半径r
16、2，圆心到直线x+y+10的距离d，rd，则到圆上到直线x+y+10的距离为的点得到个数为3个，故答案为3.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用.19或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题：“，”为真；则，解得：，若命题：“，”为真，则，解得：或，若命题“”是真命题，则，
17、或，故答案为或【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.20【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意在中面积为12则解得故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形解析：【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意，在中，面积为12，则，解得故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，
18、合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题三、解答题21（1）人，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图 （2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数 （3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率【详解】（1）由题可知，第2组的频数为人，第组的频率为，频率分布直方图如图所示，（2）因为第组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的
19、人数分别为：第组： 人，第组：人，第组：人，所以第组分别抽取人、人、人进入第二轮面试 （3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，其中第组的位同学中至少有一位同学入选的有种，分别为：，第组至少有一名学生被考官面试的概率为【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题22（1）an2n5.（2）4【解析】（）设an的公差为d，由已知条件，解出a13，d2所以ana1(n1)d2n5（）Snna1dn24n(n2)24，所以n2时，Sn取到最大值423(1) .(2) .【解析】【分
20、析】（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，由余弦定理可知，又，.（2）由正弦定理可知，即，又为锐角三角形，即，则，所以，综上的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公
21、式，结合正、余弦定理解题.24（1）平方百米；（2）百米.【解析】【分析】（1）由余弦定理求出百米，由此能求出区域的面积；（2）记，在中，利用正弦定理求出和的值，当时，水管长最短，由此能求出当水管最短时的长.【详解】（1）由题知，在中，由余弦定理得，即，所以百米所以（平方百米）.（2）记，在中，即，所以，当时，水管最短，在中，=百米.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系式求三角函数值，并求三角形面积，属于基础题.（1）根据余弦定理，可直接求得AB的长度，由三角形面积公式即可求得的面积；（2）根据最短距离为垂直距离，可求得CH的长.25（）；（）
22、.【解析】【分析】（）直接利用正弦定理可求的值；（）由余弦定理求得，再利用同角三角函数的关系求出，由二倍角公式求出，根据两角差的正弦公式可求的值【详解】（）在中，根据正弦定理，于是（）在中，根据余弦定理，得于是， 从而【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.26(1)60,;(2).【解析】【分析】（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中
23、位数即可；（2）利用分层抽样可得6人中年龄在内有2人，设为、，在内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可.【详解】(1)这100位留言者年龄的样本平均数,年龄在中的频率为:,年龄在中的频率为:,中位数在区间中,中位数为.(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在内有2人,设为,在内有4人,设为1234.设事件为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.从这6人中选3人的所有基本事件有:123124134234,共20个.其中事件的对立事件即3个人都是年龄内,包含的有123124134234,共4个.(写出事件的基本事件个数也可以)所以.,【点睛】本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.
