1、第一章第一章 有理数有理数1.3 有理数的加减法有理数的加减法1.3.2 有理数的减法有理数的减法有理数减法法则有理数减法法则内容内容文字叙述文字叙述字母表示字母表示有理数减法法则有理数减法法则减去一个数，等于加这减去一个数，等于加这个数的相反数个数的相反数a-b=a+（-b)知识知识解读解读差的符号与差的符号与被减数、减被减数、减数的关系数的关系较大的数较大的数-较小的数较小的数=正数正数较小的数较小的数-较大的数较大的数=负数负数相等的两个数的差为相等的两个数的差为0巧记乐背巧记乐背有理数减法变加法，有理数减法变加法，两个符号都变化；两个符号都变化；忽略其一必出错，忽略其一必出错，需要高度
2、警惕它需要高度警惕它.例例1 计算：（计算：（1）（）（-3）-（+7）；（）；（2）1.7-（-2.5）；）；（3）；（；（4）0-（-5）.分析：先利用有理数的减法法则将减法转化为加法，分析：先利用有理数的减法法则将减法转化为加法，再按照加法法则进行计算再按照加法法则进行计算.解：（解：（1）（）（-3）-（+7）=（-3）+（-7）=-10.1122211112=2=3.2222（3）（2）1.7-（-2.5）=1.7+2.5=4.2.（4）0-（-5）=0+5=5.省略算式中的括号和加号省略算式中的括号和加号内容内容省略算式省略算式中的加号中的加号和括号和括号意义意义将有理数的减法转化
3、成加法时，可以写将有理数的减法转化成加法时，可以写成省略括号和加号的形式成省略括号和加号的形式读法读法（1）按算式所表示的意义读；按算式所表示的意义读；（2 2）按按运算意义读运算意义读知识解读知识解读在写读法时，运算符号在写读法时，运算符号“+”+”和和“-”-”分别用汉字分别用汉字“加加”和和“减减”表示，性质符号表示，性质符号“+”+”和和“-”-”分别分别用汉字用汉字“正正”和和“负负”表示，数字用原形式（阿拉表示，数字用原形式（阿拉伯数字）表示，不要用汉字伯数字）表示，不要用汉字注意注意加号可以省略，但必须保留性质符号加号可以省略，但必须保留性质符号.例例2 2 把把 写成省略加号和
4、括号写成省略加号和括号的形式，并把它读出来的形式，并把它读出来.分析：先将加减混合运算统一成加法运算，再写成分析：先将加减混合运算统一成加法运算，再写成省略括号和加号的形式省略括号和加号的形式.读作：正读作：正 、负、负 、正正 、负、负 、正、正 的的和或和或 减减 加加 减减 加加 .1232123454 123212345412321=2345412321=.23454 解解：12123414232523342514省略加号的和中的每一个数（包含性质符号）都省略加号的和中的每一个数（包含性质符号）都是和中的一个加数是和中的一个加数.有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算内容内容有理数加
5、减有理数加减混合运算的混合运算的一般步骤一般步骤第一步，把有理数的减法运算统一成加法运算；第一步，把有理数的减法运算统一成加法运算；第二步，把加法算式写成省略括号和加号的形式；第二步，把加法算式写成省略括号和加号的形式；第三步，灵活运用有理数加法法则和加法运算律第三步，灵活运用有理数加法法则和加法运算律计算出结果计算出结果知识解读知识解读代数和的意义：因为有理数的减法法则能将减法代数和的意义：因为有理数的减法法则能将减法转化为加法，所以加减混合运算统一为省略括号转化为加法，所以加减混合运算统一为省略括号和加号的几个数的和的形式和加号的几个数的和的形式例例3 计算：计算：分析：先将减法转化为加法
6、，再将加法写成省略括号和分析：先将减法转化为加法，再将加法写成省略括号和加号的形式，最后可将加数统一成分数后相加，也可以加号的形式，最后可将加数统一成分数后相加，也可以统一成小数后相加，还可以把各个加数的整数部分与小统一成小数后相加，还可以把各个加数的整数部分与小数部分分别结合在一起数部分分别结合在一起.110.532.757.42 110.532.757421131=32724421113=7322244=86=2.解解：（方方法法一一）110.532.757421131=32724421311=3274422=211=2.（方方法法二二）在有理数加减混合运算过程中在有理数加减混合运算过程中
7、,应熟记以下技巧应熟记以下技巧:（1）正数和负数分别相结合；（）正数和负数分别相结合；（2）同分母分）同分母分数或比较容易通分的分数相结合；（数或比较容易通分的分数相结合；（3）互为相）互为相反数的数相结合；（反数的数相结合；（4）和为整数的数相结合；）和为整数的数相结合；（5）带分数一般先化成假分数，或拆成整数和）带分数一般先化成假分数，或拆成整数和真分数真分数.带分数的减法运算，拆项时出错带分数的减法运算，拆项时出错例例4 计算：计算：111728.24 11111728=1728242411=17282411=1728241=1143=10.4 解解：把带分数拆成整数和分数时，易忽略原分
8、数的符号，把带分数拆成整数和分数时，易忽略原分数的符号，出现出现 这类错误这类错误.1117=1722随意省略性质符号，导致错误随意省略性质符号，导致错误例例5 计算：计算：（-7）-（-3）-（+11.5）+（-2.5）.解：原式解：原式=（-7）+（+3）+（-11.5）+（-2.5）=-7+3-11.5-2.5=-18.有理数的加减混合运算统一成加法运算后，省略括有理数的加减混合运算统一成加法运算后，省略括号和加号时，易省略号和加号时，易省略-7的性质符号而导致计算错误的性质符号而导致计算错误.题型一题型一 对有理数加减法法则的深入理解对有理数加减法法则的深入理解例例6 有理数有理数a，
9、b在数轴上的对应点的位置如图在数轴上的对应点的位置如图1-3.2-1，则，则（）Aa+b0 Ba+b0Ca-b=0 Da-b0图图1-3.2-1B思路导图思路导图根据根据a，b在数轴上的位置，在数轴上的位置，判断出判断出a，b的符号和绝对的符号和绝对值的大小值的大小根据有理数的加减根据有理数的加减法法则，判断出法法则，判断出a+b与与a-b的符号的符号 解析：根据解析：根据a，b在数轴上的位置，可得出在数轴上的位置，可得出a0，b0，且，且|a|b|，所以，所以a+b0，a-b0故选故选B.题型二题型二 运用加法运算律简化加减混合运算运用加法运算律简化加减混合运算角度角度a a 统一为加法运算
10、，运用加法运算技巧计算统一为加法运算，运用加法运算技巧计算例例7 计算：计算：（1）12-13+8-7；（2）分析：分析：（1）先统一为加法运算，再将正数和负数分别先统一为加法运算，再将正数和负数分别结合计算结合计算.（2）先统一为加法运算，再将相加得整数的先统一为加法运算，再将相加得整数的分别结合计算分别结合计算.3510.7520.125124.478解解：（：（1）原式原式=12+（-13）+8+（-7）=（12+8）+（-13)+（-7)=20+（-20）=0.351=0.7520.125124478315=0.7520.1254124875=241275=18.7 （2）2）原原式式
11、方法点拨方法点拨有理数加法运算律和运算技巧，在有理数加减混合运有理数加法运算律和运算技巧，在有理数加减混合运算统一成加法运算后仍然适用，在计算时可采用以下算统一成加法运算后仍然适用，在计算时可采用以下思路：思路：思路导图思路导图观察算式特点，本观察算式特点，本着若干数相加凑成着若干数相加凑成相等的数，将加数相等的数，将加数适当分组适当分组确定每组的确定每组的和，以及组和，以及组数是多少数是多少计算得计算得出最后出最后结果结果角度角度b 先找出规律，再计算先找出规律，再计算例例8 计算：计算：1+2-3-4+5+6-7-8+2 005+2 006-2 007-2 008+2 009+2 010-
12、2 011-2 012+2 013+2 014-2 015-2 016+2 017+2 018.解：（方法一）原式解：（方法一）原式=（1+2-3-4)+（5+6-7-8)+（2 005+2 006-2 007-2 008)+（2 009+2 010-2 011-2 012)+（2 013+2 014-2 015-2 016）+（2 017+2 018）=-4504+4 035=2 019.（方法二）原式（方法二）原式=1+2+（-3-4+5+6)+（-7-8+9+10)+（-2 007-2 008+2 009+2 010)+（-2 011-2 012+2 013+2 014）+（-2 015
13、-2 016+2 017+2 018）=3+4504=2 019.（方法三）原式（方法三）原式=1+（2-3-4+5)+（6-7-8+9)+（2 006-2 007-2 008+2 009)+（2 010-2 011-2 012+2 013）+（2 014-2 015-2 016+2 017）+2 018=1+0+0+0+2 018=2 019.题型三题型三 有理数加减混合运算的实际应用有理数加减混合运算的实际应用例例9 某汽车厂计划半年内每月生产汽车某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实际每月生产量有任务，每月上班人数不一定相等，实际每月生产
14、量与计划量相比情况如下表与计划量相比情况如下表.（增加为正，减少为负）（增加为正，减少为负）（1）求实际生产量最多的一个月比生产量最少的一个求实际生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产了多少辆月多生产了多少辆.（2）半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增或减多少？增或减多少？月份月份一一二二三三四四五五六六增减增减/辆辆+3-2-1+4+2-5解：解：（1）生产量最多的一个月是四月，生产量最少的生产量最多的一个月是四月，生产量最少的一个月是六月一个月是六月.依题意有依题意有+4-（-5）=9（辆），（辆），所以实际生产量最多的一个月比生产量
15、最少的一个月多所以实际生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产了生产了9辆辆（2）半年内实际生产量比原计划产量增加了半年内实际生产量比原计划产量增加了+3-2-1+4+2-5=1（辆）（辆）.206=120（辆），（辆），120+1=121（辆）（辆）.所以半年内总生产量是所以半年内总生产量是121辆，比计划多了辆，比计划多了1辆辆.题型四题型四 有理数的减法与数轴、相反数、绝对值等的综合运用有理数的减法与数轴、相反数、绝对值等的综合运用例例10 设设a是是-3的相反数与的相反数与-9的绝对值的差，的绝对值的差，b是比是比-2大大3的数的数（1）求求a-b，b-a的值；的值；（2）探索探索
16、a-b与与b-a之间的关系之间的关系解：由题意，得解：由题意，得a=-=-（-3）-|-9|=-6，b=-b=-2+3=1.（1）因为因为a=-6，b=1，所以，所以a-b=-=-6-1=-7，b-a=1-（-6）=1+6=7.（2）由由（1）可知可知a-b与与b-a之间的关系为互为相反数之间的关系为互为相反数核心素养核心素养例例15 一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4 km到达到达李明家，继续向东走了李明家，继续向东走了1.5 km到达闫红家，然后向西走了到达闫红家，然后向西走了8.5 km到达王刚家，最后返回百货大楼到达王刚家，最后返回百货大
17、楼（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示个单位长度表示1 km，请你在图，请你在图1-3.2-3的数轴上标出李明、闫红、王刚家的位的数轴上标出李明、闫红、王刚家的位置（李明家用点置（李明家用点A表示，闫红家用表示，闫红家用点点B表示，王刚家用点表示，王刚家用点C表表示）示）（2）李明家与王刚家相距多远？李明家与王刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油若货车每千米耗油1.5升，则这辆货车此次送货共耗油多升，则这辆货车此次送货共耗油多少升？少升？分析：分析：（1）按要求画出数轴，标出各点的位置；按要求画出数轴，标出各点的位置；（2）分别求出李明家、王刚
18、家的位置，相减得分别求出李明家、王刚家的位置，相减得出两者的距离；出两者的距离；（3）通过求各数的绝对值之和，先得出货车行通过求各数的绝对值之和，先得出货车行驶的总路程，再求总耗油量驶的总路程，再求总耗油量.图图1-3.2-3解：解：（1）如图如图1-3.2-4.图图1-3.2-4（2）李明家的位置是表示李明家的位置是表示4 km的点的点A，王刚家的位置是表示，王刚家的位置是表示4+1.5+（-8.5）=-3（km）的点的点C.所以李明家与王刚家相距所以李明家与王刚家相距4-（-3）=7（km）.答：李明家与王刚家相距答：李明家与王刚家相距7 km.（3）这辆货车此次送货行驶路程为这辆货车此次送货行驶路程为|4|+|1.5|+|-8.5|+|-3|=17（km）.171.5=25.5（升）（升）答：这辆货车此次送货共耗油答：这辆货车此次送货共耗油25.5升升方法点拨方法点拨 用整式表示实际问题中的数量关系时，首先要正用整式表示实际问题中的数量关系时，首先要正确理解题意，找出语言叙述中的关键词，理清它们之确理解题意，找出语言叙述中的关键词，理清它们之间的数量关系，然后列出整式即可间的数量关系，然后列出整式即可.
