1、数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用.绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例1计算： 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项
2、可拆成，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解 原式= = = =例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简. 分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0.解 由数轴知，a0，a-b0 所以，= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c例3 计算： 分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解 原式= 例4 计算：2-2
3、2-23-24-218-219+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=2-22-23-24-218+219（-1+2） =2-22-23-24-218+219=2-22-23-24-217+218（-1+2）=2-22-23-24-217+218=2-22+23=6【核心练习】1、已知ab-2
4、与b-1互为相反数，试求：的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）2、代数式的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）【参考答案】1、 2、3字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_ 分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y
5、=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解 由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=例2已知代数式 ，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是 . 分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解 当x=1时，=3当x=-1时，=1例3 152=225=1001（1+1）+25， 252=625=1002（2+1）+25352=1225=1003（3+1）+25
6、， 452=2025=1004（4+1）+25752=5625= ，852=7225= （1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值.分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解 (1)752=1007（7+1）+25，852=1008（8+1）+25(2)(10n+5)2=100n（n+1）+25(3) 20052=100200（200+1）+25=4020025例4如图是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图，再分别连接图中间
7、小三角形三边的中点，得到图.S表示三角形的个数.（1）当n=4时，S= ，（2）请按此规律写出用n表示S的公式. 分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解 (1)S=13 (2)可列表找规律： n123nS1594(n-1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=91+4+4+4=4(n-1)+1 所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：1，填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；第2008个数是什
8、么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？. 2、观察下列各式: 1+13 = 22, 1+24 = 32, 1+35 = 42,请将你找出的规律用公式表示出来: 【参考答案】1、，;0.2、1+n(n+2) = (n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_个，最多为_个.分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，
9、最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解 找交点最多的规律：直线条数234n交点个数136交点个数变化过程11+2=31+2+3=61+2+3+(n-1)图形图1图2图3例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线. A20 B36 C34 D22分析与解 让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.例3 如图，OM是AOB的平分线.射线OC在BOM内，ON是BOC的平分线，已知AOC=80，那么MON的大小等于_.
10、分析 求MON有两种思路.可以利用和来求，即MON=MOC+CON.也可利用差来求，方法就多了，MON=MOB-BON=AON-AOM=AOB-AOM-BON.根据两条角平分线，想办法和已知的AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解 因为OM是AOB的平分线，ON是BOC的平分线， 所以MOB=AOB，NOB=COB 所以MON=MOB-NOB=AOB-COB=（AOB-COB）=AOC=80=40例4 如图，已知AOB=60，OC是AOB的平分线，OD、OE分别平分BOC和AOC. （1）求DOE的大小；（2）当OC在AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是BOC和AOC的平分
11、线，问此时DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.分析 此题看起来较复杂，OC还要在AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现DOE是AOB的一半，也就是说要求的DOE， 和OC在AOB内的位置无关.解 (1)因为OC是AOB的平分线，OD、OE分别平分BOC和AOC. 所以DOC=BOC，COE=COA所以DOE=DOC+COE=BOC+COA=（BOC+COA）=AOB因为AOB=60所以DOE =AOB= 60=30(2)由（1）知DOE =AOB，和OC在AOB内的位置无关.故此时DOE的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A
12、、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_条.2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分.【参考答案】1、15条 2、.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。【典型例题】例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值.分析 因为两方程的解相同，可以先解
13、出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入.解 由2x+3=2a，得 2x=2a-3. 把2x=2a-3代入2x+a=2得 2a-3+a=2，3a=5,所以 例2 解方程 分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.解 两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1) 去分母，得6x-3x+3=12-2x-2 6x-3x+2x=12-2-3 5x=7 x=例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.分析 这类问题我们应首先搞清楚利
14、润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：+8%=解得 y=1.17x故这种商品原来的利润率为=17%.例4解方程 x-1+x-5=4分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.解：由题意可知，当x-1=0时，x=1；当x-5=0时，x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x1时，原方程可
15、化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 x=1.因x5时，原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4，解得 x=5.因x5，故应舍去.所以， 1x5是比不过的。【核心练习】1、已知关于x的方程3x-2(x-)=4x和有相同的解，那么这个解是 .（提示：本题可看作例1的升级版）2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是_千米/小时.【参考答案】1、 2、4.8生活中的数据篇【核心提示】生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是
16、比较简单的.【典型例题】例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.解 用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你
17、是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答.解 （1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.（2）折线统计图（3）80亿，折线统计图.（4）扇形统计图【核心练习】1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？【参考答案】1、（1）美国 （2）第3位 （3）俄罗斯.平行线与相交
18、线篇【核心提示】平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了.【典型例题】例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条.A7 B6 C9 D8分析与解 这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的
19、条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线.故选D. 例2已知BED=60, B=40, D=20,求证：ABCD. 分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到ABCD.连接BD，利用同旁内角互补也可证明.解 延长BE交CD于O，BED=60, D=20，BOD=BED-D=60-20=
20、40, B=40，BOD=B，ABCD.其他方法，可自己试试！例3如图，在ABC中，CEAB于E，DFAB于F，ACED，CE是ACB的平分线，求证： EDF=BDF. 分析 由CE、DF同垂直于AB可得CEDF，又知ACED，利用内错角和同位角相等可得到结论.解 CEAB，DFAB，CEDFEDF=DEC， BDF=DCE， ACED， DEC=ACE，EDF=ACE.CE是ACB的平分线，DCE=ACE，EDF=BDF.例4如图，在ABC中，C=90，CAB与CBA的平分线相交于O点，求AOB的度数. 分析 已知C=90，由此可知CAB与CBA的和为90，由角平分线性质可得OAB与OBA和
21、为45，所以可得AOB的度数. 解 OA是CAB的平分线，OB是CBA的平分线，OAB=CAB，OBA=CBA，OAB+OBA=CAB+CBA=（CAB+CBA）=（180-C）=45，AOB=180-（OAB+OBA）=135.（注：其实AOB=180-（OAB+OBA）=180-（180-C）=90+C. 所以AOB的度数只和C的度数有关，可以作为结论记住.）【核心练习】1、如图，ABED,=A+E,=B+C+D,求证：=2.(提示：本题可看作例2的升级版)2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，1=2，C=D，求证：A=F. 【参考答案】1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平
22、行线.2、先证BDCE，再证DFAC.三角形篇【核心提示】三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等.【典型例题】例1如图，在ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且1=B，AD=DE.求证：ADBDEC.分析 要证ADB和DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知B=C，还需要一对边或一对角.由条件1=B知，找角比较容易.通过外角可得到BDA=CED.证明 AB=AC，B=C，1=B，1
23、=C，BDA=DAC+C，CED=DAC+1BDA=CED.在ADB和DEC中，ADBDEC （AAS）.例2如图，ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD. 分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.证明 在AB上截取AF=AC，连接EF，EA别平分CAB，CAE=FAE，在ACE和AFE中，ACEAFE（SAS），C=AFE. ACBD，C+D=180，AFE+BFE=180，BFE=D.EB平分DBA,FBE=DBE在BFE和BDE中
24、BFEBDE(AAS),BF=BD.AB=AF+BF,AB=AC+BD.例3如图，BD、CE分别是ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ；（2）APAQ. 分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证ABP和QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得ADP=90. 证明 （1）BD、CE分别是ABC的边AC和AB上的高，AEC=ADB=90，ABP+BAC=QCA+CAB=90，ABP=QCA在ABP和QCA中ABPQCA(SAS),AP=AQ.（2）由（1）ABPQCA，P=QAC，P+PAD=90
25、，QAC+PAD=90，APAQ.【核心练习】1、如图，在ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则AFE=_度. 2、如图，在ABC中，BAC=90AB=AC.D为AC中点，AEBD，垂足为E.延长AE交BC于F.求证：ADB=CDF【参考答案】1、602、提示：作BAC的平分线交BD于P，可先证ABPCAF，再证APDCFD.生活中的轴对称篇【核心提示】轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用.【典型例题】例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.分析与
26、解 根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的.例2下列图形中对称轴条数最多的是( )A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H.例3 如图，AOB是一钢架，且AOB=10，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_根. 分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到
27、直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了.解 每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角FEA，添加FG形成外角GFB.可列表找规律：添加钢管数12348形成的外角度数2030405090当形成的外角是90时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根.例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？ 分析 本题A（外公家）
28、和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A到饮水处前距离都相等，当A到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定C点.解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置. 【核心练习】1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BCEF.这个图形是轴对称图形吗？为什么？【参考答案】1、略2、是轴对称图形，ABC与DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线.通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效.
